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福建省漳州八校2016届高三12月联考 数学理



2016 届五地八校联考高三数学(理)试卷 命题人: 审题人:高三备课组 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 个数为( ) A. 2

A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N }, B ? {6,8,10,12,14}

,则集合 A ? B 中的元素



B. 3

C.4

D. 5

2. 设 x, y 满足约束条件

?x ? y ? 1 ? ?x ? 1 ? 0 ?x ? y ? 1 ?

,则目标函数

z?

y x ? 2 的取值范围为(



?? 3,3? A.
3.在等差数列 A.810

?? 2,2? B.

?? 1,1? C.

? 2 2? ?? , ? D. ? 3 3 ?

?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 3, a 28 ? a 29 ? a30 ? 165 ,则此数列前 30 项和等于(
B.840 C.870 D.900
开始
1



4.已知

M ??

0

? 1 dx, N ? ? 2 cosxdx 0 x ?1 , 由程序框图输出的 S 为(

)

输入 M,N

M ?N



A.

1

B.

0

C.

? 2



D. ln 2

S?N
输出 S

S?M

f ( x) ? 2sin(? x ? ) 2 , ( f ) ? 0 ? ,? ? ? 的 3 ( ? ? 0 ), 5. 若函数 且 f (?) ? ?

?

结束

? 最小值是 2 ,则 f ( x) 的单调递增区间是(
[2k? ?
A.



5? ? , 2 k? ? ] ( k ? Z ) 6 6 2? ? , 2 k? ? ] ( k ? Z ) 3 3

[ k? ?
B.

?

, k? ? ] ( k ? Z ) 3 6 5? ? , k? ? ] ( k ? Z ) 12 12

?

[2k? ?
C.

[ k? ?
D.

2 6. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) ,当 ?3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ?( x ? 2) ;

当 ?1 ? x ? 3 时 , f ( x) ? x . 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2015) = ( ) A.335 B.1678 C. 336 D.2015

4 5 正视图 3 俯视图

3

侧视图

7.. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何 体的体积等于( ) A. 10 cm3 B. 20 cm3 C. 30 cm3 D. 40 cm3

8.下列命题中正确的个数是( ) ①过异面直线 a,b 外一点 P 有且只有一个平面与 a,b 都平行; ②异面直线 a,b 在平面 α 内的射影相互垂直则 a⊥b; ③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ④直线 a,b 分别在平面 α,β 内,且 a⊥b 则 α⊥β; A.0 B.1 C.2 D.3 9 .等比数列 ( ) B.10 C. 8 D.2+

?an ? 的各项均为正数,且 a2 ? a9 ? 9
log3 5

,则

log3 a1 ? log3 a 2 ?? ? log3 a10=

A.12

1 10.设函数 f(x)=2x2-9ln x 在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数 a 的取值范围 是 A.1<a≤2 ( ) B.a≥4 C.a≤2 D.0<a≤3

f(x) ? ? 11.已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f ( x ) ,当 x≠0 时, f ( x ) + x >0,

1 1 f( ) 1 2 , 若 a= 2 b=-2f(-2), c=ln2f(-ln 2), 则下列关于 a, b, c 的大小关系正确的是(
A.a>b>c B.a>c>b C. c>b>a D.b>a>c 12、已知函数 f(x)及其导数 f′(x) ,若存在 x0,使得 f(x0)=f′(x0) ,则称 x0 f(x)的一个“巧值点”,下列函数中,有“巧值点”的函数的个数是( ) ①f(x)=x2,②f(x)=e-x,③f(x)=lnx, ④f(x) =tanx, 1 ⑤f(x)=x+x D.5

)



A. 2 B.3 C.4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

? ? ? ? ? 60 a a b a b 13.已知| |=1,| |=2, 与 的夹角为 ,则 + b 在 a 上的投影为
sin x a b y ? f ( x) ? ? ad ? bc cos x c d ,设函数
2

14.定义运算

3 1

,将函数 y=f(x)向左平

移 m(m>0)个单位长度后,所得到图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是______________ 15 .设函数 f ( x) ? x ln(? x ? 16.已知函数

x2 ? 1) ? 1 ,若 f (a) ? 11 ,则 f (?a) =_______

f ( x) ? eax ? x ?1 ,( a ? 0 ).若对一切 x ? R, f ( x) ? 0 恒成立,则 a 的取

值集合为

.

三、解答题。 (共 70 分)

3n 2 ? n Sn ? ,n ? N ? an ? ? 2 17. (本小题满分 12 分)已知数列 的前 n 项和 .
(1)求数列

?an ? 的通项公式;
?

(2)证明:对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ,使得

a1,an, am 成等比数列.

18、 (12 分)△ ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2) 若 b=2,求△ ABC 面积的最大值. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD, ? DAB 为直角,AB//CD, AD=CD=2AB=2,E,F 分别为 PC,CD 的中点. (Ⅰ)证明:AB ? 平面 BEF;

PA ?
(Ⅱ)若

2 5 5 ,求二面角 E-BD-C.

