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高一物理竞赛讲义四——物系相关速度



高一物理竞赛讲义

物系相关速度
研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等,它们都具有刚体的 力学性质,是不会发生形变的理想化物体,刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变 的; 由杆或绳约束物系的各点速度: 类型 1 由杆或绳约束物系的各点速度:在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向 的分速度. 1、如图所示,木块在水平桌面上移动的速度是

v,跨过滑轮的绳子 向下移动的速度是______(绳与水平方向之间的夹角为 α)

6、两只小环 O 和 O ′ 分别套在静止不动的竖直杆 AB 和 A′B ′ 上。 一根不可伸长的绳子一端固定在 A′ 上,穿过环 O ′ ,另一端系在 环 O 上(如图) 。若环 O ′ 以恒定速度 v1 向下运动, ∠AOO ′ = α , 求环 O 的速度?

A

A′

α
O

O′ v1

7、 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。 上面分别穿有一个小球。 小球 a、 间用一细直棒相连如图。 b 当细直棒与竖直杆夹角为 α 时, 求两小球实际速度之比 va∶vb= .

B
α
va b

B′

批注 [jeania3]: tanα∶1

vb

2、如图所示,湖中一条小船,岸边人用缆绳跨过一定滑轮 拉船靠岸,若绳子被以恒定速度 v0 拉动,当绳与水平方向 成 α 角,此时小船前进的速度为__________。

8、 如图所示, 一轻杆两端分别固定质量为 mA 和 mB 的两个小球 A 和 B(可视为质点) 。将其放在一个直角形光滑槽中,已知当轻杆与槽左壁成 α 角时, A 球沿槽下滑的速度为 VA,求此时 B 球的速度 VB? A
批注 [jeania1]:

v0 / cos α

3、如右图所示,A 物块以速度 v 沿竖直杆匀速下滑,经细绳通 过定滑轮拉动物体 B 在水平方向上运动. 当细绳与水平面成夹角 为θ时,求物体 B 运动的速度.

a B
批注 [jeania2]: vB=v·sinθ

4、如图 3 所示,A、B 以相同的速率 v 下降,C 以速率 vx 上升,绳 与竖直方向夹角 α 已知,则 vx=______v。

★解析:A 球以 VA 的速度沿斜槽滑下时,可分解为:一个使杆压缩的分运动,设其 速度为 VA1;一个使杆绕 B 点转动的分运动,设其速度为 VA2。而 B 球沿斜槽上滑的运 动为合运动,设其速度为 VB,可分解为:一个使杆伸长的分运动,设其速度为 VB1, VB1=VA1;一个使杆摆动的分运动设其速度为 VB2;

5、如图 4 所示,重物 A、B 由刚性绳拴接, 跨过定滑轮处于图中实线位置, 此时绳恰好拉 紧, 重物静止在水平面上, 用外力水平向左推 A,当 A 的水平速度为 vA 时,如图中虚线所 示,求此时 B 的速度 vB=______。

vA2 A a vA

vA1

vB2 vB

B vB1

1

高一物理竞赛讲义

由图可知: V B1 = V B sin α = V A1 = V A cos α

法是错误的. (“移动法”) (奥赛高考 P77 例 8)

VB = V A ? cot α
9、如图所示,物体 A 置于水平面上,A 前固定一滑轮 B,高台 上有一定滑轮 D,一根轻绳一端固定在 C 点,再绕过 B、D, BC 段水平,当以恒定水平速度 V 拉绳上的自由端时,A 沿水平 面前进,求当跨过 B 的两段绳子的夹角为 α 时,A 的运动速度。

批注 [jeania4]: v/(1+cosα)

线状相交物系交叉点的速度: 相交双方沿对方切 类型 2 线状相交物系交叉点的速度: 向运动分速度的矢量和 1、如图所示,A、B 两直杆交角为 θ,交点为 M,若两杆 各以垂直于自身的速度 v1、v2 沿着纸面运动,则交点 M 的速度为多大?

2、如下图所示,棒 MN 在夹角为 300 的导轨 BA 上向 左滑行,若在滑行过程中,棒始终垂直于 AB 边,且速 度为 1.2m/s, 那么 MN 与 AC 的交点 P 沿 AC 导轨滑行 的速度是_____ 。

解:如图所示,若 B 杆不动,A 杆以 v1 速度运动,交点 将沿 B 杆移动,速度为 v1’, v1’=v1/sinθ。 若 A 杆不动,B 杆移动时,交点 M 将沿 A 杆移动,速度为 v2’, v2’=v2/sinθ。 两杆一起移动时,交点 M 的速度 vM 可看成两个分速度 V1’和 V2’的合速度,
' ' ’ ‘ 2 2 故 vM 的大小为 vM= v12 + v 22 ? 2v1 v 2 cos 180 0 ? θ = v1 + v 2 ? 2v1 v 2 cos θ / sin θ

