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2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件:选修4-1 第2节 直线与圆的位置关系



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自 主 落 实 · 固 基 础

第二节

直线与圆的位置关系

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





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自 主 落 实 · 固 基 础

1.圆周角定理 圆心角 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的______的一半.
2.圆心角定理及推论 定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数.

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典 例 探 究 · 提 知 能

同弧或等弧 推论1:____________所对的圆周角相等;同圆或等圆 弧 中,相等的圆周角所对的_____也相等. 直角 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是_______;90°的 直径 圆周角所对的弦是_______.
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3.圆内接四边形的性质与判定定理

(1)圆内接四边形的性质定理
互补 ①定理1:圆的内接四边形的对角________.

内角的对角 ②定理2:圆内接四边形的外角等于它的___________.
(2)圆内接四边形的判定定理及推论

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互补 ①判定定理:如果一个四边形的对角_______,那么这 共圆 个四边形的四个顶点_______. 对角 ②推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的____, 共圆 那么这个四边形的四个顶点_______.
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4.圆的切线的性质及判定定理 垂直 (1)切线的判定定理:经过半径的外端并且_______于这
条半径的直线是圆的切线. 半径 (2)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的____. 切点 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过______.

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圆心 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过______. 5.弦切角定理 圆周角 定理:弦切角等于它所夹的弧所对的_________.
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6.与圆有关的比例线段
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圆内的两条相交弦, 相交弦定 被交点分成的两条线 理 相等 段长的积______ PA· PB=PC·PD
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割线定理

从圆外一点引圆的 两条割线,这一点 到每条割线与圆交 点的两条线段长的 相等 积______ PA· PB=PC·PD

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从圆外一点引圆的 切线和割线, 切线长 _______是这点到 切割线定理 割线与圆交点的两 条线段长的比例中 项

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PA· PB=PC2
菜 单

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从圆外一点引圆的 两条切线,它们的 相等 切线长 _______, 切线长定理 圆心和这一点的连 平分 线______两条切线 的夹角.

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PA=PC,∠APO =∠CPO
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1.“相等的圆周角所对的弧也相等”对吗?
【提示】 对的弧才相等. 2.任意一个四边形都有外接圆吗?三角形呢? 【提示】 任意一个四边形不一定有外接圆,但任意一 不对.只有同圆或等圆中,相等的圆周角所

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个三角形一定有外接圆.

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图24
1.(人教A版教材习题改编)如图24所示,点A,B,C是

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圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于
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________. 【解析】 ∵∠ACB=30°,

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∴∠AOB=2∠ACB=60°, ∴△AOB是等边三角形.
菜 单

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∴R=OA=AB=4.

∴⊙O的面积S=π· 2=16π. R
【答案】 16π

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图25 2.(2013· 惠州调研)如图25,从圆O外一点A引圆
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的切线AD和割线ABC,已知AD=4 2 ,圆O的半径r =AB=4,则圆心O到AC的距离为________.

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【解析】
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连接OB,作OE⊥AC于E,如图所

示.

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由切割线定理,得 AD2=AB· AC, 即(4 2)2=4AC, ∴AC=8,∴BC=4,BE=2, 因此OE= OB -BE =2 3, ∴圆心O到AC的距离为2 3.
2 2
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【答案】
菜 单

2 3

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图26 3.(2013· 潮州二模)如图26所示,已知圆中两条 弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF =CF= 2 ,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相 切,则线段CE的长为________.

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【解析】 设BE=x,则FB=2x,AF=4x,由 相交弦定理得DF· FC=AF·FB,即2=8x2,解得x= 1 , 2 由切割线定理得 1 7 7 7 2 CE =EB· EA= × = ,所以CE= . 2 2 4 2

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【答案】

7 2

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图27
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4.(2012·广东高考)如图27所示,直线PB与圆O相切于 点B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC= n,则AB=________.

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【解析】 ∵PB切⊙O于点B, ∴∠PBA=∠ACB. 又∠PBA=∠DBA,∴∠DBA=∠ACB, 又∵∠BAD=∠BAD, ∴△ABD∽△ACB. AB AD ∴ = , AC AB ∴AB2=AD· AC=mn,∴AB= mn.

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【答案】

mn

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图28 (2011·广东高考)如图28所示,过圆O外一点P分别作 圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得
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BC=5,∠BAC=∠APB,则AB=________.
菜 单

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【思路点拨】 先证明△PAB∽△ACB,从而 AB PB = ,代入PB,BC的值可求AB. BC AB
【尝试解答】 由弦切角定理得∠PAB= ∠ACB, 又因为∠BAC=∠APB, AB PB ∴△PAB∽△ACB,∴ = , BC AB 将PB=7,BC=5,代入得AB= 35.

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【答案】

35

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1.解答本题的关键是根据角相等得到三角形相似,
再根据相似三角形的性质得到边之间的关系. 2.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于 圆周上的点,常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角 或弦切角.

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图29
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(2012·广东高考)如图29所示,圆O的半径为1,A,B, C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切 线与OC的延长线交于点P,则PA=________.

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【解析】 连接OA.∵AP为⊙O的切线, ∴OA⊥AP.

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又∠ABC=30°,∴∠AOC=60°. ∴在Rt△AOP中,OA=1,
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PA=OA· 60°= 3. tan

【答案】

3

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图30
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如图30所示,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD 和过C点的切线互相垂直,垂足为D.若∠BAC=35°,则 ∠CAD=________.

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【思路点拨】
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利用切线垂直于过切点的半径,由线线
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垂直,得线线平行,进而得到角度之间的等量关系.

【尝试解答】
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连结OC.
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∵CD是⊙O的切线, ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD,

∴OC∥AD.由此得∠ACO=∠CAD.
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∵OC=OA,
∴∠CAO=∠ACO.