H:
20.(本小题满分 12 分) 椭圆 其中:点 M (0, ?1) , 点 N (a, 0) .

x2 3 ? y 2 ? 1(a ? 1) 2 a ,原点 O 到直线 MN 的距离为 2 ,

(Ⅰ)求该椭圆 H 的离心率 e ; (Ⅱ)经过椭圆右焦点

F2 的直线和该椭圆交于 A, B 两点,点 C 在椭圆上, O 为原点,

???? 1 ??? ? ? 3 ??? OC ? OA ? OB 2 2 若 ,求直线的方程.

21. (本 小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x ,

g ( x) ?

x2 e x .已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线

2 x ? y ? 0 平行.
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)是否存在自然数 k ,使得方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根?如果存在, 求出 k ;如果不存在,请说明理由;

m ? x? (Ⅲ)设函数 m( x) ? min{ f (x ), g (x )}( min{ p, q} 表示, p, q 中的较小值) ,求 的
最大值.

22.选考题 请从(1) 、 (2) 、二题中任选一题作答,用 2B 铅笔将所选题目的题号涂黑,并 将所选题号填入括号中。如果多做,则按所做的前两题计分。 (本题满分 10 分)

(1)已知曲线 C 的参数方程为

? ? x ? 2 ? 5 cos ? ? ? ? y ? 1 ? 5 sin ?

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

( ? 为参数),以直角坐标系原点为极点,

(Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线的极坐标方程为 ? (sinθ+cosθ)=1,求直线被曲线 C 截得的弦长.

? ?1,5? . (2). 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ,不等式 f ( x) ? 3 的解集为
(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2016 届五地八校联考高三数学(理)答题卷 一.选择题 12×5℅

1 A

2 D

3 B

4 D

5 A

6 C

7 B

8 A

9 B

10 A

11 D

12 B

二.填空题 4×5℅

13.

2

5 ? 14. 6

15. ?9

16.

?1?

三、解答题。 (共 70 分)

17. 解 : ( 1 ) 因 为

Sn ?

3n2 ? n , a ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? 2, 又 n ? 1 时 , 2 所以当 n ? 2 时 n
6分

an ? S1 ? 1 ? 3? 1? 2, a ? 3n ? 2, 所以 n
( 2 ) 要 使 得

a1,an, am 成 等 比 数 列 , 只 需 要 an 2 ? a1am , 即

(3n ? 2)2 ? 1? (3m ? 2), m ? 3n2 ? 4n ? 2 .而此时 m ? N ? ,且 m ? n, 所以对任意 n ? 1 ,都
有 m ? N ,使得
?

a1,an, am 成等比数列.

12 分

18. .解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.②

由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B, 又 B∈(0,π),所以

. 6分

(2)△ ABC 的面积

.由已知及余弦定理得 4=a2+c2-

.

又 a2+c2≥2ac,故 因此△ ABC 面积的最大值为

,当且仅当 a=c 时,等号成立. . 12 分

19 .解: (Ⅰ)证:由已知 DF∥AB 且 ? DAB 为直角,故 ABFD 是矩形, 从而 AB ? BF. 又 PA ? 底面 ABCD, ∴平面 PAD ? 平面 ABCD, ∵AB ? AD,故 AB ? 平面 PAD,∴AB ? PD, 在 ΔPCD 内,E、F 分别是 PC、CD 的中点,EF//PD, ∴ 由此得 AB ? 平面 BEF .............6 分 (Ⅱ)以 A 为原点,以 AB,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系, AB ? EF.

??? ? ??? ? 5 BD ? (?1, 2, 0), BE ? (0,1, ) 5 则
设平面 CDB 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ,平面 EDB 的法向量
z P

为 n2 ? ( x, y, z ) ,



? ?n2 ? BD ? 0 ? ? ? n2 ? BE ? 0

?? x ? 2 y ? 0 ? ? 5z ?? ? ?0 ?y ? n 2 ? 2,1, ? 5 5 ? 可取

?

?
D A B

E

y F

C

? ,则 设二面角 E? BD? 的大小为 C
x

cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|?

| n1 ? n2 | 5 2 ? | n1 | ? | n2 | = 1? 10 2 ,

??
所以,

?
4
............12 分

a
20.解: (Ⅰ)设直线 MN : x ? ay ? a ? 0 且 1 ? a
2

?

