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第1课时 集合的概念及运算



第 1 课时
【考点导读】

集合的概念及运算

1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能选择自然语言,图形语言,集合语言 描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义. 3. 理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集;理解在给定集合中一 个子集补集的含义,会求给定子集的补集;能使用文氏图表达集合的关系及运算,体会 直观图示对理解抽象概念的作用. 4. 集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等式要复杂一 些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想.

【学习指导】 1、集合的概念: (1)集合中元素特征,确定性,互异性,无序性; (2)集合的分类: ①按元素个数分:有限集,无限集; ②元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x },表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x },表示 开口向上,以 y 轴为对称轴的抛物线; (3)集合的表示法: ①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如 N+={0,1,2,3,?};②描 述法。 2、两类关系: (1)元素与集合的关系,用 ? 或 ? 表示; (2)集合与集合的关系,用 ? ,? ,=表示,当 A ? B 时,称 A 是 B 的子集;当 A ? B 时, ? ? 称 A 是 B 的真子集。 3、集合运算 (1)交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A 且 x∈B},A∪B={x|x∈A,或 x∈B},CUA={x|x ∈U,且 x ? A} ,集合 U 表示全集; (2)运算律,如 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) U(A∩B)=(CUA)∪(CUB) ,C , CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。
2 2

【细节注意】 1.注意区分集合中元素的形式.如: x | y ? lg x} —函数的定义域; y | y ? lg x} —函数的值域; { {

? {( x, y) | y ? lg x} — 函 数 图 象 上 的 点 集 . 如 : 集 合 M ? { a | a? (1, 2 ) ?

( 3, ? ?, R , } 4) ? ? N ? {a | a ? (2,3) ? ? (4,5) , ? ? R} ,则 M ? N ? _____(答: {(?2,?2)} )

? ?

2.集合的性质: ①任何一个集合 A 是它本身的子集,记为 A ? A . ②空集是任何集合的子集,记为 ? ? A . ③空集是任何非空集合的真子集; 注意:条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的

情况

A ? {x | ax ? 1 ? 0} , B ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0? ,且 A ? B ? B ,则实数 a =______.(答:

如: A ? {x | ax ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ? ,求 a 的取值.(答: a ? 0 );集合
2

1 a ? 0,1, ) 2
次为 2 n , n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 2. 如满足 {1, 2} ? M ? {1, 2,3, 4,5} 集合 M 有______个。(答: 2 , , ? 7) 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如:已知函数 f ( x) ? 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p ? 1 在区间 [?1,1] 上至少存在一个实数 c ,使
2 2

④对于含有 n 个元素的有限集合 M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依

f (c) ? 0 ,求实数 p 的取值范围.(答: (?3, ) )
2

3

【基础练习】 1.集合 {( x, y ) 0 ? x ? 2, 0 ? y ? 2, x, y ? Z } 用列举法表示

{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)} .
2.设集合 A ? {x x ? 2k ? 1, k ? Z } , B ? {x x ? 2k , k ? Z } ,则 A ? B ? ? . 3.已知集合 M ? {0,1, 2} , N ? {x x ? 2a, a ? M } ,则集合 M ? N ? {0, 2} . 4.设全集 I ? {1,3,5, 7,9} ,集合 A ? {1, a ? 5 ,9} ,CI A ? {5, 7} ,则实数 a 的值为____8 或 2___. 【范例解析】
2 例 1、已知 R 为实数集,集合 A ? {x x ? 3 x ? 2 ? 0} .若 B ? C R A ? R ,

B ? C R A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ,求集合 B.
分析:先化简集合 A,由 B ? C R A ? R 可以得出 A 与 B 的关系;最后,由数形结合, 利用数轴直观地解决问题. 解:? A ? {x 1 ? x ? 2} ,? CR A ? {x x ? 1 或 x ? 2} . 又 B ?C R A ? R , A?C R A ? R , 可得 A ? B . 而 B ? C R A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ,

? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ? B.
借助数轴可得 B ? A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ? {x 0 ? x ? 3} .

例 2、已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求 M∩N。 分析: 在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、N 均为数集,不能 误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。 M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R} ∴ M∩N=M={y|y≥1}
2

2

说明:实际上,从函数角度看本题中的 M,N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般 地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数 y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集 合与集合{(x,y)|y=x +1,x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线 y=x +1 上的 所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。
2 2

例 3、已知集合 A={x|x -3x+2=0},B+{x|x -mx+2=0},且 A∩B=B,求实数 m 范围。 分析: 化简条件得 A={1,2},A∩B=B ? B ? A 根据集合中元素个数集合 B 分类讨论,B=φ ,B={1}或{2},B={1,2}

2

2

解:当 B=φ 时,△=m -8<0 ∴ ?2 2 ?m?2 2
?? ? 0 当 B={1}或{2}时, ? ,m 无解 ?1 ? m ? 2 ? 0或4 ? 2m ? 2 ? 0 ?1 ? 2 ? m 当 B={1,2}时, ? ?1 ? 2 ? 2

2

∴ m=3 综上所述,m=3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 说明: 分类讨论是中学数学的重要思想, 全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重 要方面,如本题当 B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。

【反馈演练】 1. P, 为两个非空实数集合, 设 Q 定义集合 P+Q= {a ? b | a ? P, b ? Q}, 若P ? {0,2,5}, Q ? {1,2,6} , 则 P+Q 中元素的个数是____8___个.

2 2.设集合 P ? {x x ? x ? 6 ? 0} , Q ? {x 2a ? x ? a ? 3} .

(1)若 P ? Q ? P ,求实数 a 的取值范围; (2)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围; (3)若 P ? Q ? {x 0 ? x ? 3} ,求实数 a 的值. 解: (1)由题意知: P ? {x ?2 ? x ? 3} ,? P ? Q ? P ,? Q ? P . ①当 Q ? ? 时,得 2a ? a ? 3 ,解得 a ? 3 . ②当 Q ? ? 时,得 ?2 ? 2a ? a ? 3 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 0 . 综上, a ? (?1,0) ? (3, ??) . (2)①当 Q ? ? 时,得 2a ? a ? 3 ,解得 a ? 3 ; ②当 Q ? ? 时,得 ?

? 2a ? a ? 3, 3 ,解得 a ? ?5或 ? a ? 3 . 2 ? a ? 3 ? ?2或2a ? 3
3 2

综上, a ? (??, ?5] ? [ , ??) . (3)由 P ? Q ? {x 0 ? x ? 3} ,则 a ? 0 .

【同步练习】 (一) 选择题
2

1、设 M={x|x +x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与 M 的关系是 A、{a}=M B、M ? {a}C、{a} ? M ? ? B、 (-2,2)
2

D、M ? {a}

2、已知全集 U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且 A∩B=φ ,则 a 的取值范围是 A、 [0,2] A、 M ? N ? 是 A、11 B、10 C、16 D、15 C、 (0,2]
2

D、 (0,2)

3、已知集合 M={x|x=a -3a+2,a∈R},N、{x|x=b -b,b∈R},则 M,N 的关系是 B、M ? N ? C、M=N D、不确定

4、设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则 A∪B 中的元素个数

5、集合 M={1,2,3,4,5}的子集是 A、15 B、16 C、31 D、32

6、集合 A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3?+1,?∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系

是 A、S ? B ? A ? ? (二) 填空题
m?4 x?3 ? Z },N={x| ? N} ,则 M∩N=___φ _______。 2 2

B、S=B ? A ?

C、S ? B=A ?

D、S ? B=A ?

