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【步步高】2015届高考数学总复习 第四章 4.6正弦定理、余弦定理及解三角形课件 理 北师大版



数学

北(理)

§4.6 正弦定理、余弦定理及 解三角形
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.正弦、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦

定理 余弦定理
2 2 a2= b +c -2bccos A ;
2 2 c + a -2cacos B ; b= 2 2 c2= a +b -2abcos C
2

内容

b c a = sin B =sin C sin A
=2 R

基础知识·自主学习
要点梳理
(1)a=2Rsin A,b= 2Rsin B , c= 2Rsin C ; b a (2)sin A= ,sin B= 2R , 2R

知识回顾 理清教材

c 变形 sin C= 2R ;
(3)a∶b∶c

= sin A∶sin B∶sin C ; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B, asin C=csin A

b2+c2-a2 cos A= 2bc ; c2+a2-b2 cos B= ; 2ca a2+b2-c2 cos C= 2ab

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1 1 1 abc 1 2.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是 2 2 2 4R 2 三角形内切圆的半径),并可由此计算 R、r.
3.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b 解的 个数 一解 两解 a≥b 一解 a>b 一解 A 为钝角或直角

基础知识·自主学习
要点梳理
4.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目 标视线在水平视线上方 叫仰角, 目标视线在水平视线下方 叫俯 角(如图①).

知识回顾 理清教材

(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等.

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

(3)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方 位角为 α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √ (2) √ (3) √ (4) × (5) ×

解析

D
B
2 7
30 2

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 A.30° C.120° B.60° D.150° ( )

(2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内 角 A,B,C 的对边,且 2asin A= (2b+c)sin B+(2c+b)sin C,则 sin B+sin C 的最大值为 1 A.0 B.1 C. 2 ( D. 2 )

题型分类·深度剖析
题型一 正、余弦定理的简单应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)在△ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内 角 A,B,C 的对边,且 2asin A= (2b + c)sin B + (2c + b)sin C ,则 sin B+sin C 的最大值为 ( ) 1 A.0 B.1 C. D. 2 2

(1)由 sin C=2 3sin B 利用正 弦定理得 b、c 的关系,再利用 余弦定理求 A.

(2)要求 sin B+sin C 的最大值, 显然要将角 B,C 统一成一个 角,故需先求角 A,而题目给 出了边角之间的关系,可对其 进行化边处理,然后结合余弦 定理求角 A.

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B解析 ,C 的对边分别是 a, ,c,若 (1)∵sin C= 2 b3sin B,由正弦定理得 c=2 3b,
2 a2-b2= 3bc sin C= 2 3sin Bbc ,+c2 b, + c2- a2 - 3

= 2 bc 则 A 等于 ( 2bc ) 又 A 为三角形的内角,∴A=30° . A.30° B.60° (2)已知 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,
C.120° D.150°

∴cos A=

- 3bc+2 3bc 3 = =2, 2bc

2 2 2 由余弦定理得 a = b + c -2 bc cos A, 角 A,B,C 的对边,且 2asin A = 1 cos A=- A 为三角形的内角, ∴A=120° . (2故 b+ c)sin B+(2 c+b)sin C,则 sin 2,又 3 1 B + sin C 的最大值为 ( ) 故 sin B+sin C=sin B+sin(60° -B)= 2 cos B+2sin B=sin(60° +B), 1 A故当 .0 B B . 1 C . D. 2 =30° 时,sin 2 B+sin C 取得最大值 1.

2 2 2 2 根据正弦定理,得 2 a = (2 b + c ) b + (2 c + b ) c ,即 a = b + c +bc. (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 A.30° C.120° B.60° D.150° ( A )

(2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内 角 A,B,C 的对边,且 2asin A= (2b + c)sin B + (2c + b)sin C , 则 sin B+sin C 的最大值为 ( B ) 1 A.0 B.1 C. D. 2 2

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

正、余弦定理的简单应用
(1)在△ABC 中,内角 A,
思维启迪 解析 答案 思维升华

B(1) ,C 的对边分别是 a,b,c,若 在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 C.120° ( )

理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个
D.150°

A定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的 .30° B.60° (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内

二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角

的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征 角 A,B,C 的对边,且 2asin A=
(2都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. b+c)sin B+(2c+b)sin C,则 sin B+sin C 的最大值为 ( ) (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制. 1 A.0 B.1 C. D. 2 2

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, ( A ) c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C 等于 7 7 7 24 A. B.- C.± D. 25 25 25 25 =1,b= 3,A+C=2B,则角 A 的大小为________.