∴∠CAD=∠CAO.
又∠CAO=∠BAC=35°, 故∠CAD=35°.

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【答案】

35°

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1.若知圆的切线,一种自然的想法就是连结过切点

的半径,从而得到垂直关系.
2.证明某条直线是圆的切线的常用方法有:(1)若已 知直线与圆有公共点,则需证明圆心与公共点的连线垂直 于已知直线即可;(2)若已知直线与圆没有明确的公共 点,则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径.

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图31 如图31所示,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.若∠ADE=50°,则∠ABD=________.
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【解析】
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连结OD.∵BD=CD,OA=OB,

∴OD是△ABC的中位线.

∴OD∥AC.
又∵∠DEC=90°, ∴∠ODE=90°. 又∵D在圆周上,

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∴DE是⊙O的切线. 因此∠ABD=∠ADE=50°. 【答案】
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50°

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图32 (2012· 天津高考)如图32,已知AB和AC是圆的 两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点 3 F,AF=3,FB=1,EF= ,则线段CD的长为 2 ________.
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【思路点拨】

先根据相交弦定理求出CF,再根据三

角形相似求出BD,最后根据切割线定理求CD.

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【尝试解答】 由相交弦定理得AF· BF= EF· CF,解得CF=2, 由CF∥BD知,△AFC∽△ABD, AF CF 3 2 ∴ = ,即 = , AB BD 4 BD 8 AC AF 3 ∴BD= ,∵ = = ,∴AD=4CD, 3 AD AB 4 由切割线定理知,DB2=DC· DA=4CD2,即 64 2 4CD = . 9
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64 4 因此4CD = ,∴CD= . 9 3
2

【答案】

4 3

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1.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内 容:如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与

圆有关的相似三角形等.
2.相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比 例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识 及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.

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图33
如图33,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F, 延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论:

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①AD+AE=AB+BC+CA; ②AF· AG=AD·AE; ③△AFB∽△ADG. 其中正确结论的序号________.
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【解析】

由切线长定理得CE=CF,BD=BF,

∴AD+AE=AB+BD+AC+CE=AB+AC+BC.则①

正确.
由切 割线 定理得 , AF·AG= AD2 = AD·AE, 即 ② 正 确.

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因为△ADF∽△AGD,故③错误. 【答案】 ①②
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圆中的角(圆周角、弦切角)以及弦之间的相互转化可
以通过它们对应的弧完成.

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圆中的比例线段较多,要记准线段的端点及对应位置,
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以防出错.
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与圆有关的比例线段(等积式)的证明常有以下三种方
法: (1)利用相似三角形; (2)利用切割线定理、相交弦定理; (3)利用角平分线定理.

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从近两年高考试题来看,圆周角、弦切角定理, 圆内接四边形的判定与性质,相交弦定理,切割线定 理是高考的热点内容,考查形式主要有两种:一种是 求值问题,另一种是证明问题,难度中等偏下.在解 答证明问题时,一定要注意答题的规范化.

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规范解答之二十
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与圆有关的证明问题)

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图34
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(10分)(2012·辽宁高考)如图34,⊙O和⊙O′相交于A, B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接 DB并延长交⊙O于点E.证明: (1)AC·BD=AD·AB;
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(2)AC=AE.
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【规范解答】 (1)由AC与⊙O′相切于A,得 ∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB.3分 AC AB 从而 = ,即AC· BD=AD· AB.5分 AD BD (2)由AD与⊙O相切于A,得∠AED=∠BAD. 又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.7分 AE AD 从而 = ,即AE· BD=AD· AB. AB BD 综合(1)的结论知,AC=AE.10分

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【解题程序】

第一步:根据弦切角定理证明角相等,

从而证明△ACB∽△DAB; 第二步:利用相似三角形的性质定理证明 AC·BD= AD·AB; 第三步:根据弦切角定理证明角相等,从而证明

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△EAD∽△ABD; 第 四 步 : 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 定 理 得 AE·BD =
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AD·AB.结合(1)的结论得AC=AE.





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易 错 提 示 : (1) 证 明 本 题 (2) 时 , 想 不 到 证 明

△EAD∽△ABD,从而无法解答.
(2)证明本题(2)时,没有应用(1)的结论从而无法证明结 论成立. 防范措施:(1)证明线段相等的方法较多,在选择方法

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时应结合所给条件寻找切实可行的方法,本题中根据条件能

得到多对角相等,自然能够想到通过相似三角形证明.
(2)在有多个结论的题目中,如果结论带有普遍性,已 经证明的结论,可作为证明下一个结论成立的条件使用.
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图35
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1.(2012·湖南高考)如图35所示,过点P的直线与⊙O相 交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则⊙O的半径 等于________.

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【解析】
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设⊙O的半径为r(r>0),∵PA=1,AB=
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2,

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∴PB=PA+AB=3. 延长PO交⊙O于点C,则PC=PO+r=3+r. 设PO交⊙O于点D,则PD=3-r. 由圆的割线定理知,PA· PB=PD· PC, ∴1×3=(3-r)(3+r),∴9-r =3,∴r= 6.
2

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【答案】

6





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图36 2.(2013·珠海检测)△ABC中,∠B=30°,CD⊥AB 于D,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,则∠CEF=________.
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【解析】

由DE⊥AC,DF⊥BC,

∴点D、E、C、F四点共圆,且CD是外接圆的直径,

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∴∠CEF=∠CDF, 在Rt△DFB中,∠B=30°,则∠FDB=60°, 从而∠CEF=∠CDF=90°-60°=30°. 【答案】
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30°

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课后作业(七十四)

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