11、已知 M={ m |

12、在 100 个学生中,有乒乓球爱好者 60 人,排球爱好者 65 人,则两者都爱好的人数 最少是_25,60__人。 13、非空集合 p 满足下列两个条件: (1)p ? {1,2,3,4,5}, (2)若元素 a∈p,则 ? 6-a∈p,则集合 p 个数是____7_____。 (三) 解答题

14、设集合 A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|},若 A∩B 是单元素集合,求 a 取 值范围。a≥1 或 a≤-1,提示:画图

15、设 A={x|x +px+q=0}≠φ ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若 A∩M=φ ,A ∩N=A,求 p、q 的值。
?p ? ?8 ?p ? ?20 ?p ? ?14 ,或 ? ,或 ? ? ?q ? 16 ?q ? 10 ?q ? 40

2

16

已 知 函 数

f ( x) ? lg( x 2 ? ax ? b) 的 定 义 域 为 集 合 A , 函 数
的 定 义 域 为 集 合

g ( x) ? kx2 ? 4 x ? k ? 3

B

,



(C R A) ? B ? B, (C R A) ? B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,求实数 a, b 的值及实数 k 的取值范围.
解:? A ? {x | x ? ax ? b ? 0}, B ? {x | kx ? 4 x ? k ? 3 ? 0, k ? R}
2

? (C R A) ? B ? B,? B ? C R A , 又 (C R A) ? B ? {x | ?2 ? x ? 3} ? C R A ? {x | ?2 ? x ? 3}. ? A ? {x | x ? ?2或x ? 3} 即不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 {x | x ? ?2或x ? 3} ? a ? ?1, b ? ?6 2 由 B ? ?且B ? C R A可得 ,方程 F ( x) ? kx ? 4 x ? k ? 3 ? 0 的两根都在 [?2,3]内
? ?k ? 0 ? ?? ? 0 3 ? ? ? F (?2) ? 0 解得 ? 4 ? k ? ? 2 ? F (3) ? 0 ? 2 ? ?? 2 ? ? k ? 3 ? 3 故 a ? ?1, b ? ?6 , k ? [?4,? ] 2
【考题试炼】

全国卷:设集合 M ?

?? x , y ? x

2

? y 2 ? 1, x ? R, y ? R , N ?
)A.1 )

?

?? x , y ? x
B.2

2

? y ? 0, x ? R, y ? R ,
C.3 D.4
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?

则集合 M ? N 中元素的个数为( 全国卷:不等式 1 ? x ? 1 ? 3 的解集为(

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A. ? 0, 2 ? B. ? ?2,0 ? ? ? 2, 4 ? C. ? ?4,0 ? D. ? ?4, ?2 ? ? ? 0,2 ?

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全国卷理:已知集合 M ? {0,1,2}, N ? {x | x ? 2a, a ? M },则集合 M ? N = A.{0} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,2}
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全国卷文:设集合 U={0,1,2,3,4,5},集合 M={0,3,5},N={1,4,5},则 M∩( CU N ) =( ) A.{5} 天津卷理:不等式 B.{0,3} C.{0,2,3,5} D. {0,1,3,4,5}

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x ?1 ? 2 的解集为 x

A. [?1, 0) B. [?1, ? ?) C. (??, ? 1] D. (??, ? 1] ? (0, ? ?)

1 天津卷文:设集合 P ? ? , 2 , 3 , 4 , 5 , 6?,Q ? x ? R 2 ? x ? 6 ,那么下列结论正确的是
A. P ? Q ? P B. P ? Q ? Q ? C. P ? Q ? Q D. P ? Q ? P ?
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?

?

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浙江卷文:若 U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 CU ? M ? N ? = A {1,2,3} B {2} C {1,3,4} D{4}

北京理:设全集是实数集 R, M ? {x|?2 ? x ? 2} , N ? {x| x ? 1} ,则 (C R M ) ? N 等于 A. {x| x ? ?2} B. {x|?2 ? x ? 1} C. {x| x ? 1} D. {x|?2 ? x ? 1}
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北京文:设 M ? {x|?2 ? x ? 2} , N ? {x| x ? 1} ,则 M ? N 等于 A. {x|1 ? x ? 2} B. {x|?2 ? x ? 1} C. {x|1 ? x ? 2}
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D. {x|?2 ? x ? 1}

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福建文:设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则 CU ( A ? B) 等于( A.{1,2,4} B.{4} C.{3,5}D. ?
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湖北卷理:设 A、B 为两个集合,下列四个命题: 1 A ? B ? 对任意 x ? A, 有x ? B

2

A? B? A? B ? ?

3 A 4A

?B?A

B
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? B ? 存在 x ? A, 使得x ? B

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其中真命题的序号是(把符合要求的命题序号都填上) 湖北卷文:设 A ? {x | x ? A.{1,4}

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5k ? 1, k ? N ), B ? {x | x ? 6, x ? Q}, 则A ? B 等于 (
B.{1,6} C.{4,6} D.{1,4,6}
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江苏卷 1.设集合 P={1,2,3,4},Q={ x x ? 2, x ? R },则 P∩Q 等于 A{1,2} B{3,4} C {1} D{-2,-1,0,1,2}
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(
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)

全国卷:设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I,则下列各式中错误的是 .. ∪B=I B.( C I A)∪( C I B)=I C.A∩( C I B)= ? D.( C I A) ? ( C I B)= C I B
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A. C I A) (

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全国卷文:设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则 A∩( CU B)=( A.{2} B.{2,3}
2



C.{3}
2

D. {1,3}

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全国卷理:已知集合 M={x|x <4 } ,N={x|x -2x-3<0 } ,则集合 M∩N=( ) A{x|x<-2 } C{x|-1<x<2 } 重庆卷文:不等式 x ? B{x|x>3} D{x|2<x<3 }

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2 () ? 2 的解集是: x ?1 A (?1,0) ? (1, ??) B (??, ?1) ? (0,1) C (?1,0) ? (0,1) D (??, ?1) ? (1, ??)
? ? 1 |? 2

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广东卷:.已知 A ? ? x || x ?

3? 2 ? , B ? ? x | x ? x ? 6? , 则 A ? B ? 2?

(

)

A. ? ?3, ?2 ? ? ?1, 2 ? B. ? ?3, ?2 ? ? ?1, ?? ? C.

? ?3, ?2? ? ?1, 2 ?

D. ? ??, ?3? ? ?1, 2?

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2010 北京文: 设集合 A ? {x | ?

1 ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ,则 A ? B ? 2

A. {x ?1 ? x ? 2} B. {x | ?

1 ? x ? 1} 2

C. {x | x ? 2}

D. {x |1 ? x ? 2}

2 2010 年广东卷文:已知全集 U ? R ,则正确表示集合 M ? {?1,0,1} 和 N ? x | x ? x ? 0

?

?

关系的韦恩(Venn)图是

(

)

2 解析 由 N ? x | x ? x ? 0 ,得 N ? {?1, 0} ,则 N ? M ,选 B. 2 2009 山东卷理:集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ,则 a 的值

?

?

?

?



A.0

B.1

C.2

D.4

? a 2 ? 16 A ? ?0, 2, a? , B ? ?1, a 2 ? , A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ∴ ? ∵ ∴a ? 4 , ? a?4
2009 全国卷Ⅱ文:已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M ={1,3,5,7},

N ={5,6,7},则 Cu( M ? N)=
A. {5,7} B. {2,4} C. {2.4.8} D. {1,3,5,6,7}

2009 安徽卷理:若集合 A ? x | 2 x ? 1|? 3 , B ? ? x A. ? x ?1 ? x ? ? 1 或2 ? x ? 3? ? ? 2 ? ?

?

?

? 2x ?1 ? ? 0 ? , 则 A∩B 是 ? 3? x ?

? 1 ? B. x 2 ? x ? 3 C. ? x ? ? x ? 2 ? D. ? x ?1 ? x ? ? 1 ? ? ? 2 2? ? ? ?

?

?

集 合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? ? 或x ? 3} , ∴ A ? B ? {x | ?1 ? x ? ? } 2009 四川卷文:设集合 S ={ x | x ? 5 } T ={ x | ( x ? 7)( x ? 3) ? 0 }.则 S ? T , = A.{ x |-7< x <-5 } B.{ x | 3< x <5 } C.{ x | -5 < x <3}D.{ x | -7< x <5 } 2009 全国卷Ⅱ理:设集合

1 2

1 2

? x ?1 ? A ? ? x | x ? 3? , B ? ? x | ? 0 ? ,则 A ? B = ? x?4 ?
A. ? B. ? 3, 4 ? C. ? ?2,1? D.

? 4. ? ? ?