(2)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a

b c 解析 (1)由正弦定理sin B=sin C, 8 b 5 b 将 8b=5c 及 C=2B 代入得 = , sin B sin 2B 8 5 1 4 化简得 = ,则 cos B= , sin B 2sin Bcos B 5 42 7 2 所以 cos C=cos 2B=2cos B-1=2×( ) -1= ,故选 A. 5 25

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, ( A ) c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C 等于 7 7 7 24 A. B.- C.± D. 25 25 25 25

(2)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a π =1,b= 3,A+C=2B,则角 A 的大小为________ . 6

π (2)∵A+C=2B 且 A+B+C=π,∴B= . 3

asin B 1 由正弦定理知:sin A= b =2,
π 又 a<b,∴A<B,∴A= . 6

题型分类·深度剖析
题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 课标全国)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, acos C+ 3asin C -b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

题型分类·深度剖析
题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 课标全国)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, acos C+ 3asin C -b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

利用正弦定理将边转化为角, 再利用和差公式可求出 A;面 积公式和余弦定理相结合, 可 求出 b,c.

题型分类·深度剖析
题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪


【例 2】 (2012· 课标全国)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, acos C+ 3asin C -b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

解析

思维升华

(1)由 acos C+ 3asin C-b-

c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0.
因为 B=π-A-C,
所以 3sin Asin C-cos Asin C- sin C=0.
? π? 1 sin?A-6?=2. ? ?

由于 sin C≠0,所以
π 又 0<A<π,故 A= . 3

题型分类·深度剖析
题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 课标全国)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, acos C+ 3asin C -b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A 2 = 3,故 bc=4.

而 a2=b2+c2-2bccos A, 故 b2+c2=8.
解得 b=c=2.

题型分类·深度剖析
题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 课标全国)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, acos C+ 3asin C -b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

有关三角形面积问题的求解 方法:
(1)灵活运用正、 余弦定理实现 边角转化.
(2)合理运用三角函数公式, 如 同角三角函数的基本关系、二 倍角公式等.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.
解 π (1)∵c=2,C= , 3

∴由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得 a2+b2-ab=4.
1 又∵△ABC 的面积为 3,∴ absin C= 3,ab=4. 2
2 2 ? ?a +b -ab=4, 联立方程组? ? ?ab=4,

解得 a=2,b=2.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.
(2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A,

得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A,
即 2sin Bcos A=2sin Acos A,∴cos A· (sin A-sin B)=0,
∴cos A=0 或 sin A-sin B=0,

当 cos A=0 时,∵0<A<π,

π ∴A=2,△ABC 为直角三角形;

当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A,

由正弦定理得 a=b,即△ABC 为等腰三角形.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

题型分类·深度剖析
题型三 解三角形的实际应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某渔轮在航行中不幸遇 险,发出呼救信号,我海军舰艇 在 A 处获悉后,立即测出该渔 轮在方位角为 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿 方位角为 105° 的方向,以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢, 我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救, 求舰艇的航向 和靠近渔轮所需的时间.

题型分类·深度剖析
题型三 解三角形的实际应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某渔轮在航行中不幸遇 险,发出呼救信号,我海军舰艇 在 A 处获悉后,立即测出该渔 轮在方位角为 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿 方位角为 105° 的方向,以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢, 我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救, 求舰艇的航向 和靠近渔轮所需的时间.

本题中所涉及的路程在不断 变化,但舰艇和渔轮相遇时所 用时间相等,先设出所用时间 t, 找出等量关系, 然后解三角 形.

