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2.2.1对数与对数运算0(一)

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复习引入
假设2002年我国国民生产总值为a

亿元，如果每年平均增长8%，那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍？

复习引入
假设2002年我国国民生产总值为a

亿元，如果每年平均增长8%，那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍？

(

1 ? 8%) ? 2 ? x ? ?
x

复习引入
假设2002年我国国民生产总值为a

亿元，如果每年平均增长8%，那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍？

(1 ? 8%) ? 2 ? x ? ?
x

已知底数和幂的值，求指数．你能 看得出来吗？怎样求呢？

讲授新课
一般地，如果a(a＞0, a≠1)的b次幂 等于N，就是ab＝N ，那么数b叫做以a 为底N的对数，记作logaN＝b.

讲授新课
一般地，如果a (a＞0, a≠1)的b次幂 等于N，就是ab＝N ，那么数b叫做以a 为底N的对数，记作logaN＝b.

ab＝N ? logaN＝b.

a ? N ? log a N ? b
b

a ? N ? log a N ? b
b

底数

指数

a ? N ? log a N ? b
b

底数

指数

a ? N ? log a N ? b
b

底数

幂

指数

a ? N ? log a N ? b
b

底数

幂

底数

指数
b

真数

a ? N ? log a N ? b
底数 幂 底数

指数
b

真数

a ? N ? log a N ? b
底数 幂 底数 对数

探究：
1. 是不是所有的实数都有对数？ logaN＝b中的N可以取哪些值？

探究：
1. 是不是所有的实数都有对数？ logaN＝b中的N可以取哪些值？ 负数与零没有对数

探究：
1. 是不是所有的实数都有对数？ logaN＝b中的N可以取哪些值？ 负数与零没有对数 2. 根据对数的定义以及对数与指数的 关系， loga1＝? logaa＝?

探究：
1. 是不是所有的实数都有对数？ logaN＝b中的N可以取哪些值？ 负数与零没有对数 2. 根据对数的定义以及对数与指数的 关系， loga1＝? logaa＝?

loga1＝0，logaa＝1

探究：
3. 对数恒等式 如果把ab＝N 中的b写成logaN，则有

a

loga N

? N.

探究：
3. 对数恒等式 如果把ab＝N 中的b写成logaN，则有

a

loga N

? N.

4. 常用对数：

我们通常将以10为底的对数叫做常 用对数. 为了简便，N的常用对数log10N 简记作lgN.

探究：
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.71828……为底的对数，以e为底 的对数叫自然对数，为了简便，N的自 然对数logeN简记作lnN．
loge N

探究：
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.71828……为底的对数，以e为底 的对数叫自然对数，为了简便，N的自 然对数logeN简记作lnN．
loge N

6. 底数的取值范围

探究：
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.71828……为底的对数，以e为底 的对数叫自然对数，为了简便，N的自 然对数logeN简记作lnN．
loge N

6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, ＋∞)；

探究：
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.71828……为底的对数，以e为底 的对数叫自然对数，为了简便，N的自 然对数logeN简记作lnN．
loge N

6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, ＋∞)； 真数的取值范围

探究：
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.71828……为底的对数，以e为底 的对数叫自然对数，为了简便，N的自 然对数logeN简记作lnN．
loge N

6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, ＋∞)； 真数的取值范围(0, ＋∞).

例题与练习 例1 将下列指数式写成对数式

(1) 5 ? 625
4

( 2) 2

?6

1 ? 64

( 3) 3 ? 27
a

1 m (4) ( ) ? 5.73 3

例题与练习 例2 将下列对数式写成指数式

(1) log 1 16 ? ?4
2

(2) log 2 128 ? 7 (4) ln 10 ? 2.303

( 3) lg 0.01 ? ?2

例题与练习 例3 求下列各式中的x的值

2 (1) log 64 x ? ? 3

( 2) log x 8 ? 6

(3) lg 100 ? x

(4) ? ln e ? x
2

引入：指数运算法则

a ?a ? a
m n

m?n

( m , n ? R),
( m, n ? R),

(a ) ? a
m n

mn

(ab) ? a ? b ( n ? R).
n n n

讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则：

讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：

讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：

log a ( MN ) ? log a M ? log a N (1)

讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：

log a ( MN ) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N (2) N

讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：

log a ( MN ) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N (2) N n log a M ? n log a M ( n ? R) (3)

说 明： ①简易语言表达： “积的对数＝对数的和”……

说 明： ①简易语言表达： “积的对数＝对数的和”…… ②有时逆向运用公式： 如： log 10 5 ? log 10 2 ? log 10 10 ? 1.

说 明： ①简易语言表达： “积的对数＝对数的和”…… ②有时逆向运用公式： 如： log 10 5 ? log 10 2 ? log 10 10 ? 1. ③真数的取值范围必须是 (0, ＋∞).

说 明： ①简易语言表达： “积的对数＝对数的和”…… ②有时逆向运用公式： 如： log 10 5 ? log 10 2 ? log 10 10 ? 1. ③真数的取值范围必须是 (0, ＋∞). ④对公式容易错误记忆，要特别注意：

log a ( MN ) ? log a M ? log a N

log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N .

例题与练习 例1 用logax，logay，logaz表示下列各式：

xy (1)log a ; z

( 2) log a

x

2 3

y z

例题与练习 例2 计算

(1) log 5 25

( 2) log 0.4 1
5

(3) log 2 (4 ? 2 )
7

(4) lg 100

5

例题与练习 例3 计算

(1) (lg 5) ? lg 2 ? lg 50
2

7 ( 2) lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18. 3

课堂小结
1. 对数的定义；

2. 指数式与对数式互换；
3. 求对数式的值． 4. 对数的运算法则；

5.公式的逆向使用.



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