? x ?1 ? B ? ?x | ? 0? ? ? x | ( x ? 1)( x ? 4) ? 0? ? ? x |1 ? x ? 4? .? A ? B ? (3, 4) ? x?4 ?
2009 辽宁卷文:已知集合 M=﹛x|-3<x ? 5﹜,N=﹛x|x<-5 或 x>5﹜,则 M ? N= A.﹛x|x<-5 或 x>-3﹜ C.﹛x|-3<x<5﹜ B.﹛x|-5<x<5﹜ D.﹛x|x<-3 或 x>5﹜

2009 宁夏海南卷理:已知集合 A ? 1,3,5, 7,9? , B ? ?0,3, 6,9,12? ,则 A I CN B ? A. 1, 5, 7? C. 1, 3, 9?

?

?

B. 3,5, 7? D. 1, 2, 3?

?

?

?

2009 宁夏海南卷文:已知集合 A ? 1,3,5, 7,9? , B ? ?0,3, 6,9,12? ,则 A ? B ? A. C.

?

?3,5? ?3, 7?
D. 3,9?

B. 3, 6?

?

?

2 2009 四川卷理:设集合 S ? x | x ? 5 , T ? x | x ? 4 x ? 21 ? 0 , 则 S ? T ?

?

?

?

?

A. ? x | ?7 ? x ? ?5? C. ? x | ?5 ? x ? 3?

B. ? x | 3 ? x ? 5? D. ? x | ?7 ? x ? 5?

2009 福建卷文:若集合 A ? ? x | x ? 0.? B ? ? x | x ? 3? ,则 A ? B 等于 A.

{x | x ? 0}

B

{x | 0 ? x ? 3}

C

{x | x ? 4} D R

上海卷文:设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b}.若 A∩B={2}, 则 A∪B={1,2,5} 2009 年上海卷理:已知集合 A ? ? x | x ? 1? , B ? ? x | x ? a? ,且 A ? B ? R ,则实数 a 的 取值范围是______ a≤1__________ . 2009 重庆卷文: 若 U ? {n n 是小于 9 的正整数 } , A ? {n ?U n 是奇数 } ,

B ? {n ?U n 是 3 的倍数 } ,则 ? ( A ? B) ? . ?2, 4,8? U
U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} ,则 A ? {1,3,5,7}, B ? {3,6,9}, 所以 A ? B ? {1,3,5,7,9} ,
所以 ?U ( A ? B) ? {2, 4,8}
x 2009 重庆卷理:若 A ? x ? R x ? 3 , B ? x ? R 2 ? 1 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

(0,3)



因为 A ? ? x | ?3 ? x ? 3? , B ? ? x | x ? 0? , 所以 A I B ? (0,3) 2008 年北京卷:设集合 A= x x ? 2 ? 2, x ? R ,B= y y ? x ? 2 x ? 2,0 ? x ? 3 ,
2

?

?

?

?

则 R( A? B )=. (-∞,1)∪(4,+∞) 2009 年湖南高考模拟:设集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5}, C={3,4},则 ( A ? B) ? ( u C )

?2,5?
? ?

辽宁卷:设全集 U=R(1)解关于 x 的不等式 | x ? 1 | ?a ? 1 ? 0(a ? R); (2)记 A 为(1)中 不等式的解集,集合 B ? {x | sin(?x ? 恰有 3 个元素,求 a 的取值范围
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) ? 3 cos( x ? ) ? 0} ,若 (CU A) ? B ? 3 3

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解: (1)由 | x ? 1 | ?a ? 1 ? 0得 | x ? 1 |? 1 ? a. 当 a ? 1 时,解集是 R; 当 a ? 1时,解集是 {x | x ? a或x ? 2 ? a}
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(2)当 a ? 1 时, CU A = ? ;当 a ? 1时, CU A = {x | a ? x ? 2 ? a}. 因 sin(?x ?

?

? ) ? 3 cos( x ? ) ? 2[sin(?x ? ) cos ? cos( x ? ) sin ] ? 2 sin ?x ? 3 3 3 3 3 3
由 sin ?x ? 0, 得?x ? k? (k ? Z ), 即x ? k ? Z , 所以B ? Z 当 (CU A) ? B 怡有 3 个元素时,a 就满足 ? 解得 ? 1 ? a ? 0
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?

?

?

?

?

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?a ? 1 ?2 ? ( 2 ? a ) ? a ? 4

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【巩固练习】 (一) 1. 设集合A和集合B都是实数集R,映射f:A→B把集合A中元素x映射到集合B中的 元素x3- x +1,则象1的原象所成的集合是 A.{1} B.{0} C.{0,-1,1} D.{0,-1,-2} 2. 设集合M ? {a, b, c, d}, N ? { p | p ? M },则集合N的元素个数为 A. 4个B. 8个C.16个D.32个 3. 集合M ? {x | x ?

k? ? k? ? , k ? Z }与p ? {x | x ? , k ? Z }之间的关系是 2 4 4
(C)M ? P. (D)M ? P ? ?

( A)M ? P

(B)M ? P.

4. 已知集合P={n│b=5n,b<25},Q={m│n=log 1 m,n>-1},则P∩Q= 5 A.(-∞,2) B.(-∞,5) C.(0,5) D.(0,2) 5. 已知非空集合A={x |2a+1≤x≤3a-5},B={x |3≤x≤22},那么使A ? B成立的a的集合是 A.(-∞,1] B. [1,9] C.( 2 ,2) D. [9,+∞)

6. 定义集合运算:A⊙B={z︳z= xy(x+y),z∈A,y∈B} ,设集合 A={0,1} B={2,3} , , 则集合 A⊙B 的所有元素之和为 A.0 7. 设集合 M ? x ? Z x ? 5 , N ? x ? Z ?10 ? x ? ?1 , 则 M ? N 中的元素的个数是 A. 10 B. 11 C. 15 D. 16

?

B.6

?

C.12

D.18

?

?

?2 x ? y ? 0 8. 方程组? 的解集是 ?x ? y ? 3 ? 0
A.{-1,2} B.(-1,2) C.{(-1,2)} D.{(x,y)|x= -1或y=2}

9. 设全集是实数集,若M={x |

x ? 1 ≤0},N={x | 2x2=2x+2},则M∩N等于

A.{x | x≤2} B.φ C.{-1} D.{2} 10. 已知集合M={a,b,c},N={-1,0,1},若f是M→N的映射,且f(a)=0,则这样的映射共 有 A.4个 B.6个 C.9个 D.27个 11. 集合M ? {( x, y ) | y ? 1 ? x 2 , x, y ? R}, N ? {( x, y ) | x ? 1, y ? R},则M ? N ? A.{(1,0)} B.{y|0≤y≤1} C.{1,0} D.? 12. 如果集合 S ? ?x | x ? 2n ? 1, n ? Z ? , T ? ?x | x ? 4k ? 1, k ? Z ? ,则 A. S ? T
?

B. T ?S

C.S = T

D.S≠T

13. P是全集U的子集,且M ? P,则下列各式中一定成立的是

A.(C U M) ? (C U P). B.(C U M) ? (C U P) ? I. C.M ? (C U P) ? ? D.(C U M) ? P ? ?
14. 已知集合M={x||x|>2},N={x|x<3},则下列结论正确的是

A.M ? N ? M

B.M ? N ? {x | 2 ? x ? 3}

C.M ? N ? R

D.M ? N ? {x | x ? -2}

15. 设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I,则下列各式中错误的是 ..

A.(C I A ? B ? I C.A ? (C I B) ? ?

B.(CI A) ? (C I B) ? I D.(CI A) ? (C I B) ? C I B

16. 若非空集合 A ? {x 2a ? 1 ? x ? 3a ? 5} . B ? {x 3 ? x ? 33} .则能使 A ? ( A ? B) 成立 的所有 a 的集合是 A. {a 1 ? a ? 9} B. {a 6 ? a ? 9} C. {a a ? 9} D. ?

17. 设集合 P ? {1, 2,3, 4,5,6}, Q ? {x ? R | 2 ? x ? 6}, 那么下列结论正确的是

A. P ? Q ? P

B. P ? Q 包含 Q

C. P ? Q ? Q CU ( M ? N ) ? D.{4}

D. P ? Q 真包含于 P

18. 若 U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4}

19. 已知 a>b>0,U=R,集合 M ? ? x | b ? x ?