3 ?a?3 2

e?
所以离心率

2 6 ? 3 . 3

............3 分

x2 ? y2 ? 1 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) C ( x3 , y3 ) (Ⅱ)椭圆 H 方程为 3 ,设
①当直线斜率为 0 时,其方程为 y ? 0 ,

x x ? 3 y1 y2 ? 0 ,不符合题意,舍去.......4 分 此时 A( 3, 0) , B (? 3, 0) ,不满足 1 2
②当直线斜率不为 0 时设直线方程为 x ? my ? 2 ,

? x ? my ? 2 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? 由题: ? 3
? ??0 ? ? ?2 2 ? ? y1 ? y2 ? 2 m ?3 ? ?1 ? y1 y2 ? 2 ? m ?3 所以 ?

m 2 ? 3? y 2 ? 2 2my ? 1 ? 0 ? x 消 得 ,........5 分

............7 分

???? 1 ??? ? ? 3 ??? 1 3 1 3 OC ? OA ? OB x3 ? x1 + x2 y3 ? y1 + y2 2 2 2 2 , 2 2 因为 ,所以
因为点 C 在椭圆上,
2 x3 1?1 3 ? ?1 3 ? 2 ? y3 ? ? x + x ? y + y2 ? ? ? 1 2 1 ? ?2 ? 3 3? 2 2 2 ? ? ? ? 所以 2 2

? 3 ? x2 1 ? x2 3 ?1 ? 2? ? ? 1 ? y12 ? ? ? 2 ? y2 ?? ? x1 x2 ? y1 y2 ? 4? 3 ? ? 4? 3 ? 2 ?3
? 1 3 3 ?1 ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? 1 4 4 2 ?3 ?
............9 分

所以

x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 0

?

x1 x2 ? my1 ? 2 my2 ? 2 ? m 2 y1 y2 ? 2m( y1 ? y2 ) ? 2
? ? m 2 ? 3? ?
2

?

??

?

?1 ?2 2 ? 2m ? 2 ?2?0 2 m ?3 m ?3
直线为 x ? ? y ? 2 ............11 分

化简得 m ? 1 ? 0 ,得 m ? ?1

综上,直线为 x ? y ? 2 ? 0, x ? y ? 2 ? 0 21.解:(Ⅰ)由题意知,曲线

............12 分

在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 2 ,所以 f '(1) ? 2 ,

f '( x) ? ln x ?


a ? 1, x 所以 a ? 1 . 3 分

(Ⅱ) k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根.

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ? 1) ln x ?
设 当 x ? (0,1] 时, h( x) ? 0 .

x2 , ex

h(2) ? 3ln 2 ?
又 所以存在

4 4 ? ln 8 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0, 2 e e

x0 ? (1, 2) ,使 h( x0 ) ? 0 .
1 x( x ? 2) 1 ?1? , h '( x) ? 1 ? ? 0 x x ? (1, 2) x e e 所以当 时, ,当 x ? (2, ??)

h '( x) ? ln x ?
因为

时, h '( x) ? 0 , 所以当 x ? (1, ??) 时, h( x) 单调递增. 所以 k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根. 8分

x x ? (0,x0 )时, (Ⅲ)由(Ⅱ)知,方程 f ( x) ? g ( x)在 (1, 2) 内存在唯一的根 0 ,且
?( x ? 1) ln x, x ? (0, x0 ] ? m( x) ? ? x 2 , x ? ( x0 , ??) ? f ( x) ? g ( x), x ? ( x0 , ??) 时, f ( x) ? g ( x) ,所以 ? ex .


x ? (0, x0 ) 时,若 x ? (0,1], m( x) ? 0;
m '( x) ? ln x ? 1 ? 1 ? 0, 0 ? m( x) ? m( x0 ); 故 m( x) ? m( x0 ). x 可知 x(2 ? x ) , x ? ( x0 , 2) 时, m '( x ) ? 0, m (x )单调递增; ex 可得

x ? (1, x0 ), 由 若



x ? ( x0 , ??) 时,由

m '( x ) ?

x ? (2, ??) 时, m '( x) ? 0, m( x) 单调递减;

m( x) ? m(2) ?
可知

4 , e 2 且 m( x0 ) ? m(2) .

4 2 综上可得:函数 m( x) 的最大值为 e .

12 分

? ? x ? 2 ? 5 cos ? ? ? y ? 1 ? 5 sin ? 22.(1)∵曲线 C 的参数方程为 ? (α 为参数)

? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 5 ∴曲线 C 的普通方程为
2 2

? x ? ? cos ? ? y ? ? sin ? 代入并化简得: ? ? 4 cos ? ? 2sin ? 将?
即曲线 c 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ? 2sin ? ..........5 分 (2)∵的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0

2
∴圆心 C 到直线的距离为 d= 22. (2).解..(1)∵ | x ? a |? 3

2 = 2 ∴弦长为 2 5 ? 2 =2 3
∴a ?3? x ? a ?3

..........10 分

∵ f ( x) ? 3 的解集为

∴? a ? 3 ? 5

a ? 3 ? ?1
∴a=2 .......5 分

(2)∵ f ( x) ? f ( x ? 5) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |?| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 又 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 恒成立 ∴m≤5 ...............10 分



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