题型分类·深度剖析
题型三 解三角形的实际应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某渔轮在航行中不幸遇
∠ACB =120° , 在 A 处获悉后,立即测出该渔

险,发出呼救信号,我海军舰艇 解 如图所示,根据题意可知 AC=10,
设舰艇靠近渔轮所需的时间为 轮在方位角为 45° ,距离为 10 t h,并在 B 处与 渔轮相遇,则 AB =21t,BC=9t, n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿
2 2 2 在 △ ABC 中, 根据余弦定理得 AB = AC + BC -2AC· BC· cos 120° , 方位角为 105° 的方向,以 9 1 2 2 2 2 2 n mile21 /h 的速度向某小岛靠拢, 所以 t =10 +9 t +2×10×9t×2, 我海军舰艇立即以 21 n mile/h 2 5 2 即 360t -90t-100=0,解得 t=3或 t=-12(舍去). 的速度前去营救, 求舰艇的航向 2 所以舰艇靠近渔轮所需的时间为3 h.此时 AB=14,BC=6. 和靠近渔轮所需的时间.

题型分类·深度剖析
题型三 解三角形的实际应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某渔轮在航行中不幸遇

BC AB 险,发出呼救信号,我海军舰艇 在△ABC 中,根据正弦定理得 = , sin∠CAB sin 120° 在 A 处获悉后,立即测出该渔 3 6× 轮在方位角为 45° ,距离为 103 2 3 所以 sin∠CAB= = , 14 14 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿
即∠CAB105° ≈21.8° 或∠CAB≈ (舍去). 方位角为 的方向,以 9 158.2°

n mile/h 的速度向某小岛靠拢, 即舰艇航行的方位角为 45° +21.8° =66.8° . 我海军舰艇立即以 21 n mile/h 2 所以舰艇以 66.8° 的方位角航行,需3 h 才能靠近渔轮. 的速度前去营救, 求舰艇的航向 和靠近渔轮所需的时间.

题型分类·深度剖析
题型三 解三角形的实际应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 某渔轮在航行中不幸遇 险,发出呼救信号,我海军舰艇 在 A 处获悉后,立即测出该渔 轮在方位角为 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿 方位角为 105° 的方向,以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢, 我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救, 求舰艇的航向 和靠近渔轮所需的时间.

求解测量问题的关键是把测量 目标纳入到一个可解三角形中, 三角形可解,则至少要知道这个 三角形的一条边长.解题中注意 各个角的含义,根据这些角把需 要的三角形的内角表示出来,注 意不要把角的含义弄错,不要把 这些角与要求解的三角形的内 角之间的关系弄错.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶 上一建筑物顶端对于山坡的斜度为 15° ,如图所示, 向山顶前进 100 m 后,又从 B 点测得斜度为 45° ,设 建筑物的高为 50 m.求此山对于地平面的斜度 θ 的 余弦值.

解 在△ABC 中,∠BAC=15° ,∠CBA=180° -45° =135° , AB=100 m, 所以∠ACB=30° . 100 BC 100sin 15° 由正弦定理,得sin 30° =sin 15° ,即 BC= sin 30° . 100sin 15° 在△BCD 中,因为 CD=50,BC= sin 30° ,∠CBD=45° ,
∠CDB=90° +θ,

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶 上一建筑物顶端对于山坡的斜度为 15° ,如图所示, 向山顶前进 100 m 后,又从 B 点测得斜度为 45° ,设 建筑物的高为 50 m.求此山对于地平面的斜度 θ 的 余弦值.

100sin 15° sin 30° 50 由正弦定理,得 = ,解得 cos θ= 3-1. sin 45° sin?90° +θ?

因此,山对地面的斜度的余弦值为 3-1.

题型分类·深度剖析
易错警示系列4 代数式化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
易错警示系列4 代数式化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.
审 易题 错路 分线 析图 规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角 互补情形;
(2)代数运算中两边同除一个可能为 0 的式子,导致漏解;

(3)结论表述不规范.

题型分类·深度剖析
易错警示系列4 代数式化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒



∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),

∴b2[ sin(A+B)+sin(A-B)] =a2[ sin(A+B)-sin(A-B)] ,
∴2sin Acos B· b2=2cos Asin B· a2, 即 a2cos Asin B=b2sin Acos B.
4分

方法一 由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B,
∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,

又 sin A· sin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B.