P ? x | b ? x ? ab 则 A. P ? M ? (CU N ) C. P ? M ? N

?

?

? ?

a ? b? ?, N ? x | ab ? x ? a , 2 ?

?

?

B. P ? (CU M ) ? N D. P ? M ? N P,且 a ? P ? Q , b ? P ? Q ,则满足上述

20. 已知集合 P={a,b,c,d,e},集合 Q 条件的集合 Q 的个数为

A. 7 B. 8 C.15 D. 24 21. 已知集合 M 有 3 个真子集,集合 N 有 7 个真子集,那么 M∪N 的元素个数为 A.有 5 个元素 B.至多有 5 个元素 C.至少有 5 个元素 D.元素个数不能确定 A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

1 22. 设全集 U ={1,2,3,4,5}, A ? CU B ? ? ,2? ,则集合 CU A ? B 的子集个数为
23. 已知集合 A ? x 5 x ? a ? 0 ,B ? x 6 x ? b ? 0 , a, b ? N , A ?B ?N ? 且 则整数对 ?a, b ? 的个数为

?

?

?

?

3 ,, ?24

?,

A.20 B. 25 C. 30 D. 42 24. 设全集 U=R,集合 A=(1,+∞),集合 B=(-∞,2)。则 CU(A∩B)= A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,1)∪[2,+∞) C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,1]∪(2,+∞) 25. 若命题 P:x∈A∪B,则 ? P 是 A.x ? A 且 x ? B B.x ? A 或 x ? B C.x ? A∩B D.x∈A∩B 26. 定义 A-B={x|x∈A 且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},则 N-M= A.M B.N C.{1,4,5} D.{6} 27. 设集合 A={x|x<-1 或 x>1},B={x|log2x>0},则 A∩B= A.{x| x>1} B.{x|x>0} C.{x|x<-1} D.{x|x<-1 或 x>1} 28. 若非空集合 S ? {1,2,3,4,5},且若 a∈S,则必有 6-a∈S,则所有满足上述条件的集 合 S 共有 A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 29. 已知函数 y=f(x)(a≤x≤b),则集合{(x,y)| y=f(x),a≤x≤b}∩{(x,y)|x=0}中含有元 素的个数为 A.0 B.1 或 0 C.1 D.1 或 2 30. 某村对 200 户家庭的生活水平进行调查,其中一项的统计结果是:有彩电的 180 户,有 电冰箱的 186 户,两样都有的 168 户,则彩电和电冰箱至少有一样的户数是 A.197 B.198 C.199 D.200 31. 设集合 A ? {x 0 ? x ? 3且x ? N}的真子集的个数是 ... A.16 B.8; C.7 D.4 32. 设集合 I ? {x || x |? 3, x ? Z }, A ? {1,2}, B ? {?2,?1,2}, 则A ? (C I B) =

A.{1}

33. 设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R , B ? y | y ? ? x 2 , ?1 ? x ? 2 ,则 CR ? A ? B ? 等于 A. R B. x x ? R, x ? 0

?

B.{1,2}

?

C.{2}

D.{0,1,2}

?

?

?

?

C. ?0?

D. ?

(1) 34. 设集合 A ? {1, 2} ,则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是 A.1 B.3 C.4 D.8 35. 若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有 A. A ? C B. C ? A C. A ? C D. A ? ?
1 ? ? ? ? 1 ? ? 36. 若集合 A ? ? y y ? x 3 , ?1 ? x ? 1? , B ? ? y y ? 2 ? ,0 ? x ? 1? ,则 A∩B 等于 x ? ? ? ? ? ?

A. ( ? ?, 1 ] .

B. ? ? 1, 1 ? .
2 3 3

C. ? .

D. {1}

37. 由实数 x,-x,|x|, x ,? x 所组成的集合,最多含 A.2 个元素 B.3 个元素 C.4 个元素 D.5 个元素 38. 已知集合 M , P 满足 M ? P ? M ,则一定有 A. M ? P B. M ? P C. M ? P ? M D. M ? P 39. 集合 A 含有 10 个元素,集合 B 含有 8 个元素,集合 A∩B 含有 3 个元素,则集合 A∪B 的元素个数为 A.10 个 B.8 个 C.18 个 D.15 个 40. 设全集 U=R,M={x|x.≥1}, N ={x|0≤x<5},则(C U M)∪(C U N)为 A.{x|x.≥0} C.{x|x≤1 或 x≥5} B.{x|x<1 或 x≥5} D.{x| x〈0 或 x≥5 }
2

1 41. 设集合 A ? ? ,4, x?, B ? 1, x

? ?,且 A ? B ? ?1,4, x? ,则满足条件的实数 x 的个数是

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 42. 已知集合 M ? {4,7,8},且 M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有 A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 43. 已知全集 U={非零整数},集合 A={x||x+2|>4, x ? U}, 则 C U A= A.{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 B.{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 C.{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 D.{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 0 , 1 , 2 } , 1 , 2 } , 1 } }

44. 已知集合 A ? ?0,1,2,3,4,5?, B ? {1,3,6,9}, C ? {3,7,8} ,则 ( A ? B) ? C 等于 A.{0,1,2,6} B.{3,7,8,} C.{1,3,7,8} D.{1,3,6,7,8} 45. 满足条件 ?0,1?? A ? ?0,1? 的所有集合 A 的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 46. 如右图,那么阴影部分所表示的集合是 A. B ? [CU ( A ? C )] B. ( A ? B) ? ( B ? C ) C. ( A ? C ) ? (CU B) D. [CU ( A ? C )] ? B D.4 个 U A B C 5},B={2,

47. 定义 A-B={x|x ? A 且 x ? B}, 若 A={1, 3, 2, 4, 3,6}, 则 A-(A-B)等于

A.B

B. ?2,3?

1 C. ? ,4,5?

D. ?6?

48. 已知全集 U ? {x | ?2 ? x ? 1} , A ? {x | ?2 ? x ? 1} ,

B ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0}, C ? {x | ?2 ? x ? 1} ,则
A. C ? A B. C ? CU A C. CU B ? C D. CU A ? B

49. 下列说法正确的是 A.任一集合必有真子集; B.任一集合必有两个子集; C.若 A ? B ? ? ,则 A.B 之中至少有一个为空集; D.若 A ? B ? B ,则 B ? A 50. 已知全集为 U, A∩B =B,且 B ? ? , 则下列各式中一定错误的是 A. B ? CUA = ? B. B ? CUA = U
*

C. (CUA) ? (CUB) = ?

D.A ? CUB ? U
*

51. 若集合 P={x|x=3m+1,m∈N },Q={y|y=5n+2,n∈N },则 P∩Q= * * A.{x|x=15k-7,k∈N } B.{x|x=15k-8,k∈N } * * C.{x|x=15k+8,k∈N } D.{x|x=15k+7,k∈N } 52. 满足条件 ? 1,2

? ? M = ?1,2,3 ?的所有集合 M 的个数是 txjy

A.1 B.2 C.3 D.4 2 53. 已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应法则 f:y=-x +2x,对于实数 k∈B,在集合 A 中不存 在原象,则 k 的取值范围是 A.k>1 B.k≥1 C.k<1 D.k≤1 54. 设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则 A∩( UB)等于 A.{2} B.{2,3} C.{3} D.{1,3} 55. 已知集合 S={a,b,c}中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2 56. 已知集合 A={x||2x+1|>3},B={x|x +x-6≤0},则 A∩B 等于 A.(-3,-2]∪(1,+∞) B.(-3,-2]∪[1,2) C.[-3,-2)∪(1,2] D.(-∞,-3]∪(1,2] 2 57. 已知集合 P={x|x =1},集合 Q={x|ax=1},若 Q ? P,那么 a 的值是 A.1 B.-1 C.1 或-1 D.0,1 或-1 x, x ? P , ? 58. 设函数 f(x)= ? 其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集,又规定 ?? x, x ? M ,

f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断: ①若 P∩M= ? ,则 f(P)∩f(M)= ? ; ②若 P∩M≠ ? ,则 f(P)∩f(M)= ? ; ③若 P∪M=R,则 f(P)∪f(M)=R; ④若 P∪M≠R,则 f(P)∪f(M)≠R.
其中正确的判断有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 59. 已知集合 M {4,7,8},且 M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有 A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.5 个

? a ?b? 60. 已知 a ? b ? 0 ,全集 U ? R ,集合 M ? ? x b ? x ? ? , N ? {x | ab ? x ? a} , 2 ? ?

