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江西省抚州市南城一中2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文



南城一中 2017 届高二下学期期中考试 文科数学试题
第 I 卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的.)
2 1.已知集合 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x y ? ln ? x ? 2 ? ,则 ?CR B ? ? A ? (

>
?

A. x ? 2 ? x ? 1

?

?

? B. ? x ? 2 ? x ? 2?

?

?

)

C. x 1 ? x ? 2 ) C.第三象限

?

?

D. x x ? 2

?

?

2.在复平面内,复数 A.第一象限

2 ? 3i 对应的点在( i3
B.第二象限

D.第四象限 )

3.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ” ( A. 充 分 不 必 要 条 件 C. 充 分 必 要 条 件 A. y ? e x 和y ? ?e? x C. y ? ln x2 和y ? 2ln x B. 必 要 不 充 分 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 )

4.在下列各组函数中,表示同一函数的是(

B. y ? x和y ? D. y ? lg

x2
1 lg x 2
)

x 和y ?

5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 D. 3? ? 4

6. 设函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2? ? 2 f ? x ? ? x ,且当 0 ? x ? 2时,f ? x? =? x? ,? x? 表示不超过 x 的最大整 数,则 f ? 5.5? =( A.8.5 则 a1 ? ( A.18 ) B.20 C.22 D.24 ) C.12.5 D.14.5
开始 输入 p

B.10.5

7.设 {an } 为等差数列,公差 d = ? 2, S n 为其前 n 项和,若 S10 ? S11 ,

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

8.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出的
n , S 的值分别为(

) B. n ? 4, S ? 45 D. n ? 5, S ? 45

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

A. n ? 4, S ? 30 C. n ? 5, S ? 30

9.已知函数 f ? x ? 的定义域为[3,6],则函数 域为( A.[ ) B.(

y?

f ? 2x? log 1 ? 2 ? x ? 的定义
2

3 ,+∞) 2

3 ,+∞) 2

C.[

3 ,2) 2

D.[

1 ,2) 2

1

10.已知抛物线 C: y 2 ? 8 x 焦点为 F,点 P 是 C 上一点,若△POF 的面积为 2,则 PF ? (

5 7 B. 3 C. 2 2 11.给出下列四个命题: ⑴若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题;
A.

D.4

⑵命题“ ?x ? ?1, 2? , x2 ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件可以是 a ? 1 ;

1? 1 2 ? ? x ? 2 , 则 f ? 2? ? 6 ; x? x mx ? 1 ? 3? ⑷若函数 y ? 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是 ? 0, ? . 2 mx ? 4mx ? 3 ? 4?
⑶已知函数 f ? x ? 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 12. 设△ 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c . 若三边的长为连续的三个正整数,且 ) A ? B ? C, 3b ? 20a cos A ,则 sin A : sin B : sin C 为( A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 第 II 卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为____________; 14.函数 y ? sin x 在 x ? ? 处的切线方程为 15.设函数 f ? x ? ? ? ;

? ?

? ? x ? a, x ? 1 ? 的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是______ ; x ,x ?1 ? ?2

16.对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:

?13 ?7 ? ?3 3 ? ?15 3 3 2 ? ? , 3 ? ?9 , 4 ? ? ,? ? ?.仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 2015,则 m =_______ 5 17 ? ?11 ? ? ? ?19
三、解答题: (共六大题,共 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1? t ( t 为参数) ,在以直角坐标 ?y ? t ?3
2 cos ? . sin 2 ?

系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? ⑴求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; ⑵若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求弦 AB 的长.

18.(本小题满分 12 分)右图为一简单几何体,其底面 ABCD 为正方形,

PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且 PD ? AD ? 2 EC ? 2 , N 为线段 PB
2

的中点. ⑴证明: NE ? PD ; ⑵求四棱锥 B ? CEPD 的体积.