8分

题型分类·深度剖析
易错警示系列4 代数式化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

π ∴2A=2B 或 2A=π-2B,∴A=B 或 A+B=2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形.
方法二

在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π,

12分

2 2 2 2 2 2 b + c - a a + c - b 由正弦定理、 余弦定理得: a2b 2bc =b2a 2ac ,

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
∴a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0.
∴△ABC 为等腰或直角三角形.

即 a=b 或 a2+b2=c2.
12分

题型分类·深度剖析
易错警示系列4 代数式化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A +B),试判断△ABC 的形状.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变 为只含边或只含角的式子然后判断; 注意不要轻易两边同除以 一个式子. (2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一, 并注重挖掘隐 含条件.另外,在变形过程中要注意角 A,B,C 的范围对三 角函数值的影响.

思想方法·感悟提高
A 1.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π,2 B C π + 2 + 2 =2中互补和互余的情况,结合诱导公式 可以减少角的种数.
2.正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、余 弦定理结合得 sin2A=sin2B+sin2C-2sin B· sin C· cos A,可以进行化简或证明.

方 法 与 技 巧

3.合理利用换元法、代入法解决实际问题.

思想方法·感悟提高

1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的 对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,

失 误 与 防 范

有时可能出现一解、两解,所以要进行分类讨论.

2.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角 和定理对角的范围的限制.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.在△ABC,已知∠A=45° ,AB= 2,BC=2,则∠C 等 于 A.30° B.60° C.120° ( A ) D.30° 或 150°

解析

AB BC 2 2 在△ABC 中, = ,∴ = , sin C sin A sin C sin 45°

1 ∴sin C= ,又 AB<BC,∴∠C<∠A,故∠C=30° . 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

c 2.△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若b<cos A, 则△ABC 为 A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 ( A )

sin C 解析 依题意得sin B<cos A,sin C<sin Bcos A,

所以 sin(A+B)<sin Bcos A,
即 sin Bcos A+cos Bsin A-sin Bcos A<0,

所以 cos Bsin A<0.

又 sin A>0,于是有 cos B<0,B 为钝角,△ABC 是钝角三 角形.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.(2012· 湖南)△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上 的高等于 3 A. 2 3 3 B. 2 3+ 6 C. 2 ( B ) 3+ 39 D. 4

解析

设 AB=a,则由 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B 知 7=

a2+4-2a,

即 a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).
3 3 3 ∴BC 边上的高为 AB· sin B=3× = . 2 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4.(2013· 辽宁)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 1 asin Bcos C+csin Bcos A= b,且 a>b,则∠B 等于 ( A ) 2 π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6

a c 1 解析 由条件得bsin Bcos C+bsin Bcos A=2,

1 依正弦定理,得 sin Acos C+sin Ccos A= , 2
1 1 ∴sin(A+C)=2,从而 sin B=2, π 又 a>b,且 B∈(0,π),因此 B=6.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知 b2=c(b 7 +2c),若 a= 6,cos A= ,则△ABC 的面积等于 ( C ) 8 15 A. 17 B. 15 C. D.3 2
解析 ∵b2=c(b+2c),∴b2-bc-2c2=0,

即(b+c)· (b-2c)=0,∴b=2c.
b2+c2-a2 7 又 a= 6,cos A= 2bc =8,解得 c=2,b=4.

1 1 ∴S△ABC=2bcsin A=2×4×2×

72 15 1-?8? = 2 .

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.(2013· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,

2π 3 c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C=________.

解析 由已知条件和正弦定理得:3a=5b,且 b+c=2a,
5b 7b 则 a= 3 ,c=2a-b= 3 ,

a2+b2-c2 1 2π cos C= 2ab =-2,又 0<C<π,因此角 C= 3 .

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 2 10 7.在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,tan A=2,则 a=________. 4

解析 由 tan A=2 得 sin A=2cos A.