P ? {x | b ? x ? ab} ,则 P 、 M 、 N 满足的关系是 A. P ? M ? N B. P ? M ? N

C. P ? M ? (?U N )

D. P ? (? M ) ? N U

61. 已知集合 M ? {x mx 2 ? 2 x ? m ? 0, m ? R} 中有且只有一个元素的所有 m 的值组成 的集合为 N ,则 N 为 A. ?? 1,1? B. ?0,1? C. ?? 1,0,1? D N ? ?? 2,?1,0,2?

62. 已知 a,b 为实数,集合 M={ ,1},N={a,0},f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射到 集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于 A.-1 B.0 C.1 D.±1

b a

, 3, 4, 6? 63. 如果 U ? ? x | x是小于9的正整数? , A ? ?1 2, 4? , B ? ?3, 5, ,那么 A∩(CuB)=
, A. ?1 2?

4 B. ?3,?

6 C. ?5,?

8? D. ?7,

64. 设集合 S={A0,A1,A2,A3},在 S 上定义运算 ? 为:A1 ? A=Ab,其中 k 为 i+j 被 4 除的余 数,i,j=0,1,2,3.满足关系式(x ? x) ? A2=A0 的 x(x∈S)的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 65. 设 a,b?R ,集合 ?1,a ? b,a? ? ?0, ,b ? ,则 b ? a ? A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2 66. 已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x |1 ? x ? 2} ,且 A∪(CRB)=R,则实数 a 的取值范围是 A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2 67. 设全集 U ? {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6} , A ? {4 , 5} , B ? {3 , 4} ,则 CU(AUB)= A. {3 , 4 , 5} B. {1, 2 , 3 , 4 , 6} C. {1, 2 , 6} D. {1, 2 , 3 , 5 , 6}
2 2 68. 已知集合 A ? y y ? 2 x ? 1, x ? R , B ? y y ? 5 ? 1, x ? R ,则 A ? B ?

? b ? a

? ?

?

?

?

?

A. y y ? ?1

?

?

B. y y ? 0

?

?

C. y y ? 1

?

?

D. y ? 1 ? y ? 1

?

?

69. 若全集 U={1,2,3,4},A={1,2,3},B={2,3},则 CU(A∩B)为 A.{1,4} B.{2,3} C.{1,2,3}

D.{4}

( 2) 1 70. 已知全集 U ? R ,且 A ? ?x |log 2 x ? ?
A. ?? 1,4? B. ?2,3? C. ?2,3? D. ?? 1,4?

?, B ? ?x | ?
?

x ?3 ? ? 0 ? ,则 A ? CUB 等于 x ?1 ?

N 71. 已知集合 A ? ? x | 5 x ? a ? 0? , B ? ? x | 6 x ? b ? 0? , a, b ? N , A ?B ? 且

? ?2, ,4 3

?,

则整数对(a, b)的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 72. 已知集合 A 中有 10 个元素,B 中有 6 个元素,全集 U 中有 18 个元素,设 CU(A∪B)有 x 个元素,则 x 的取值范围是

A.3≤x≤8 且 x∈N B.2≤x≤8 且 x∈N C.8≤x≤12 且 x∈ND.10≤x≤15 且 x∈N

73.关于 x 的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集为{x| A.m>0 D.m<0 74. 已知集合 A= {x x ? a ? 4} ,集合 B= B.0<m<2 C.m>

1 <x<2},则 m 的取值范围是 m

1 2

{x x 2 ? 6 x ? 5 ? 0} ,且 A∪B=R,则实数 a 的取值范
围是 A. a ? 1或a ? 5 B. a ? 1或a ? 5 C. 1 ? a ? 5 D. 1 ? a ? 5

75. 已知集合 M ? {x 1 ? x ? 0},N ? {x A. {x ?1 ? x ? 1} C. {x ?1 ? x ? 1} B. {x x ? 1} D. {x x ? ?1}

1 ? 0} ,则 M ? N ? 1? x

76. 若集合 M ? ?a, b, c? 中的元素是 ?ABC 的三边长,则△ ABC 一定不是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

? x?3 ? ? 0 ?,N ? ? x | x ≤ ?3? ,则集合 ? x | x ≥1? = ? x ?1 ? A. M ? N B. M ? N C.CM(M∩N) D.CM(M∪N) 78. 设集合 U ? {x ? N | 0 ? x ? 8} , S ? {1, 2, 4,5} , T ? {3,5, 7} ,则 S∩(CUT)=
77. 已知集合 M ? x ? ? x | A. {1, 2, 4} B. {1, 2,3, 4,5,7} C. {1, 2} D. {1, 2, 4,5,6,8}

79. 满足 M ? {a1, a2, a3, a4},且 M∩{a1 ,a2, a3}={ a1, a2}的集合 M 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 80. 已知全集 U ? {1 2,4, ,集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? 2a,a ? A} , ,3,5} 则集合 CU(A∪B)中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
2

81. 设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2,3? , B ? ?2,3, 4? ,则 CU(A∩B) A. ?2,3? B. ?1, 4,5? C. ?4,5? D. ?1,5?

82. 满足 M ? ?1, 2, 3, 4? 且 M ? ?1, 2,3? = ?1, 2? 的集合 M 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 83. 已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A,B ? U,若 A∩B={4}, UA)∩B={2,5}则 B= (C A.{2,3,5} 84. 不等式 B.{2,4,5} C.{3,4,5} D.{2,3,4}

x?2 >0 的解集是 x?3
B.(2,+∞) D.(-∞,-2 )∪(3,+∞)

A.(-3,2 ) C.(-∞,-3 )∪(2,+∞)

85. 设全集 I 是实数集 R. M ? {x | x 2 ? 4}与N ? {x | 则阴影部分所表示的集合为:

2 ? 1} 都是 I 的子集(如图所示, x ?1

A. x x ? 2

?

? ?

B. x ?2 ? x ? 1 D. x 1 ? x ? 2

?

?

C. x ?2 ? x ? 2

?

?

?

86. 已知集合 P ? {4,5,6}, Q ? {1, 2,3} ,定义 P ? Q ? {x | x ? p ? q, p ? P, q ? Q} ,则集 合 P ? Q 的所有真子集的个数为 A.32 B.31 C.30 D.以上都不对

87. 设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2,3? , B ? ?2,3, 4? ,则 CU ( A ? B) ? A. ?2,3? B. ?1, 4,5? C. ?4,5? D. ?1,5?

88. 设集合 M = {x | x ? A.M=N

k 1 k 1 ? , k ? Z } ,N = {x | x ? ? , k ? Z } 则 2 4 4 2 B.M ? N C.M ? N D.M ? N= ?

89. 如果集合 A ? {x | x ? N ,0 ? x ? 6} ,则 A 的真子集有个 A.31 为 B.32 C.63 D.64

90. 设全集 U ? R, A ? x x( x ? 3) ? 0 , B ? x x ? ?1 , 则下图中阴影部分表示的集合 A. x x ? 0

?

?

?

?

?

? ?

B. x ?3 ? x ? 0 D. x x ? ?1

?

?

U

C. x ?3 ? x ? ?1

?

?

?

A

B

91. (文) 设集合 A ? {x | ?

A? B ?
A. {x ?1 ? x ? 2} C. {x | x ? 2}

1 ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} , 2
B. {x | ?



1 ? x ? 1} 2

D. {x |1 ? x ? 2}

2 92. 集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ,则 a 的值为

?

?

A.0 B.1 93. 若集合则 A∩B 是 A. ? x ?1 ? x ? ? 1 或2 ? x ? 3? ? ? 2 ? ?

C.2

D.4

B.

?x 2 ? x ? 3? C.