19.(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .向量 m=( a , 3 b )与 n=(cosA, sinB)平行. ⑴求 A; ⑵若 a = 7 , b =2,求△ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分)某市小型机动车驾照“科二”考试中共有 5 项考察项目,分别记作①,②,③, ④,⑤. ⑴某教练将所带 10 名学员“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示) ,并打算从恰有 2 项成绩不合格的 学员中任意抽出 2 人进行补测(只测不合格的项目) ,求补测项目种类不超过 3 项的概率;

⑵如图, 某次模拟演练中, 教练要求学员甲倒车并转向 90°, 在汽车边缘不压射线 AC 与射线 BD 的前提下, 将汽车驶入指定的停车位. 根据经验,学员甲转向 90°后可使车尾边缘完全落在线段 CD,且位于 CD 内各处 的机会相等.若 CA=BD=0.3m, AB=2.4m. 汽车宽度为 1.8m, 求学员甲能按教练要求完成任务的概率. 21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵在 x 轴上是否存在定点 M ,使得过M的直线l交椭圆于B、D两点,且 k AB k AD ? ?
3 x2 y 2 ,右顶点 A? 2,0? 。 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

3 恒成立?若存在,求出 4
3

点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

22.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? m(a ? 0) . ⑴若函数 f ( x) 在 x ?? ?1,1? 内没有极值点,求实数 a 的取值范围; ⑵ a ? 1 时函数 f ( x) 有三个互不相同的零点,求实数 m 的取值范围; ⑶若对任意的 a ? ?3,6? ,不等式 f ( x) ? 1 在 x ?? ?2, 2? 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

高二期中考试文科数学 参考答案 CAADD 13. ? x ? BBCCA CD

? ?

3 ?x? 2

3? ? 2?

14. x ? y ? ? ? 0

15.[3,+∞)

16. 45

17.解: (1)由曲线 C 的极坐标方程是: ? ?

2 cos ? 2 2 ,得 ? sin ? ? 2? cos? . sin 2 ?
4

∴由曲线 C 的直角坐标方程是: y 2 ? 2 x .由直线 l 的参数方程 ?

? x ? 1? t ,得 t ? 3 ? y 代入 x ? 1 ? t 中消 ?y ? t ?3

去 t 得: x ? y ? 4 ? 0 ,所以直线 l 的普通方程为: x ? y ? 4 ? 0 . .5 分 (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 y 2 ? 2 x ,得 t 2 ? 8t ? 7 ? 0 ,设 A, B 两点对应的参数分 别为 t1 , t2 , AB ?

2 t1 ? t2 ? 2 (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 2 82 ? 4 ? 7 ? 6 2 , . .10 分

18.解: (1)连结 AC 与 BD 交于点 F ,则 F 为 BD 的中 点,连结 NF , ∵ N 为线段 PB 的中点, ∴ NF // PD, 且 NF ? 又 EC / / PD 且 EC ?

1 PD , ?3 分 2
1 PD 2
∴四边形 NFCE 为平行四边形, 5 分

∴ NF / / EC 且 NF ? EC.

∴ NE / / FC , 即 NE / / AC . 6 分 又∵ PD ? 平面 ABCD , AC ? 面 ABCD , ∵ NE / / AC , ∴ NE ? PD , 7 分 (2)∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 平面 PDCE , ∴平面 PDCE ? 平面 ABCD . 9 分 ∵ BC ? CD ,平面 PDCE ? 平面 ABCD ? CD , BC ? 平面 ABCD , ∴ BC ? 平面. PDCE . 10 分 ∴ AC ? PD ,

∴ BC 是四棱锥 B ? PDCE 的高. 11 分 ∵ S梯形PDCE ?

1 1 ( PD ? EC ) ? DC ? ? 3 ? 2 ? 3 12 分 2 2

∴四棱锥 B ? CEPD 的体积 VB ?CEPD ? 19. (1)因为 m∥n,所以 asin B- 由正弦定理,得 sin Asin B- 又 sin B≠0,从而 tan A=
2 2

1 1 S梯形PDCE ? BC ? ? 3 ? 2 ? 2 3 3

bcos A=0, sin Bcos A=0,

,由于 0<A<π ,所以 A= .

(2) 由余弦定理,得 a =b +c2-2bccos A, 而由 a= ,b=2,A= ,得 7=4+c2-2c,即 c2-2c-3=0, . ,

因为 c>0,所以 c=3,故△ABC 的面积为 S= bcsin A= 方法二 由正弦定理,得 = ,从而 sin B=

5

又由 a>b,知 A>B,所以 cos B= 故 sin C=sin(A+B)=sin

, =sin Bcos . +cos Bsin = .

