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滕州二中-高一-两条直线的交点坐标(61)



3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标

教材分析
本节内容是在学生学习了二元一次方程组的解、直线的位置关系和直线的方程后进行的,是对前面学 习内容的延续与深入,也是后继学习距离公式、圆锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础.本节课通过利用 代数的方法来解决两条直线相交的交点坐标问题,渗透数形结合、坐标法的思想,通过探究过定点的直

线 系的方程问题进一步培养学生转化化归的思想.

课时分配
本节内容用 1 课时

一、【教学目标】
重 难 点: 能判断两条直线的位置关系,会求两直线的交点坐标. 点:二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系,过两条直线的交点的直线系方程.

知识点:两条直线的交点的求法,二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系,过两条直线的交点 的直线系方程. 能力点:通过学习两条直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法,培养学生的数形结合能力,通 过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系,进一步渗透坐标法及转化化归的思想. 教育点:通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系,认识事物之间的内在联系,能用辩证的观点看问 题;在探究和解决问题的过程中,培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神. 自主探究点:二元一次方程组的解与两条直线的位置对应关系的探究与发现,过两条直线的交点的直线系 方程问题. 考试点:求两直线的交点坐标,判断两条直线的位置关系. 易错易混点:利用直线系方程求解直线方程、求未知参. 拓展点:探究直线恒过定点问题,探究对称与最值问题.

教具准备 课堂模式

课件、几何画板、三角板 学案导学

二、【引入新课】
知识回顾: (教师出示多媒体课件并提出问题) 问题 1. 直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系? 问题 2. 如何求二元一次方程组的解? 二元一次方程组的解有几种情况? 问题 3. 直角坐标系中两条直线的位置关系有几种? 【师生活动】 师:展示课件、提出问题.

生:思考、讨论并回答问题. 师:每一个关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线,而二元一次方程组的解有三种情况,直角坐标系中 两条直线的位置关系也有三种,那么试想两条直线的位置关系与对应二元一次方程组解的情况有关吗? 如果有,那么又有怎样的对应关系呢? 【设计意图】复习巩固,以旧带新,简单的知识回顾,为学生自主探究铺平道路,唤起学生的记忆,引发 学生探究新知识的的学习兴趣和学习热情,并自然导入新课.

三、【探究新知】
探究 1:两条直线的交点坐标
问题 1:教师引导学生从点与直线的位置关系入手完成下表,并讨论直线上的点与对应方程

Ax ? By ? C ? 0 的解有怎样的关系?

几何元素及关系

代数表示

点A 直线 l 点 A 在直线 l 上

A(a, b) l : Ax ? By ? C ? 0
点 A 坐标 ( x 0 , y 0 ) 满足方程 Ax0 ? By0 ? C ? 0

直线 l1 与 l 2 的交点是 A

点 A 坐标 ( x 0 , y 0 ) 满足方程组 ?

? A1 x 0 ? B1 y 0 ? C1 ? 0 ? A2 x 0 ? B2 y 0 ? C 2 ? 0

生:独立思考,小组交流,完善表格. 师:因为直线 l1 与 l 2 的交点是 A ,故点 A 在直线 l1 上,也在直线 l 2 上. 所以点 A 坐标 ( x 0 , y 0 ) 既满足 l1 的方程,又满足直线 l 2 的方程,即: ?

? A1 x0 ? B1 y0 ? C1 ? 0, ? A2 x0 ? B2 y0 ? C2 ? 0.

问题 2:由上述问题可知,两条直线的交点坐标满足由两条直线方程所组成的方程组.那么,如果两条直 线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交,如何求这两条直线的交点坐标? 生:交流,讨论. 师生共同总结:要求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解. 【设计意图】设置问题串,以旧带新,通过对熟悉知识点的温故讨论,引发学生探究新知的兴趣,培养学 生发现、归纳、概括数学问题的能力.

探究 2:两条直线的位置关系
解下列方程组,判断对应两条直线是否相交(教材例 2 变式) .

(1) ?

? x ? y ? 0, ?3 x ? 3 y ? 10 ? 0.

(2) ?

? 3x ? y ? 4 ? 0, ?6 x ? 2 y ? 1 ? 0. ? 3 x ? 4 y ? 5 ? 0, ?6 x ? 8 y ? 10 ? 0.

(3) ?

【师生互动】 生:学生到前面板演解题过程. (1)方程组有唯一解 ( , ) ,所以直线 l1 : x ? y ? 0 与 l2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0 即为相交,交点 ( , ) . (2)方程组无解. (3)两个方程可化为同一个方程,所以方程组有无数解. 师: (1)中方程组有唯一解对应直线 l1 与 l 2 相交. (2)中方程组无解,两个方程就没有公共解,那么方程对应的两条直线有交点吗?它们具有怎样的位置 关系? 生:没有.两条直线平行. 师: (3)中方程组有无数解,两条直线具有怎样的位置关系? 生:两条直线重合. 【设计意图】通过动手操作,直观感知,深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系. 总结一般结论:两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系. 已知 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 , 将方程联立,得 ?