? 1 ? ? x ? ? x ? 2? ? 2 ?
U

D. ? x ?1 ? x ? ? 1 ? ? ?
? 2?

94. 已知全集 U ? A ? B 中有 m 个元素, (痧A) ? ( U

B) 中有 n 个元素.若 A I B 非空,则
D. m ? n

A I B 的元素个数为 A. mn B. m ? n
2

C. n ? m

95. 设全集 U=R,集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0} , b ? {x | x ? 1} ,则集合 A ? CUB=

A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 2}

B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 1}

96.已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {1,3,5} , B ? {4,5,6} ,则结合 C U ( A ? B) = A. {2,4,6} B. {2} C. {5} D. {1,3,4,5,6}

97. 已知全集 U 为实数集, A ? x x ? 2 x ? 0
2

?

? , B ? ? x x ? 1 ? ,则 A ? ?U B =

A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | x ? 1} D. ? 98. 已知集合 A ? ?1, 2, a ? 1? , B ? 0,3, a 2 ? 1 , 若 A ? B ? ?2? ,则实数 a 的值为 A. ?1 B .1 C . ?1 D .0

?

?

99. 集合 P={ x x ? R, x ? 3 ? x ? 6 ? 3 },则集合 C R P 为 A. {x x ? 6, 或x ? 3} C. {x x ? ?6, 或x ? 3} B. {x x ? 6, 或x ? ?3} D. {x x ? ?6, 或x ? ?3}

100. 已知 A ? {x || x ? 2 |? 1}, B ? {x | y ? A. A ? B ? ? B. A ? B

x ? 1 ? 3 ? x}, 那么
D.A=B

C. B ? A

参考答案(仅供参考) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C C A D C D D C C C A C C C B 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 B D B A B B D C C A D A B B B 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 C D B C A B A B D B C D B C D 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C .B D D D B D A D D C D B C C 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 C C D B C C C C A C C B D C C 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 D D A B B B B B C D B B B C C 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A D D D B B A C D A 6. 当 x=0 时,z=0,当 x=1,y=2 时,z=6,当 x=1,y=3 时,z=12,故所有元素之 和为 18,选 D

7. 提示: M ? N ? ??10, ?9,?,3, 4,5? 12. 对 S 中的 n 分类:n = 2k,k?Z 则 x = 4k+1;n = 2k–1,k?Z 时,x = 4k–1,所以 S = T,故选 C.

? 2a ? ? 3 ? 16. 由 A ? ( A ? B) 知 A ? B .所以 ?3a ? 5 ? 22 .解得 6 ? a ? 9 . ?3a ? 5 ? 2a ? 1 ?
19. 在数轴上画出集合 M,N,P 进行观察. 23. 5x ? a ? 0 ? x ?

a b ; 6x ? b ? 0 ? x ? 。要使 A ? B ? N ? ?2,3, 4? ,则 5 6

b ? ?1 ? 6 ? 2 ? 6 ? b ? 12 ? 1 1 ,即 ? 。所以数对 ?a, b ? 共有 C6C5 ? 30 。 ? ?20 ? a ? 25 ?4 ? a ? 5 ? 5 ?
33. A ? [0, 2] , B ? [?4, 0] ,所以 CR ? A ? B ? ? CR {0} ,故选 B。 34. A ? {1, 2} , ? B ? {1, 2,3} , 则集合 B 中必含有元素 3, 即此题可转化为求集合 A ? {1, 2} A 的子集个数问题,所以满足题目条件的集合 B 共有 22 ? 4 个。故选择答案 C。 35. 本题主要考查.集合的并集与交集运算,集合之间关系的理解。 【正确解答】因为 A ? A ? B且C ? B ? C A ? B ? C ? B 由题意得 A ? C 所以选 A 【解后反思】对集合的子、交、并、补运算,以及集合之间的关系要牢固掌握。本题考查三 个抽象集合之间的关系,可以考虑借助与文氏图。 2 2 2 53.解析:由题意可知, 不在函数 y=-x +2x 的值域之中, y=-x +2x=-(x-1) +1≤1,可得 k>1. k 由 54. 解析:∵U={1,2,3,4,5},B={2,5}, ∴
U

B={1,3,4}.∴A∩(

U

B)={1,3}.

55. 解析:由于集合中的元素是互异的,所以 a、b、c 互不相等,即△ABC 一定不是等腰三角 形. 56. 解析:A={x||2x+1|>3}={x|2x+1>3 或 2x+1<-3}={x|x>1 或 x<-2}, B={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2}(如下图).

- 2 32

x 1 2

57. 解析:因为由 x =1 得 x=±1,所以 P={-1,1}.又因为 Q ? P,所以分 Q= ? 和 Q≠ ? 两种 情况讨论. (1)若 Q= ? ,则 a=0; (2)若 Q≠ ? ,则 a≠0,Q={x|x=

1 },所以 a=-1 或 1. a

综合(1)(2)可知,a 的值为 0,1 或-1. 59. 解析:集合 M 可以为{4,7},{7,8},{4},{7},{8}, ? 共 6 个.

?a=1, ? ?a=1, 62. 由已知可得 M=N,故?b 解得? ∴a+b=1. ?b=0, ? =0,

68. 由题知 A ? y y ? 2 x ? 1, x ? R ? y y ? ?1 , B ? y y ? 5 x ? 1, x ? R ? y y ? 1 ,故
2

?

?a

? ?

?

?

? ?

?

选择 C。 72. 设 A∪B 元素个数为 y,可知 10≤y≤16, y∈N,又由 x = 18-y 可得。 73.由不等式的解集形式知 m<0 78. 因为 CUT={1,2,4,6,8},所以 S∩(CUT)={1,2,4},选 A. 81.∵ A ? ?1, 2,3? , B ? ?2,3, 4? ∴ A ? B ? ?2,3? 又∵ U ? ?1, 2,3, 4,5? ∴ ? ? A ? B ? ? ?1, 4,5? 故选 B U 91.【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本 运算的考查. ∵ A ? {x | ?

1 ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ? ? x | ?1 ? x ? 1? , 2

∴ A ? B ? {x ?1 ? x ? 2}

? a 2 ? 16 92. :∵ A ? ?0, 2, a? , B ? ?1, a ? , A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ∴ ? ∴a ? 4 ? a?4
2

93.集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? ? 94.【解析】因为 A ? B ? 痧 U [(
2

1 1 或x ? 3} ,∴ A ? B ? {x | ?1 ? x ? ? } 2 2

U

A) ? ( U B)] ,所以 A ? B 共有 m ? n 个元素

98. 因为 A ? B ? {2} ,则 a +1=2,即 a=±1. 但当 a=1 时,A={1,2,0}, 此时 A ? B ? {0, 2} ,不合题意,舍去,所以 a=-1,故选 C. 99.画数轴,由绝对值的几何意义可得 ?6 ? x ? ?3 ,

P ? ? x ? 6 ? x ? ?3? , CR P ? {x x ? ?6, 或x ? ?3} 。
(二) 1.满足条件{1,2,3} ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是 ? ? A、8 B、7 C、6 D、5 ) ( )

2.若集合 A ? x | x ? 0 ,则下列结论中正确的是(
2

?

?

A、A=0

B、 C、 A ? ? D、 ? ? A

0? A

3.下列五个写法中① ?0?? ?0,1,2?,② ? ?

?

?0? ,③ ?0,1,2? ? ?1,2,0?,④ 0 ? ? ,

⑤0??

? ? ,错误的写法个数是(



A、1 个 4.方程组 ? A

B、2 个

C、3 个 (

D、4 个 )

?x ? y ? 1 的解集是 ? x ? y ? ?1
B

? x ? 0, y ? 1?

?0,1?

C

?(0,1)?

D

?( x, y) | x ? 0或y ? 1?
) (D)CUA ? B= ?

5.设 A、B 是全集 U 的两个子集,且 A ? B,则下列式子成立的是( (A)CUA ? CUB (B)CUA ? CUB=U (C)A ? CUB= ?

6.已知全集 M ? ?a |

? ?