所以△ABC 的面积为 S= absin C=

20.(1)根据题意,学员(1) , ( 2) , (4) , (6) , (9)恰有两项不合格,从中任意抽出 2 人,所有情况如下: 学员编号 补测项目 项数 (1) (2) ②③⑤ 3 (1) (4) ②③④⑤ 4 (1) (6) ③④⑤ 3 (1) (9) ①③⑤ 3 (2) (4) ②④⑤ 3 (2) (6) ②③④⑤ 4 (2) (9) ①②⑤ 3 (4) (6) ②③④ 3 (4) (9) ①②④⑤ 4 (6) (9) ①③④⑤ 4

3 6 ? . 10 5 (2) 在线段 CD 上取两点 B? , D ? ,使 BB? ? DD? ? 1.8 m,记汽车尾部左端点为 M,则当 M 位于线段 AB? 上时,学员甲可按教练要求完成任务,而学员甲可以使点 M 等可能地出现在线段 CD? 上,根据几何概型, AB? 2.4 ? 1.8 0.6 1 ? ? ? . 所求概率 P ? CD? 2.4 ? 2 ? 0.3 ? 1.8 1.2 2
由表可知, 全部 10 种可能的情况中, 有 6 种情况补测项数不超过 3, 由古典概型可知, 所求概率为
c 3 x2 ? , a ? 2 得 b 2 ? 1 ,所以椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 a 2 4 (2)设 B( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), M (m,0) ,直线 l 的方程设为 x ? ky ? m ,与椭圆的方程联立得:

21.解(1)由

(k 2 ? 4) y 2 ? 2kmy ? m2 ? 4 ? 0
所以 y1 y2 ?

m2 ? 4 2km , y1 ? y2 ? ? 2 , k2 ? 4 k ?4

从而 k AB k AD ? ?

y y 3 3 ? 1 ? 2 ? ? ,整理得: 4 x1 ? 2 x2 ? 2 4

m2 ? 4 2 2km (3k ? 4) ? 3k (m ? 2) 2 ? 3(m ? 2)2 ? 0 2 k ?4 k ?4 解得: m ? 2 (舍去)或 m ? 1 .故在 x 轴上存在定点 M (1,0), 使得过 M 的直线 l 交椭圆于 B、D 两点,且

3 k AB k AD ? ? 恒成立. 4
22.解:(1)由题设可知,方程 f ( x) ? 3x ? 2ax ? a ? 0 在 ??1,1? 上没有实数根,
/ 2 2

? f / (1) ? 3 ? 2a ? a 2 ? 0 ? / 2 ∴ ? f (?1) ? 3 ? 2a ? a ? 0 ,解得 a ? 3 . ?a ? 0 ?

???4 分

3 2 (2)当 a ? 1 时 f ( x) ? x ? x ? x ? m ,∵ f ( x) 有三个互不相同的零点, 3 2 3 2 ∴ f ( x) ? x ? x ? x ? m ? 0 即 m ? ? x ? x ? x 有三个互不相同的实数根.

6

令 g ( x) ? ? x3 ? x2 ? x ,则 g / ( x) ? ?3x2 ? 2x ? 1 ? ?(3x ?1)( x ? 1) ∵ g ( x) 在 (??, ?1) 和 ( , ??) 均为减函数,在 ( ?1, ) 为增函数, ∴ g ( x)极小 ? g ( ?1) ? ?1, g ( x)极大 ? g ( ) ? 所以 m 的取值范围是 ( ?1,

1 3

1 3

1 3

5 27

5 ). 27

??????8 分

/ 2 2 (3)∵ f ( x) ? 3 x ? 2ax ? a ? 3( x ? )( x ? a ), 又 a ? 0 ,

a 3

a a 时, f / ( x) ? 0 ;当 ? a ? x ? 时, f / ( x) ? 0 . 3 3 a a ∴函数 f ( x) 的递增区间为 ( ??, ? a )和( , ??), 单调递减区间为 ( ? a , ) 3 3 a ? ?1, 2? , ? a ? ?3 , 又 x ?? ?2, 2? ,∴ f ( x)max ? max ? f (?2), f (2)? 当 a ? ?3,6? 时, 3
∴当 x ? ?a 或 x ? 而 f (2) ? f (?2) ? 16 ? 4a2 ? 0 ,∴ f ( x)max ? f (?2) ? ?8 ? 4a ? 2a2 ? m , 又∵ f ( x) ? 1在 ? ?2, 2? 上恒成立,∴ f ( x)max ? 1 即? 8 ? 4a ? 2a2 ? m ? 1 , 即 m ? 9 ? 4a ? 2a 在a ??3,6? 上恒成立.
2

∵ 9 ? 4a ? 2a 的最小值为 ?87
2

∴ m ? ?87.

7



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