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46 圆锥曲线综合问题(1)



46 圆锥曲线综合问题(1) 改编:吴珍全 一、知识要点 1.灵活运用圆锥曲线的定义处理与焦半径有关的求值、范围、最值问题 2.圆锥曲线与函数、数列、向量等知识的综合问题 3.圆与椭圆的相关综合问题 二、课前预习 1.已知椭圆 C : x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 ,F2 ,离心率为 , 过 F2 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 2 a b 3 . 若 ?AF 1 B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为 2.已知双曲线 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 16x 的焦点 a 2 b2 . 相同,则双曲线的方程是 x2 y2 3.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近线交于 P、Q 两点,如果 ?PQF 是直 a b 角三角形,则双曲线的离心率 e ? . Q 是直线 PF 与 C 的一个交点. 4.已知抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F , 准线为 l ,P 是 l 上一点, 若 FP ? 4FQ , 2 则 | QF |? . 5 .已知动点 P ( x, y ) 在椭圆 是 . x2 y2 ? ? 1 上,若点 A(3,0) , | AM |? 1 ,且 PM ? AM ? 0 ,则 | PM | 的最小值 25 16 1 三、典例剖析 例 1.设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两 a 2 b2 点,且 | AF2 |, | AB |, | BF2 | 成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,?1) 满足 | PA |?| PB | ,求 E 的方程. 例 2 . 已 知 椭 圆 C1 : x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 右 焦 点 为 F , 上 顶 点 为 A , P 为 C1 上 任 一 点 , MN 是 圆 a 2 b2 C2 : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的一条直径.若与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3 ? 2 的直线 l 恰好和圆 C2 相切. (1)求椭圆 C1 的离心率; (2)若 PM ? PN 的最大值为 49,求椭圆 C1 的方程. 例 3. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 A, B, C 是椭圆 x2 y2 3 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上不同的三点, A(3 2 , ), 2 a b 2 2 B(?3,?3) , C 在第三象限,线段 BC 的中点在直线 OA 上. (1)求椭圆的标准方程; (2)求点 C 的坐标; (3)设动点 P 在椭圆上(异于点 A, B, C )且直线 PB , PC 分别交直线 OA 于 M , N 两点,证明 OM ? ON 为 定值并求出该定值. 四、课后作业 1.已知定点 A, B ,且 | AB |? 8 ,动点 P 满足 | PA | ? | PB |? 6 ,则 | PA | 的最小值是 . 2.已知双曲线 ? x2 y2 ? ? 1(0 ? a ? 2 ) 的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为 2 3 a 2 . 3.已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与长轴垂直的直


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