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第三章概率 章末优化总结课件



第三章

概率

章末优化总结

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概率

互斥事件、对立事件的概率及应用
互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的,它们既有区别 又有联系.在一次试验中,两个互斥事件最多只发生一个; 而两个对立的事件则必有一个发生,但也不可能同时发生. 所以,两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立, 它们一定互斥. 若事件 A1,A2,?,An 彼此互斥,则 P(A1∪A2∪?∪An)= P(A1)+P(A2)+?+P(An).
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应用互斥事件的概率的加法公式解题时,一定要注意首先确 定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率, 再求和.对于较复杂事件的概率,可以转化为求对立事件的 概率. 求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成 彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,若 A 与 B 互为对立事件,则利用公式 P(A)=1-P(B)求解.

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一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号 分别为1,2,3,4. (1) 从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的 概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中, 然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的

概率.

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[解] (1)从袋中随机取两个球, 可能的结果有 6 种, 而取出的 球的编号之和不大于 4 的事件有两个:1 和 2,1 和 3,∴取 1 出的球的编号之和不大于 4 的概率 P1= . 3 (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中, 然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 n,所有(m,n) 有 16 种,而 n≥m+2 有 1 和 3,1 和 4,2 和 4 三种结果,∴ 3 13 n<m+2 的概率 P2=1- = . 16 16

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利用古典概型求概率

古典概型是一种最基本的概型,也是学习其他概型的基础, 在高考题中,经常出现此种概型的题目,解题时要紧紧抓住 古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性. 对于古典概型概率的计算,关键是分清基本事件个数 n 与事 件 A 中包含的结果数 m,有时需用列举法把基本事件一一列 m 举出来,再利用公式 P(A)= 求出事件的概率,这是一个形 n 象、直观的好方法,但列举时必须按某一顺序做到不重复、 不遗漏.
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甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女, 乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1名,求选出的2名教 师性别相同的概率; (2) 若从报名的 6 名教师中任选 2 名,求选出的 2 名教师来自同 一学校的概率. [解] 甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示;乙

校男教师用 D 表示,两女教师分别用 E、F 表示. (1)从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果 为: (A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C, D),(C,E),(C,F),共 9 种.
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从中选出的 2 名教师性别相同的结果为:(A,D),(B,D), (C,E),(C,F),共 4 种.所以选出的 2 名教师性别相同的 4 概率为 . 9 (2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B, D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E), (D,F),(E,F),共 15 种. 从中选出的 2 名教师来自同一学校的结果为: (A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共 6 种. 6 2 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 = . 15 5
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利用几何概型求概率
若试验同时具有:①基本事件的无限性;②每个事件发生的 等可能性两个特征,则此试验为几何概型,由于其结果的无 m 限性, 概率就不能应用 P(A)= 求解, 而需转化为几何度量(如 n 长度、面积、体积等)的比值求解,体现了数形结合的数学思 想.

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(2015·临沂质检)已知关于x的一元二次方程x2-2(a- 2)x-b2+16=0. (1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数,求方程有 两个正实数根的概率; (2)若a∈[2,6],b∈[0,4],求一元二次方程没有实数根的概率.
[解] (1)基本事件(a,b)共有 36 个,且 a,b∈{1,2,3,4, 5,6},方程有两个正实数根等价于 a-2>0,16-b2>0,Δ ≥ 0,即 a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2≥16. 设“一元二次方程有两个正实数根”为事件 A,则事件 A 所 包含的基本事件为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3)共 4 个, 4 1 故所求的概率为 P(A)= = . 36 9
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(2)试验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4}, 设“一元二次方程无实数根”为事件 B,则构成事件 B 的区 域为 B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2)2+b2<16},如图 可知构成事件 Ω 的区域面积为 S(Ω)=16. 1 构成事件 B 的区域面积为: S(B)= ×π ×42=4π , 故所求的 4 4π π 概率为 P(B)= = . 16 4

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概率与统计的综合问题

统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热 点,此类题很好地结合了统计与概率的相关知识,并且在实 际生活中应用也十分广泛,能很好地考查学生的综合解题能 力,在解决综合问题时,要求同学们对图表进行观察、分析、 提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排除有关数据的干扰, 进而抓住问题的实质,达到求解的目的.

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随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们 的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示. (1)直接根据茎叶图判断哪 个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率.

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[解] (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 cm~179 cm 之间, 而乙班身高集中于 170 cm~179 cm 之间.因此乙班平均身高高 于甲班; - 158+162+163+168+168+170+171+179+179+182 (2) x = 10 =170(cm). 1 甲班的样本方差 s = [(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2 10
2

+(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179- 170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2(cm2).
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(3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”为事件 A,从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有:(181,173), (181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176), (179,178),(178,173),(178,176),(176,173)共 10 个基 本事件, 而事件 A 含有 4 个基本事件: (181, 176), (179, 176), (178,176),(176,173), 4 2 ∴P(A)= = . 10 5
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1.下列说法正确的是( C ) A.随机事件的概率总在[0,1]内 B.不可能事件的概率不一定为0

C.必然事件的概率一定为1
D.以上均不对
解析:随机事件的概率总在(0,1)内,不可能事件的概率为 0, 必然事件的概率为 1.
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2.甲、乙、丙三人随意坐一排座位,乙正好坐中间的概率为 ( B ) 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 6

解析:甲、乙、丙三人随意坐有 6 个基本事件,乙正好坐中 间,甲、丙坐左右两侧有 2 基本事件,故乙正好坐中间的概 2 1 率为 = . 6 3
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3.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶 ”的 两次都不中靶 . 对立事件是___________________ 解析:对立事件相对应的集合交集为空集,并集为全集.

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4.假设一直角三角形的两直角边长都是(0,1)间的随机数, 9π 3 64 则事件“斜边长小于 ”的概率为________ . 4

解析:设两直角边长分别为 x,y,则 0≤x≤1,0≤y≤1,斜 3 边长= x +y < , 样本空间为边长为 1 的正方形区域, 而满 4
2 2
2 9π 3 1 ? ? 足条件的事件所在的区域的面积为 ×π ×?4? = ,因此, 4 64

9π 64 9π 所求事件的概率为 P= = . 1 64
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5.(2014· 高考安徽卷节选)某高校共有15 000人,其中男生10 500人,女生 4 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时 间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体 育运动时间的样本数据(单位:小时).

(1)应收集多少位女生的样本数据? (2) 根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间 的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为: [0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],估计该 校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.
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4 500 解:(1)300× =90,所以应收集 90 位女生的样本数据. 15 000 (2)由频率分布直方图得 1-2×(0.025+0.100)=0.75,所以该 校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75.

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6.(2014· 高考重庆卷)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分) 的频率分布直方图如图:

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人, 求此 2 人的成绩都在 [60,70)中的概率.
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解:(1)据直方图知组距=10, 由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1, 1 解得 a= =0.005. 200 (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20=2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20=3. (3)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A1,A2,成绩落在[60,70) 中的 3 人为 B1,B2,B3,则从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个:
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(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2), (A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3), 其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件有 3 个: (B1,B2),(B1,B3),(B2,B3), 3 故所求概率为 P= . 10

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