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高中学业水平测试数学复习学案 第25课时 均值不等式及线性规划



学业水平测试数学复习学案 第 25 课时 均值不等式及线性规划
一.知识梳理 1. (1) a, b ? R ? a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).

?a ?b? (2) a, b ? R , ab ? ________ ? ? (当且仅当____a=b______时取“=”号). ? 2 ?
2
?

(3) a, b ? R ? , a ? b ? ______ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号) 2 2、二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的 平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 只需在此直线的某一侧取一特殊点( x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(当 C≠0 时,常把原点作 为此特殊点) 3、求目标函数的最值,必须先画出准确的可行域,然后把线性目标函数转化为一族平行直线, 这样就把线性规划问题转化为一族平行直线与一平面区域有交点,直线在 y 轴上截距的最大值 与最小值问题 二.典例解析
新疆

王新敞
学案

【例 1】(1)已知 x ?

5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值.(2) 已知正数 x, y 满足 4 4x ? 5

x ? ty ? 1,

1 1 ? 的最小值为 16,求正数 t 的值 x y

【变式训练 1】.若正数 a, b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是



【 变 式 训 练 2 】 已 知 a, b, x, y∈ R + , a+ b = 1 0, , 若 x + y 的 最 小 值 为 18 , 求 a, b 的 值 .

a b ? ?1 x y

【例 2】.求函数 y ? x (1 ? x) 的最大值 (0 ? x ? 1) 。

【变式训练 3】求函数 y ? x(9 ? 3x) 的最大值 (0 ? x ? 3) 。

【变式训练 4】已知: x ? 0, y ? 0,3 x ? 2 y ? 5 ,求 xy 的最值。

? x ? 4 y ? ?3 ? 【例 2】.设 x,y 满足约束条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求目标函数 z=6x+10y 的最大值,最小值。 ? x ?1 ?

? x? y?2?0 ? 【变式训练 5】.已知 ? x ? y ? 4 ? 0 , ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
(1) 求 z ? x ? 2 y 的最大和最小值。 (2) 求 z ?

y 的取值范围。 x

(3) 求 z ? x 2 ? y 2 的最大和最小值。

【例 3】. 如图,设矩形的周长为 24 ,把它关于 AC 折起来, AB 折过去后,交 DC 于 P ,设

AB ? x ,求 ?ADP 的最大面积及相应的 x 值.
P

B?
D

C

A

B



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