3、两个相同的正方形铁丝框如图所示放置,它们沿对 角线方向分别以速度 v 和 2v 向两边运动, 则两线框的 交点 M 的运动速度大小为( ) 。 (A)

v

2v

(

)

6 v 2

(B)

10 v 2

(C)

3 2 v 2

(D)

2 v 2

【思路导航】面对这样一道题,很多同学会毫不思考地用矢量合成法,直接求出交 点 P 的速度为 v p =

v1 + v 2 + 2v1v 2 cos(180° ? θ ) 。
2 2

这一解法是错误的,利用“移动法”即可得到验证.如图 2 一 15 所示,经时间 t, AB 移到 A′B′,CD 移到 C′D′,它们的位移分别为 v1t、v2t,点 P 移到 P′,由图可清楚地看 出,直线 AB、 CD 分别移动的位移与 P 的位移不满足平行四边形法则,可以肯定上述解

解:如图所示,根据线状相交物体交叉点的 速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量 和,把速度 V 分解为沿右侧正方形切向运动的分 速度,把速度 2V 分解为沿左侧正方形切向运动的 分速度,则交叉点的速度为:

v

2 v 2

2v
2v

2

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vM= (

2v 2 10 。 ) + ( 2v ) 2 = v ,故选(B) 2 2

4、如图所示,直杆 ab 搁在半径 r 的固定圆环上以速度竖直向下匀 速平动,求直杆 ab 运动到图示的位置时,杆与环的交点 M 的速度 的大小________________.(已知 ab⊥ON,∠MON=θ)

2、如图所示,一长为 L 的杆,下端铰于地面,上端固定一个小 球,杆搁在一边长为 a 的正方体上,正方体以速度 v 向右匀速 运动,则当滑到杆与水平面成“角时,杆与正方体的接触点沿杆 滑动的速度大小为___________,杆转动的角速度为_________, 小球的运动速度大小为______________。 解:杆与正方体的接触点的瞬时速度为向右的 v,它可以分解为沿杆方向的 v1 和垂直于 杆方向的 v2,如图所示,则可得 v1=vcosα,v2=vsinα。

分析与解?当小环从圆圈顶点滑过圆心角为 φ 的一段弧时,据交叉点速度相关特征,将 杆的速度u沿杆方向与圆圈切线方向分解, 则 M的速度为v=u/sinφ. 5、如右图所示,A、B 为半径相同的两个半圆环,以大小相同、方向相反的速度运动, A 环向右,B 环向左,则从两半圆环开始相交到最后分离的过程中,两环交点 P 的速度 方向和大小变化为 (A)向上变小, (B)向下变大, ( ) (C)先向上再向下,先变小再变大, (D)先向下再向上,先变大再变小。

此时杆与正方体的接触点与转轴的距离为 l = 而杆转动的角速度为 ω =

α

sin α



v 2 v 2 sin α v sin 2 α 。 = = l a a
vL sin 2 α 。 a
批注 [jeania5]: C

小球的运动速度为 v' = ωL =

P B 3、 如图所示,线轴沿水平面作无滑动的滚 动,并且线端 A 点速度为 v,方向水平.以 铰链固定于 B 点的木板靠在线轴上,线轴的内、外径分别为 r 和 R.试确定木板的角速 C 度ω与角 a 的关系. A

v A

v

类型 3 接触物系接触点速度的相关特征是:沿接触面法向的分速度必定相同 接触物系接触点速度的相关特征是 1、一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度 V0 匀速 运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动, 如图所示。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的连线与竖直方向 R θ P 的夹角为 θ,求竖直杆运动的速度。 解:设竖直杆运动的速度为 V1,方向竖直向上,由于弹力方向沿 OP 方向,所以 V0、V1 在 OP 方向的投影相等, 即有 O

B V1 V0

α

v

V0 sin θ = V1 cos θ ,解得 V =V ·tgθ。 1 0

3

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分析与解?设木板与线轴相切于C点,则板上C点与线轴上C点有相同的法向速度vn, 而板上C点的这个法向速度正是C点关于B轴的转动速度,如图5-17 所示,即 ???vn=ω·BC=ω·Rcot(α/2).?????????? ??现在再来考察线轴上C点的速度:它应是C点对轴心O的转动速度vCn 和与轴 心相同的平动速度vO 的矢量和,而vCn 是沿C点切向的,则C点法向速度vn 应是 ???vn=vOsinα.????????????????? ??又由于线轴为刚体且做纯滚动,故以线轴与水平面切点为基点,应有 ???v/(R+r)=vO/R.??????????????? 将?、?两式代入?式中,得 ???ω=(1-cosα)/(R+r)v.

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