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3.2《一元二次不等式(3)》教案(苏教版必修5)



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普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]

§3.2 一元二次不等式(3)
教学目标 (1)掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法; (2)从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题; (3)从二次函数或是一元二次方程的角度,来解决一元二次不等式的综合题. 教学重点,难点 从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题,掌握一元二次不等式恒成立的解 题思路. 教学过程 一.问题情境 复习:一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 与相应的函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 、相应
2 2

的方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 之间有什么关系?(由学生上黑板画出相应表格) 二.数学运用 1.例题:
2

例 1.已知关于 x 的不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 {x | ?5 ? x ? 1} ,求实数 m, n 之值.
2

解:?不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集是 {x | ?5 ? x ? 1}
2

? x1 ? ?5, x2 ? 1 是 x2 ? mx ? n ? 0 的两个实数根, ? ?5 ? 1 ? m ? m ? ?4 . ?由韦达定理知: ? ?? ? ?5 ? 1 ? n ? n ? ? 5
例 2. 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 3} 求不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集.
2 2

b ? ?2 ? 3 ? ? a ?b ? ? 5 a ? c ? ? 解:由题意 ? 2 ? 3 ? , 即 ? c ? 6a . a ? a?0 ? ? ? a?0 ? ? 2 2 代入不等式 cx ? bx ? a ? 0 得: 6ax ? 5ax ? a ? 0(a ? 0) . 1 1 2 即 6 x ? 5x ? 1 ? 0 ,?所求不等式的解集为 {x | ? ? x ? ? } . 3 2 2 例 3.已知一元二次不等式 (m ? 2) x ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 R ,求 m 的取值范围. 2 解:? y ? (m ? 2) x ? 2(m ? 2) x ? 4 为二次函数,? m ? 2 ?二次函数的值恒大于零,即 (m ? 2) x 2 ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 R . m?2 ?m ? 2 ? 0 ? ? m?2 ?? , 即? ,解得: ? 2 ? ??0 ?4(m ? 2) ? 16( m ? 2) ? 0 ?2 ? m ? 6 . ?m 的取值范围为 {m | 2 ? m ? 6} ( m ? 2 适合) 2 拓展:1.已知二次函数 y ? (m ? 2) x ? 2(m ? 2) x ? 4 的值恒大于零,求 m 的取值范围.
2. 已知一元二次不等式 (m ? 2) x ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 ? ,求 m 的取值范围.
2

3.若不等式 (m ? 2) x ? 2(m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 ? ,求 m 的取值范围. 归纳:一元二次不等式恒成立情况小结:
2

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?a ? 0 . ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? ?? ? 0 ?a ? 0 . ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ? ? ?? ? 0
例 4.若函数 y ? 解:? y ?

x 2 ? 2kx ? k 中自变量 x 的取值范围是一切实数,求 k 的取值范围.

x 2 ? 2kx ? k 中自变量 x 的取值范围是 R ,? x2 ? 2kx ? k ? 0 恒成立.

? ? ? 4k 2 ? 4k ? 0 ? 0 ? k ? 1 故 k 的取值范围是 {k | 0 ? k ? 1} . 1 拓展:若将函数改为 y ? ,如何求 k 的取值范围? 2 x ? 2kx ? k 2 例 5.若不等式 mx ? 2 x ? 1 ? m ? 0 对满足 ?2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求实数 x 的取值
范围. 解:已知不等式可化为 ( x ? 1)m ? (1 ? 2 x) ? 0 .
2

设 f (m) ? ( x ? 1)m ? (1 ? 2 x) ,这是一个关于 m 的一次函数(或常数函数) ,从图象上看,
2

要使 f (m) ? 0 在 ?2 ? m ? 2 时恒成立,其等价条件是:

? f (2) ? 2( x 2 ? 1) ? (1 ? 2 x) ? 0, ? 2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, ? ? 即? 2 ? 2 ? f ( ?2) ? ?2( x ? 1) ? (1 ? 2 x) ? 0, ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 0. ? ? ? ?1 ? 7 1 ? 3 ? , 所以,实数 x 的取值范围是 ? ?. ? 2 2 ? ? ?
2.练习:

解得

?1 ? 7 1? 3 ?x? . 2 2

x2 ? x ? k ? k 对一切实数 x 恒不成立,求 k 的取值范围. 关于 x 的不等式 2 x ? x?3
三.回顾小结: 1.从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题; 2.一元二次不等式恒成立的问题. 四.课外作业:课本第 73 页 第 5、6 题; 第 96 页 复习题 第 4、11 题. 补充: 1.设 x1 , x2 是关于 x 的方程 x ? 2kx ? 1 ? k ? 0(k ? R) 的两个实根,求 x1 ? x2 的最小值;
2 2 2 2

x?a ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 2} ,求不等式 x2 ? x ? a ? 0 的解集; 2? x x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 ) ? 0 对一切实数 x 都成立,求 a 的取值范围. 3.已知不等式 x2 ? x ? a
2.不等式

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