5 5 3 3

5 5 3 3

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

对于这个方程组解的情况分三种讨论: (1)若方程组有唯一解,则 l1 、 l 2 相交,有唯一的公共点; (2)若方程组无解,则 l1 、 l 2 没有公共点,即平行; (3)若方程组有无数多个解,则 l1 、 l 2 有无数多个公共点,即重合. 【设计意图】通过学生独立思考、师生共同总结加强对知识的理解;由具体问题的解通过思考、感悟得到 一般性结论,循序渐进,符合学生的认知规律,便于理解记忆;在问题探究的过程中,让学生体会数形结 合的思想.

四、【理解新知】
师:如何根据两直线的方程的系数之间的关系来判定两直线的位置关系呢?请大家完成下列表格:

l1 : A1 x ? B y 1 ?

C 1 ?0

(

A , B , C ? 0 )l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 1 1 1 ,

( A2 , B2 , C2 ? 0)

两直线的位置关系

方程组解的个数

方程系数的关系

相交

有唯一解

A1 B1 ? A2 B2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2

平行

无解

重合

有无数个解

如果 A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 中有等于零的情况,方程较简单,两条直线的位置关系容易确定. 【设计意图】理解运用两条直线的交点个数判定两直线的位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的 一致性.

五、【运用新知】
例 1 求下列两条直线的交点坐标:

l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 l2 : 4 x ? 2 y ? 2 ? 0
分析:解两直线的交点实质上就是初中的解二元一次方程组,学生易于独立完成解题步骤. 解:解方程组

?3 x ? 4 y ? 2 ? 0, ? ? 4 x ? 2 y ? 2 ? 0.

得: ?

? x ? ?2, ? y ? 2.

所以 l1 与 l 2 的交点是 M (?2, 2) . 点评:学生易于解题,教师要板书示范,规范解题步骤. 【设计意图】巩固所学知识,提高学生分析问题、解决问题的能力;通过问题分析,强化求解两条直线交 点的方法.

变式训练 若直线 l : y ? kx ? 3 与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的交点位于第一象限,求直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围.
? 6?3 3 ? x? ?x ? 0 3 ? 3k ? 2 o o 解法 1:可解交点得 ? ,由 ? 得k ? 所以 30 ? ? ? 90 . y ? 0 3 ? ? y ? 6k ? 2 3 ? 3k ? 2 ?
解法 2:利用数形结合可得 30 ? ? ? 90 .
o o

例 2 求经过两条直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点,且和直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行的直线 l 的方程. 分 析 : 由 直 线 l 与 直 线 2 x ? y ? 6 ? 0平 行 , 可 以 求 得 直 线 l 的 斜 率 ; 又 因 为 直 线 l 经 过 两 条 直 线

x ? 2 y ? 4 ? 0和 x ? y ? 2 ? 0 的交点,所以求出两直线的交点即可由点斜式求得直线 l 的方程.
解法 1:?直线 2 x ? y ? 6 ? 0 的斜率为 2,且直线 l 与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,? kl ? 2 .

解方程组 ?

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0.

得?

? x ? 0, ? y ? 2.

. ?直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点坐标为 M (0, 2)

?直线 l 的方程为 y ? 2 ? 2( x ? 0) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .
解法 2:设与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行的直线 l 的方程为 2 x ? y ? C ? 0(C ? 6) 解方程组 ?

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0.

得?

? x ? 0, ? y ? 2.

. ?直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点坐标为 M (0, 2) , ?直线 l 经过两条直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点 M (0, 2)

? 2 ? 0 ? 2 ? C ? 0 ,即 C ? 2 .
?直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .
点评:解法 1 中求直线方程的方法是通法,须掌握 .解法 2 中利用了平行直线的设法:与直线

Ax ? By? C ?0 平行的直线方程可设为 Ax ? By ? ? ? 0(? ? 0) ,其中 ? 待定.
【设计意图】通过对问题的分析、解决过程,培养学生综合分析问题和转化化归的能力;通过方法探究, 一题多解,发散思维,有益于沟通知识和方法,开拓解题思路.