6 ? ? N且a ? Z ? ,则 M=( 5?a ?
C、{1,2,3,6}

) D、{-1,2,3,4}

A、{2,3} B、{1,2,3,4}
2

7.集合 M ? {x x ? 2 x ? a ? 0, x ? R} ,且 ? A、 a ? ?1 B、 a ? 1 C、 a ? ?1

M ,则实数 a 的范围是()

D、 a ? 1

8. 设集合 P、S 满足 P ? S=P,则必有 (A)P S; (B)P ? S;

(C)S

P;

(D)S=P。

9. 设全集 U ? { a, b, c, d , e } ,A、B 都是 U 的子集 A ? B ? {e} , CU A ? B ? {d } ,

CU A ? CU B ? {a, b} ,则下列判断中正确的是
(A)c?A 且 c?B; (B)c?A 且 c?B; (C)c?A 且 c?B; 10. 若 A ? B ? A ? C ,则一定有 (A)B=C; (C) A ? CU B ? A ? CU C ; (A) CU N ? M ? ? ; (C) CU M ? CU N ? ? ;
y ?3

( (D)c?A 且 c?B 。 (





(B) A ? B ? A ? C ; (D) CU A ? B ? CU A ? C 。 ( ) (B) CU M ? N ? ? ; (D) CU M ? CU N ? ? 。

11. 已知集合 M 和 N 间的关系为 M ? N ? M ,那么下列必定成立的是

12. 若 U={(x,y)∣x,y∈R}, M={(x,y)∣ x ? 2 ? 1 }, N={(x,y)∣y-3=x-2 },则 CUM?N 是 ( (A) ? ; (C){(2,3)}; (B){2,3}; (D){(x,y)∣y-3≠x-2 }。 )

13. 定义集合 A 与集合 B 的“差集”为: A ? B ? {x | x ? A且x ? B},则

A ? ( A ? B) 总等于
(A)A; (B)B; (C) A ? B ;

( (D) A ? B 。



14. 若 A ? { a | a ? 3n ? 1, n ? Z } , B ? { b | a ? 3n ? 2, n ? Z } ,

C ? { c | a ? 6n ? 1, n ? Z } ,则 A、B、C 的关系是





(A)A B C; (C)A=B C; 15. 下列表述中错误的是( A.若 A ? B, 则A ? B ? A C. ( A ? B) )

(B)A B=C; (D)A=B=C 。 B.若 A ? B ? B,则A ? B D. CU ? A ? B ? ? ?CU A? ? ?CU B ? ( )

A

( A ? B)

16.下列各项中,不可以组成集合的是 A.所有的正数 B.约等于 2 的数

C.接近于 0 的数 D.不等于 0 的偶数 17.设集合 M ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } , N ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } ,则 ( ) 4 2 2 4 A. M ? N B. M N 18.表示图形中的阴影部分( A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) B. ( A ? B) ? ( A ? C ) C. ( A ? B) ? ( B ? C ) C. N ) A B

M

D. M ? N ? ?

C D. ( A ? B) ? C 19.已知集合 A、B、C 为非空集合,M=A∩C,N=B∩C,P=M∪N,则 ( ) A.C∩P=C B.C∩P=P C.C∩P=C∪P D.C∩P= ? 20.定义集合运算:A⊙B={z︳z= xy (x+y),x∈A,y∈B} ,设集合 A={0,1} B={2,3} , , 则集合 A⊙B 的所有元素之和为 (A)0 (B)6 (C)12 (D)18 二、填空题 1.调查某班 50 名学生,音乐爱好者 40 名,体育爱好者 24 名,则两方面都爱好的人数最少 是,最多是 Ks5u
2 2.已知 A ? y | y ? x ? 1, x ? R ,全集 U ? R ,则 ? U A ? N ? . 2 3.设 U ? 2, 4, a ? a ? 1 , A ? ?2,| a ? 1|? , ? U A ? ?7? ,则 a ? .

?

?

?

?

4.已知 A={x|x<3 } ,B={x|x<a } (1)若 B ? A,则 a 的取值范围是______Ks5u (2)若 A B,则 a 的取值范围是______ 5.若{1,2,3} A ? {1,2,3,4} ,则 A=______
2 2 6. 已知 x | x ? 2004 ? ( a ? 2) x ? a ? 4 ? 0 ? ?0? ,则 a ? .

?

?

2 2 7. 若 A ? x | x ? x ? 1 ? 0, x ? R ,B ? x | x ? x ? 1 ? 0, x ? R , 则集合 A, B 的关系是.

?

?

?

?

2 8. 若已知 A ? x | x ? 2 x ? 2 ? a ? 0 , B ? x | x ? 2 2 x ? a ? 2 ? 0 , A ? B ? ? ,

?

?

?

2

?

则实数 a 的取值范围是.

9. 设集合 A ? { y | y ? x ? 2 x ? 1, x ? R } ,集合 B ? { y | y ? ? x ? 1, x ? R } ,则 A ? B ? 。
2 2

10. A ? { ( x, y) | x ? y } , B ? { ( x, y ) | y ? x } ,则 A ? B ? 。
2 2 2

11.设集合 A ? { x | x ? 3x ? 4 ? 0 } , B ? { x | ax ? 1 ? 0 } ,若 A ? B ? B ,
2

则实数 a= 。 12. 设全集 U ? {x | 1 ? x ? 100, x ? Z } 及其二个子集 A ? { m | 1 ? m ? 100, m ? 2k ? 1, k ? Z } ,

B ? { n | 1 ? n ? 100, n ? 3k , k ? Z } ,
则 CU A ? B 中数值最大的元素是 。 13. 已知集合 A ? {x | ax ? 3x ? 2 ? 0} 至多有一个元素,则 a 的取值范围;
2

若至少有一个元素,则 a 的取值范围。 14. 设集合 A ? {( x, y) | a1 x ? b1 x ? c1 ? 0} , B ? {( x, y) | a2 x ? b2 x ? c2 ? 0} ,则方程

(a1 x ? b1 x ? c1 ) (a 2 x ? b2 x ? c2 ) ? 0 的解集为.
15. 已知 A ? {?2,?1,0,1} , B ? { y | y ? x , x ? A} ,则 B=. 16.方程 ( x ? 1) ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 的解集中含有_________个元素。
2

17.已知 U= ? ,2,3,4,5,6,7,8?, A ? ?CU B ? ? ? ,8?, ?CU A? ? B ? ?2,6?, 1 1

?CU A? ? ?CU B ? ? ?4,7?, 则集合 A=Ks5
18. 集合 P= ?x, y ? x ? y ? 0

?

?

,Q= ?x, y ? x ? y ? 2

?

?

,则 A∩B=

19. 设含有三个实数的集合既可以表示成 ? a,

? ?

b ? ,1? ,又可以表示成 ?a 2 , a ? b, 0? ,则 a ?

a2 0 0 3? b

2004

?



20. 满足 M ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,且 M ? ?a1 , a2 , a3 ? ? ?a1 , a2 ? 的集合 M 的个数是 。

参考答案 一、选择题答案 题号 答案 题号 1 C 11 2 D 12 3 C 13 4 C 14 5 C 15 6 D 16 7 C 17 8 B 18 9 D 19 10 D 20

答案

A

C

C

C

C

C

B

A

B

D

二、填空题答案 1.14,24; 2.

?0?

3. 34. 7. B

(1)a≤3 (2)a>3

5.{1,2,3,4} 6. ?2 9. {y|0≤y≤1} 12. 96 13. ?a | a ?

A

8. 0 ? a ? 1

10. {(0,0),(1,1),(1,-1)} 11. 0,- 1 ,1 4

? ?

9 9? ? ? , 或a ? 0 ? , ? a | a ? ? 8 8? ? ?

当 A 中仅有一个元素时, a ? 0 ,或 ? ? 9 ? 8a ? 0 ; 当 A 中有 0 个元素时, ? ? 9 ? 8a ? 0 ; 当 A 中有两个元素时, ? ? 9 ? 8a ? 0 ; 14. A∪B15. {0,1,2} 16. 3

1 17. ? ,3,5,8?

18.

??1,?1??

