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2014-2015上学期深圳市宝安区高二期末考试理科数学试题



2014-2015学年第一学期宝安区期末调研测试卷 高二 理科数学

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

? x ? R, 1.已知命题 p: 使 tan x ? 1 ,则下列关于命题 ? p 的描述中正确的是
A. ? x ? R,使 tan

x ? 1 C. ? x ? R,使 tan x ? 1 2.在下列函数中,最小值是 2 的是 A. y ? B. ? x ? R,使 tan x ? 1 D. ? x ? R,使 tan x ? 1

x 2 ? 2 x 1 sin x

B. y ?

2 x ?2?

1 x ?2
2

C. y ? sin x ?

D. y ? 5x ? 5? x

3.等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120,那么 a5 ? a6 的值是 A.12 B.24 C.36 D.48 4. 空间直角坐标系 O ? xyz 中, 已知点 B 是点 A(3,7,-4)在 xOz 平面上的射影, 则 OB 2 等于 A.(9,0,16) B.25 C.5 D.13 π 5.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.若 A= ,b=1,△ABC 的面 3 3 积为 ,则 a 的值为 2 3 A.1 B.2 C. D. 3 2 6.抛物线 x 2 ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为 A.2 B.3 C.4 D.5

??? ?

? x ? y ? 5 ? 0, ? 7.已知 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 2x+4y 的最小值为 ? x ? 3. ?
A.-6 B.6 C.-12 D.12 8.设定点 F1 (0? ?3) 、 F2 (0? 3)? 动点P满足条件| PF1 | ?a = 迹是
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9 ? | PF2 | (a ? 0) 则点P的轨 a

A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 9.函数 y ?

x 2 ? 3x ? 2 的定义域为

..

10.一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本.已

1 ,则总体中的个体数为 . 9 x2 y 2 x2 y 2 3 11.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率 a b a b 2
知乙层中每个个体被抽到的概率都为 为 . 12.在空间直角坐标系 O ? xyz 中,已知 O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,当 QA · QB 取最小值时,点 Q 的坐标是________. 13.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x)· f(y)=f(x+y), 1 * 若 a1= ,an=f(n)(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和 Sn= ________. 2 14.对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ?? 1,2? ,解关于 x 的不
2

??? ? ??? ?

等式 ax ? bx ? c ? 0 ”,给出了如下一种解法:
2

解析:由 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ?? 1,2? ,得 a?? x? ? b?? x? ? c ? 0 的解集为
2

2

?? 2,1? ,即关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ?? 2,1? .
参考上述解法, 若关于 x 的不等式 则关于 x 的不等式

k x?b 1? ?1 ? ? ? ? 0 的解集为 ? ?1, ? ? ? ? ,1? , x?a x?c 3? ? 2 ? ?


kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为 ax ? 1 cx ? 1

三、解答题.本大题共 6 小题,满分 80 分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ?

x2 ( x ? 1) . x ?1

(1)求不等式 f ( x) ? 2 x ? 1 的解集; (2)求函数 f ( x ) 的最小值.

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2

16. (本小题满分 12 分) 一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中 M,N 分别是 AB,SA 的中点.

(1)求直线 NB 与 MC 所成的角; (2)求平面 SAD 与平面 SMC 所成锐二面角的余弦值.

17.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

?1? 2x ? 3 ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? f ? ? , n ? N ? . 3x ? an ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ?? a2 na2 n ?1 ,求满足 Tn ? ?60 的最小正整数 n 的值.

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18.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的方程为 y2 ? 4 x ,点 M ? 4 , 0? ,过点 M 且垂直于 x 轴的直线 l 交 抛物线于 A、B 两点。设 P 是抛物线上异于 A、B 的任意一点, PQ ? y 轴于点 Q,直 线 PA、PB 的斜率分别为 k1 , k2 . (1) 求

1 1 PM ? 的最小值;(2)求证: 为定值,并求出该定值。 k1 k 2 PQ

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19.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? 3 ,其前 n 项和 Sn 满足

Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ? 1( n ? 2 , n ? N* ).
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 4n ? (?1) n?1 ? ? 2 n ( ? 为非零整数, n ? N ),试确定 ? 的值,使得对任
a
*

意 n ? N ,都有 bn?1 ? bn 成立.
*

20.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,已知 AB=2,AC=1,且 cos 2 A ? 2sin
2

B?C ?1 . 2

(1)求角 A 的大小和 BC 边的长; (2)若点 P 在△ABC 内运动(含边界),且点 P 到三边距离之和为 d 。设点 P 到边

BC,CA 的距离为分别为 x, y ,试用 x, y 表示 d ,并求 d 的取值范围.