变式训练 已知直线 l1 : a1 x ? b1 y ? 1 ? 0 ,l2 : a2 x ? b2 y ? 1 ? 0 的交点是 P(2,3) 求过两点 A(a1 , b1 ) ,B(a2 , b2 ) 的直线
方程. 解:将 P(2,3) 代入 l1 , l2 得 ? 【拓展提升】 例 3 当 ? 变化时, x ? 2 y ? 4 ? ? (x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形呢?图形有何特点? 分析:由于 ? 是可取任意实数的常数,一个 ? 的值就对应一条直线,那么能否通过给定 ? 的特殊值进行研 究. 【学生探究】

? 2a1 ? 3b1 ? 1 ? 0 ,则 AB : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 . ? 2a2 ? 3b2 ? 1 ? 0

? ? ?1 时,方程为: ?3 y ? 6 ? 0 ,
? ? 0 时,方程为: x ? 2 y ? 4 ? 0 ,
(x ? y ? 2) ? 0 ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? 1 时,方程为: x ? 2 y ? 4 ? (x ? y ? 2) ? 0 ,即 x ? 0 ? ? 2 时,方程为: x ? 2 y ? 4 ? 2
作出图形可知,所有直线都过一个定点,该点为 M (0, 2) ,即直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点. 由此猜测:方程 x ? 2 y ? 4 ? ? 点. (x ? y ? 2) ? 0 表示的直线都经过 M (0, 2) 由于方程 x ? 2 y ? 4 ? ? (x ? y ? 2) ? 0 不能表示 x ? y ? 2 ? 0 这条直线. 结论:方程 x ? 2 y ? 4 ? ? (x ? y ? 2) ? 0 表示除直线 x ? y ? 2 ? 0 以外且经过两条直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和

x ? y ? 2 ? 0 交点的直线.
【设计意图】让学生认识直线系的特征,为求直线过定点问题打下基础.

变式训练 直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 经过一定点,则该点的坐标是 ( )
A. (?2,1) B. (2,1) C. (1, ?2) D. (1, 2)

解:由原方程化为 m( x ? 2) ? y ? 1 ? 0 ,则 ?

? x?2?0 ? x ? ?2 ,解得 ? ,故选 A. ?? y ? 1 ? 0 ? y ?1

六、【课堂小结】
1.知识点:两条直线的交点的求法; 二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系; 过两条直线交点的直线系方程. 2.思 想:由特殊到一般的思想;转化化归的思想;数形结合的思想. 【设计意图】通过学生总结,培养学生的口头表达能力、归纳概括能力,教会学生学习方法,让学生再 次回顾本节课的活动过程、重点、难点所在,对所学知识加以思考延伸.使学生对本节课所学知识结构有 一个清晰的认识,形成知识体系.

七、【布置作业】
1.书面作业 必做题: P 109 A 组 1,3,4, B 组 1. 选做题:1.两直线 y ? kx ? 2k ? 1和 x ? 2 y ? 4 ? 0 的交点在第四象限,则 k 的取值范围是( )

A . (?6, 2)

B. (?

1 , 0) 6

1 1 C.(? , ? ) 2 6

1 D.(? , ??) 2

2.过点 P(0,1) 作直线 m ,使它被两条直线 l1 : x ? 3 y ? 10 ? 0, l2 : 2 x ? y ? 8 ? 0 所截得线段以 P 为 中点,求直线 m 的方程. 答案:1. C ;2. x ? 4 y ? 4 ? 0 2.课外思考 思考 1:求证:不论 ? 取什么实数,直线 (2? ? 1) x ? (? ? 3) y ? (? ? 3) ? 0 都过一个定点,并求这个定点 坐标. 思考 2:已知直线 l : 3x ? y ? 1 ? 0 及点 A(4,1), B(0, 4), C (2,0) , (1)试在 l 上求求一点 P ,使 | PA | — +|PC| 最小; (2) )试在 l 上求求一点 Q ,使 | QA | — ?|QB| 最大. 【设计意图】书面作业的布置,以不同层次出现,对不同层次学生有不同的要求,体现了分层教学的教学 思想.设置“必做题”是为了进一步巩固所学,加强学生学习的自信心;课外思考探究活动进一步激励学 生学习的热情,培养学生数形结合的能力.

八、【教后反思】
本节亮点: 在原教案的基础上保留了其优点, 对内容重复部分作了删减, 并对每一例题加了变式训练, 在设计上注重课堂的开放性, 在学习过程中让学生主动参与, 使学生在参与活动的过程中感受 “数” 与 “形” 的相互转换,深化坐标法的应用.培养了学生的数形结合与运动转化的数学思想.在探究两直线的位置关系 与对应二元一次方程组解的个数问题的过程中,把学习的主动权还给学生,让学生自主经历发现问题、研 究问题、解决问题的学习过程,使数学课堂生动起来,培养学生勇于探索的科学精神. 不足之处:启发过多、讲的多,可以尝试让学生分析讲解,老师补充,这样更有益于学生学习兴趣培 养和对知识的理解.

九、【板书设计】
2.3.3 直线与平面垂直的性质 1.两直线的交点坐标 例2
学生板书

2.两直线的位置关系与对应方程组的解的个数 的关系

例3

例1

拓展提升



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