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高二数学竞赛综合练习(3)



高二数学竞赛综合练习题(3)
班级 1. 已知 ? ? [ 学号 姓名

5? 3? , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为 4 2

2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为

x2 3. 过椭圆 ? y 2 ? 1的右焦点 F2 作倾

斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为 2
? ? ? ? 4. 向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (cos? , 3) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围 为
5. 已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ?



?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为 6 ? 2?

6. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为
?2,x?[0,1] 7.已知函数 f(x)=? 则使 f[f(x)]=2 成立的实数 x 的集合为 ?x,x?[0,1].

.

8.点 A,B 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上移动,且 AB=2,若点 A 从( 3,0)移动到( 2, 0),则 AB 中点 D 经过的路程为
2

.

9.关于 x 的不等式 x ?ax+2a<0 的解集为 A,若集合 A 中恰有两个整数,则实数 a 的取值范 围是 .

10. 设 x, y, z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 11. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。

12. 给 定 两 个 数 列 ?xn ? , ?yn ? 满 足 x0 ? y0 ? 1 , xn ?

xn?1 (n ? 1) , 2 ? xn ?1

2 y n?1 yn ? (n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 jn ,使得 1 ? 2 y n?1

y n ? x jn 。

1 1 13.已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? x ? m ,其中 m ?R. 3 3 (1)求函数 y=f(x)的单调区间;
(2)若对任意的 x1,x2?[?1,1],都有 | f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) |? 4 ,求实数 m 的取值范围; (3)求函数 f ( x) 的零点个数.

14.设 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 3 。求证:

a?b b?c c?a 3 ? ? ? , 2?a?b 2?b?c 2?c?a 2 并指明等号成立的条件。

练习 3 参考答案
1. 2 cos ? 2. ? 2 3.

4 2 3
? 8. 12

4.[1,3]

?1 ? 5. ? , 1? ?2 ?

6. x ? 3 或 x ? 1
10. 3 或 57

7. x 0 ? x ? 1或x ? 2

?

?

1 25 9. [?1, ? ) ? ( ,9] 3 3

11.当 x ? 0, y ? ?( x ?1)2 ? 1,
由此可知 ymax ? 0 。

当 x ? 0, y ? ( x ?1)2 ?1,

当 1 ? a ? 2, ymin ? a2 ? 2a ;当 1 ? 2 ? a ? 1, ymin ? ?1 ; 当 a ? 1 ? 2, ymin ? ?a2 ? 2a 。

12.

1 2 1 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? { ? 1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2, xn xn?1 xn xn ?1 xn 1 1 。 ? 1 ? 2n?1 ? xn ? n?1 xn 2 ?1

所以

又由已知, yn ? 1 ?
由1 ?

( yn?1 ? 1)2 y ? 1 yn?1 ? 1 2 1 1 2 ? n ?( ) ? 1 ? ? (1 ? ) 1 ? 2 y n?1 yn y n?1 yn yn?1

n 1 1 1 , ? 2 ? 1 ? ? 22 ? yn ? y0 yn 2n ? 1 2 n ? 1 即可。 所以取 j ? 2
n

13.解:(1) f ? (x)=x2-2mx-1, 由f? (x)?0,得 x?m- m2+1,或 x? m+ m2+1; 故函数 f ( x) 的单调增区间为(-∞,m- m2+1),(m+ m2+1,+∞), 减区间(m- m2+1, m+ m2+1). (2) “对任意的 x1,x2?[?1,1],都有|f?(x1)?f?(x2)|?4”等价于“函数 y=f ? (x),x?[?1,1]的最大 值与最小值的差小于等于 4”. 对于 f ? (x)=x2-2mx-1,对称轴 x=m. ①当 m<?1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (1),最小值为 f ? (?1),由 f ? (1)?f ? (?1)?4,即?4m?4,解得

m?1,舍去;
?f ? (1)?f ? (m)?4 ②当?1?m?1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (1)或 f ? (?1),最小值为 f ? (m),由 ? ,即 (?1)?f ? (m)?4 ?f ? ?m ?2m?3?0 ? 2 ,解得?1?m?1; ?m +2m?3?0
2

③当 m>1 时, f ? (x)的最大值为 f ? (?1),最小值为 f ? (1),由 f ? (?1)?f ? (1)?4,即 4m?4,解得 m?1, 舍去; 综上,实数 m 的取值范围是[?1,1]. (3)由 f ? (x)=0,得 x2-2mx-1=0, 因为△=4m2+4>0,所以 y=f(x)既有极大值也有极小值. 设 f ? 0)=0,即 x02-2mx0-1=0, (x 1 1 1 2 1 2 则 f (x0)= x03-mx02-x0+ m=- mx02- x0+ m=- x0(m2+1) 3 3 3 3 3 3 2 所以极大值 f(m- m2+1)=- (m- m2+1)(m2+1)>0, 3 2 极小值 f(m+ m2+1)=- (m+ m2+1)(m2+1)<0, 3 故函数 f(x)有三个零点.

14 证明:由柯西不等式

ai2 ?b ? i ?1 i
n

(? ai ) 2
i ?1 n

n

?b
i ?1

得到

i

a?b b?c c?a ( a ? b ? c ? b ? a ? c )2 ? ? ? 2?a?b 2?b?c 2?c?a 6 ? 2(a ? b ? c)

(1)

(1)式右边的分子= 2(a ? b ? c) ? 2( a ? b c ? b ? c ? b a ? c ? a ? c c ? b ) = 2(a ? b ? c) ? 2( b ? b(a ? c) ? ac ? ?) ? 2(a ? b ? c) ? 2( b ? 2b ac ? ac ? ?)
2 2

? 2(a ? b ? c) ? 2(b ? ac ? a ? bc ? c ? ab ) ? 3(a ? b ? c) ? ( a ? b ? c )2
? 3(a ? b ? c ? 3) 。
等号成立条件是 a ? b ? c ? 1 。结论成立。



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