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宝安区 2014-2015 学年度高二上学期期末考试 理科数学答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 CDBB DDAD

二、填空题:每小题 5 分,满分 30 分。 9. ?? ?,1? ? ?2,??? . 13. 1 ? ( ) 10.180 11.

5 2

4 4 8? 12.? ?3,3,3?

1 2

n

14. (?3, ?1) ? (1, 2)

三、解答题.本大题共 6 小题,满分 80 分。 15.(本小题满分 12 分)

x2 ? 2x ?1 , 解:(1)由 f ( x) ? 2 x ?1 得: x ?1
整理得: x ? x ? 1 ? 0 ,…………………………………………3 分
2

解得:

1? 5 1? 5 ,……………………………………5 分 ?x? 2 2 1? 5 ) ………………6 分 2

又? x ? 1 ,所以不等式的解集为: (1,

(2)设 x ? 1 ? t ,? x ? 1,?t ? 0, 且 x ? t ? 1 .………………7 分

? f ( x) ?

(t ? 1)2 t 2 ? 2t ? 1 1 1 ? ? t ? ? 2 ? 2 t ? ? 2 ? 4 ……11 分 t t t t

当且仅当 t ? 1 即 x ? 2 时取“=”号,故 f ( x ) 的最小值为 4.……12 分 16. (本小题满分 12 分) 解:(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,则

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D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),………………1 分 1 ? ?1 ? M? ?1,2,0?,N?2,0,1?,

???? 1 ? ∴ CM =? ?1,-2,0?,
???? 1 ? BN =? ?-2,-1,1?,………………………………………………3 分

???? ???? 1? ? 1? BN =1×? ∴ CM · ?-2?+?-2?×(-1)+0×1=0,
∴ CM ⊥ BN ,即直线 NB 与 MC 所成的角为 900.………………………6 分 (2)易知平面 SAD 的一个法向量是

????

????

???? DC =(0,1,0),…………………………………………………………5 分
设平面 SMC 的法向量为 n=(a,b,c),

???? ??? ? 1 1, ,-2?, SC =(0,1,-2), 又 SM =? ? 2 ?
1 ? ?a+2b-2c=0, 即? ? ?b-2c=0, 令 c=1,则 b=2,a=1,故取 n=(1,2,1),……………………8 分

???? ???? n DC · 2 6 于是 cos〈 DC ,n〉= ???? = = . 3 6 | DC ||n|
故平面 SAD 与平面 SMC 所成角的余弦值为 17. (本小题满分 14 分) 6 .……………………12 分 3

2 ?3 ? 1 ? an 2 ? 3an 2 ? ? an ? 解:(1)因为 an ?1 ? f ? ? ? 3 3 3 ? an ? an

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所以 ?an ? 是以

2 2 1 为公差的等差数列,又 a1 ? 1, 所以 an ? n ? .…………6 分 3 3 3

(2) Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ? ? a2n a2n?1 = a2 ? a1 ? a3 ? ? a4 ? a3 ? a5 ? ??? a2n ? a2n?1 ? a2n?1 ? =?

4 ? a2 ? a4 ? ? ? a2 n ? …………………………………………10 分 3

? 5 4n 1 ? ? ? ??n 4 ? 4 3 3 3? ? 2 =? ? = ? ? 2n ? 3n ? ………………………………12 分 3 2 9
由 Tn ? 60 得: ?

4 2n 2 ? 3n ? ? ?60 , ? 9 15 , 2

? 2n2 ? 3n ?135 ? 0 ,且 n ? 0 ,解得: n ?