19. ?1

20. 2

(三) 一、单项选择题 1.设合集 U=R,集合 M ? {x | x ? 1}, P ? {x | x ? 1} ,则下列关系中正确的是(
2



1 1 2.如果集合 U ? ? ,2,3,4,5,6,7,8?, A ? ?2,5,8? , B ? ? ,3,5,7?,
那么(
U

A.M=P

B.M

P

C. P

M

D.M ? P

1 1 (A) ?5? (B) ? ,3,4,5,6,7,8? (C) ?2,8?(D) ? ,3,7? 3.设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= {a ? b | a ? P, b ? Q}, 若P ? {0,2,5},
) (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 4. 设集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?,B ? ?x | x ? a?, A ? B ? ? , a 的取值范围是( 若 则 (A) a ? 2 (B) a ? ?2 (C) a ? ?1(D) ? 1 ? a ? 2 5. 集合 A={x|

A ) ? B 等于 ( )

Q ? {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是(

() )

x ?1 <0} ,B={x || x-b|<a } ,若“a=1”是“A∩B≠ ? ”的充分条 x ?1

件,则 b 的取值范围是 ( ) (A)-2≤b<0 (B)0<b≤2 (C)-3<b<-1 (D)-1≤b<2 6.设集合 A={x|

x ?1 <0 } ,B={x || x-1|<a } ,若“a=1”是“A∩B≠φ ”的( ) x ?1

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分 又不必要条件 7. 已知 p : 2 ? 2 ? 5, q : 3 ? 2 ,则下列判断中,错误的是( ) .. (A)p 或 q 为真,非 q 为假 (B) p 或 q 为真,非 p 为真 (C)p 且 q 为假,非 p 为假 (D) p 且 q 为假,p 或 q 为真 2 2 8.a1、b1、c1、a2、b2、c2 均为非零实数,不等式 a1x +b1x+c1<0 和 a2x +b2x+c2<0 的解集 分别为集合 M 和 N,那么“ (A)充分非必要条件

a1 b c ? 1 ? 1 ”是“M=N” a2 b2 c2

(

)

(B)必要非充分条件

(C)充要条件 9. m ? “

(D)既非充分又非必要条件

1 ”是“直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0与直线(m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂 2
(B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件
x x

直”的( ) (A)充分必要条件 (C)必要而不充分条件

10. 已知 0 ? a ? 1 ? b ,不等式 lg(a ? b ) ? 1 的解集是 {x | ?1 ? x ? 0},则 a, b 满足的关 系是( ) (A)

1 1 ? ? 10 a b

(B)

1 1 ? ? 10 a b

(C)

1 1 ? ? 10 a b

(D)a、b 的关系不能确

定 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“ a ? b ”是“ ac ? bc ”充要条件;②“ a ? 5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条 件 2 2 ③“a>b”是“a >b ”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中为真命题的是

1 12.若集合 A ? ? ,3, x?, B ? 1, x

? ?,且 A ? B ? ?1,3, x?,则 x ?
2

13.两个三角形面积相等且两边对应相等,是两个三角形全等的条件 14.若 ( x ? 1)( y ? 2) ? 0 ,则 x ? 1或 y ? ?2 的否命题是 15.已知集合 M={x|1≤x≤10,x∈N},对它的非空子集 A,将 A 中每个元素 k,都乘以(- k 3 6 1) 再求和(如 A={1,3,6},可求得和为(-1)·1+(-1) ·3+(-1) ·6=2,则对 M 的所 有非空子集,这些和的总和是. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)

? ? x( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? ? ? 用列举法写出集合 ? x ? Z | ? ? ? ? ?1 ? 2 x ? 3( x ? 9) ? ?
17. (本小题满分 12 分) 2 2 已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根。 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假。求实数 m 的取值范围。 18. (本小题满分 12 分) 设

a?R , 函 数

f ( x? )

2

a ?x 2 ? x若 2

f( . a x) ? 0 的 解 集 为

A ,

B ? ? x |1 ? x ? 3? , A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。
19. (本小题满分 12 分) 解关于 x 的不等式: ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0 20. (本小题满分 13 分)

已知集合 A={x|| x ?

?

3 ? 中 ≤a≤ ? , 设全集 U=R, 欲使 B ? A, 求实数 a 的取值范围. 6

|≤

1 3 ? }, 集合 B={y| y= - cos2x-2asinx+ , x∈A}, 其 2 2 2

参考答案 一、选择题: 1、C;2、D;3、C;4、C;5、D;6、A;7、C;8、D;9、B;10、B; 5.答案:D 评述:本题考查了分式不等式,绝对值不等式的解法,及充分必要条件相关内 容。 解:由题意得:A:-1<x<1,B:b-a<x<a+b 由”a=1”是“ A ? B ? φ ”的充分条件。 则 A:-1<x<1 与 B: b-1<x<1+b 交集不为空。所以-2<b<2 检验知: ? 1 ? b ? 2 能使 A ? B ? φ 。故选 D。 6.答案:A 评述:本题考查分式不等式,绝对值不等式的解法,充分必要条件等知识. 解:由题意得 A:-1<x<1.B;1-a<x<a+1 (1)由 a=1.A:-1<x<1.B:0<x<2.则 A ? B ? x 0 ? x ? 1 ? ? 成立,即充分性成 立. (2)反之:A ? B ? ? ,不一定推得 a=1,如 a 可能为

?

?

综合得.”a=1”是: A ? B ? ? ”的充分非必要条件.故选 A. 二、填空题: 11、②④ ; 12、 ? 3 ; 0 ; 14、若 ?x ? 1?? y ? 2? ? 0 ,则 x ? 1 且 y ? ?2 ; 三、解答题: 16、{1,2,3,4,5}; 17、由题意 p,q 中有且仅有一为真,一为假, 13、必要不充分; 15、2560

1 . 2

?? ? 0 ? p 真 ? ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ? m>2,q 真 ? ? <0 ? 1<m<3, ? x ?x ? 1 ? 0 ? 1 2
若 p 假 q 真,则 ?

?m ? 2 ?m ? 2 ? 1<m≤2;若 p 真 q 假,则 ? ? m≥3; ?m ? 1a或m ? 3 ?1 ? m ? 3

综上所述:m∈(1,2]∪[3,+∞). 18、解:? a ? R, ?当a=0时,f(x)=-2x, A={x x<0},A ? B=? ? ? ∴ a ? 0 ,令 f(x)=0 解得其两根为 x1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 , x2 ? ? 2 ? 2 a a a a

由此可知 x1 ? 0, x2 ? 0 (i)当 a ? 0 时, A ? {x | x ? x1} ? {x | x ? x2 }

6 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 解得 a ? 7 a a (ii)当 a ? 0 时, A ? {x | x1 ? x ? x2 }
A ? B ? ? 的充要条件是 x2 ? 3 ,即 A ? B ? ? 的充要条件是 x2 ? 1 ,即

1 1 ? 2 ? 2 ? 1 解得 a ? ?2 a a

综上,使 A ? B ? ? 成立的 a 的取值范围为 (??, ?2) ? ( , ??)
2 ? ?a ? 1 , x ? a 或x ? 2 ? ?a ? 1 , x ? 2 ? 2 ? 19、 ?0 ? a ? 1 , x ? 或x ? 2 a ? ?a ? 0 , x ? 2 ? ?a ? 0 , 2 ? x ? 2 ? a ?

6 7

5? ? 2 2 2 ≤x≤ }, y=sin x-2asinx+1=(sinx-a) +1-a . 6 6 1 ∵x∈A, ∴sinx∈[ ? ,1]. 2 1 5 ? 2 2 2 ① ≤a≤1, 则 ymin=1-a , ymax=(- -a) +1-a =a+ . 2 4 6 5 ? 2 又∵ ≤a≤1, ∴B 非空(B≠φ ). ∴B={y|1-a ≤y≤a+ }. 4 6 5 5? ? ? 2 欲使 B ? A, 则联立 1-a ≥- 和 a+ ≤ ,解得 ≤a≤1. 4 6 6 6 5 ②若 1<a≤π , 则 ymin=2-2a, ymax= a+ . 4 5 ∵1<a≤π , ∴B≠φ . ∴B={y|2-2a≤y≤a+ }. 4 5 5? ? 欲使 B ? A, 则联立 2-2a≥- 和 a+ ≤ 4 6 6 ? ? 解得 a≤1+ . 又 1<a≤π , ∴1<a≤1+ . 12 12 ? ? 综上知 a 的取值范围是[ ,1+ ]. 12 6
20、解: 集合 A={x|-



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