故 n 的最小值为 8.………………………………………………………………14 分 18. (本小题满分 14 分) 解:(1)设 P( x0 , y0 ) ,则 y02 ? 4x0
2 x0 2 ? 4 x0 ? 16 PM 2 ? x0 ? 4 ? ? y0 4 16 ? 4 1 ? 3 ? ? ? ? ? …………4 分 = =? 1 ? ? PQ 2 x0 2 x0 2 x0 x0 2 ? x0 2 ? 4 2

2

所以,当

? PM 2 ? ? PM ? 3 3 4 1 ? ,故 ? 。……7 分 ? 时,即 x0 ? 8 时, ? ? ? 2 ? 2 x0 2 ? PQ ? min ? PQ ? min 4

? y2 ? 4x ?x ? 4 (2)联立 ? ,得 ? ,所以 A? 4, 4? , B ? 4, ?4? …………9 分 ?x ? 4 ? y ? ?4


8 ? 4 ? x0 ? 8 ? 4 ? x0 ? 4 ? x0 4 ? x0 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 为定值。…………14 分 k1 k2 4 ? y0 ?4 ? y0 16 ? y0 2 16 ? 4 x0

19. (本小题满分 14 分) 解:(1)由已知, ? Sn?1 ? Sn ? ? ? Sn ? Sn?1 ? ? 1( n ? 2 , n ? N ),
*

即 an?1 ? an ? 1 ( n ? 2 , n ? N ),且 a2 ? a1 ? 1 .
*

∴数列 ?an ? 是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列. ∴ an ? n ? 1 .…………………………………………………………5 分

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(2)∵ an ? n ? 1 ,∴ bn ? 4n ? (?1)n?1 ? ? 2n?1 ,要使 bn?1 ? bn 恒成立,
n ?1 n n?2 ∴ bn ?1 ? bn ? 4 ? 4 ? ? ?1? ? ? 2 ? ? ?1? n n ∴ 3 ? 4 ? 3? ? ? ?1? n ?1 n ?1

? ? 2n ?1 ? 0 恒成立,

2n ?1 ? 0 恒成立,

∴ ? ?1?

n ?1

? ? 2n ?1 恒成立. …………………………………………7 分
n ?1

(ⅰ)当 n 为奇数时,即 ? ? 2

恒成立,

n ?1 当且仅当 n ? 1 时, 2 有最小值为 1,

∴ ? ? 1 . …………………………………………………………10 分 (ⅱ)当 n 为偶数时,即 ? ? ?2 当且仅当 n ? 2 时, ?2
n ?1

n ?1

恒成立,

有最大值 ?2 ,

∴ ? ? ?2 . 即 ?2 ? ? ? 1 ,又 ? 为非零整数,则 ? ? ?1 .……………………13 分
* 综上所述,存在 ? ? ?1 ,使得对任意 n ? N ,都有 bn?1 ? bn .…………14 分

20. (本小题满分 14 分) (1)因为 cos 2 A ? 2sin

B?C ? 1 ,所以 cos 2 A ? cos ? B ? C ? ? 0 , 2 1 2 即 2cos A ? cos A ? 1 ? 0 ,解得 cos A ? 或 cos A= ? 1 ,……………………2 2
2

分 又 A??0 ,? ? ,所以 A=

?
3

,……………………………………………………4 分

由余弦定理得: BC= AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A ? 3 ………………6 分 (2)设点 P 到 AB 边的距离为 z,则

S? ABC ? S? PBC ? S? PCA ? S? PAB ?
又 S? ABC ?

1 2

?

3x ? y ? 2 z

?

1 3 1 BC ? CA ? , 所以 2 2 2

?

3x ? y ? 2 z ?

?

1 3 ,即 z ? 2 2

?

3 ? 3x ? y .

?

………………………………8 分

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? ?x ? 0 ? 1? 2 ? 3 x ? y ? 3 ? ,又 x、 y 满足 ? y ? 0 故d ? x? y? z ? , ? 2? ?1 ? 3 ? 3x ? y ? 0 ?2

?

?

?

?

……………………………10 分 由线性规划知识得 d 的取值范围是 ?

? 3 ? , 3 ? .………………………………………14 分 ? 2 ?

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