2 5 又 sin A+cos A=1 得 sin A= . 5 π ∵b=5,∠B= , 4 a b 根据正弦定理,有 = , sin A sin B
2 2

bsin A 2 5 ∴a= sin B = =2 10. 2 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 点 A 的同侧的河岸边选定一点 C,测出 AC 的 距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° , 50 2 m . 则 A,B 两点的距离为________
解析 AB AC 由正弦定理得 = , sin∠ACB sin B

2 AC· sin∠ACB 50× 2 所以 AB= = 1 =50 2. sin B 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.(2013· 北京)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值.
解 (1)在△ABC 中,由正弦定理

a b 3 2 6 2 6 sin A=sin B?sin A=sin 2A=2sin Acos A, 6 ∴cos A= 3 .
(2)由余弦定理, a2 =b2+c2 -2bccos A?32 =(2 6)2 +c2 6 -2×2 6c× 3

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.(2013· 北京)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值.
则 c2-8c+15=0.

∴c=5 或 c=3. 当 c=3 时,a=c,∴A=C.
π 由 A+B+C=π,知 B=2,与 a2+c2≠b2 矛盾.
∴c=3 舍去.故 c 的值为 5.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.(2013· 江西)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 已知 cos C+(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围.

解 (1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B- 3sin Acos B=0 即有 sin Asin B- 3sin Acos B=0, 因为 sin A≠0,所以 sin B- 3cos B=0,
即 3cos B=sin B.
因为 0<B<π,所以 sin B>0, 所以 cos B>0, 所以 tan B= 3, π 即 B=3.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.(2013· 江西)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 已知 cos C+(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围.

(2)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 1 因为 a+c=1,cos B=2, ?a+c? 1 ? ?2 1 2 2 2 2 所以 b =(a+c) -3ac≥(a+c) -3? ? =4(a+c) =4, ? 2 ? 1 ∴b≥2. 1 又 a+c>b,∴b<1,∴2≤b<1.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B b 2 +bcos A= 2a,则a等于 ( D ) A.2 3 B. 2 2 C. 3 D. 2

解析

∵asin Asin B+bcos2A= 2a,

∴sin Asin Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,

b sin B ∴sin B= 2sin A,∴a=sin A= 2.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

2.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变,将倾斜角 改为 10° ,则斜坡长为 A.1
解析

( C ) C.2cos 10° D.cos 20°

B.2sin 10°

如图,∠ABC=20° ,

AB=1,∠ADC=10° , ∴∠ABD=160° .

AD AB 在△ABD 中,由正弦定理得sin 160° =sin 10° ,
sin 160° sin 20° ∴AD=AB· = =2cos 10° . sin 10° sin 10°

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

3. (2013· 浙江)在△ABC 中, ∠C=90° , M 是 BC 的中点. 若 sin∠BAM 1 = ,则 sin∠BAC=________. 3 1 2 2 解析 因为 sin∠BAM= ,所以 cos∠BAM= . 3 3 BM AM 如图,在△ABM 中,利用正弦定理,得 = , sin∠BAM sin B BM sin∠BAM 1 1 所以 = = = . AM sin B 3sin B 3cos∠BAC CM 在 Rt△ACM 中,有 =sin∠CAM=sin(∠BAC-∠BAM). AM
由题意知 BM=CM, 1 所以 =sin(∠BAC-∠BAM). 3cos∠BAC
化简,得 2 2sin∠BACcos∠BAC-cos2∠BAC=1.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

3. (2013· 浙江)在△ABC 中, ∠C=90° , M 是 BC 的中点. 若 sin∠BAM 6 1 = ,则 sin∠BAC=________. 3 3

2 2tan∠BAC-1 所以 =1,解得 tan∠BAC= 2. tan2∠BAC+1
再结合 sin2∠BAC + cos2∠BAC = 1, ∠BAC 为锐角可解得 6 sin∠BAC= . 3

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4.(2012· 江西)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. ?π ? ?π ? π 已知 A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. 4 ? ? ? ? π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.
?π ? ?π ? (1)证明 由 bsin?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理, ? ? ? ? ?π ? ?π ? 得 sin Bsin?4+C?-sin Csin?4+B?=sin A, ? ? ? ?

sin

? B? ? ?

? ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? -sin C? sin B+ cos B?= 2 , 2 sin C+ 2 cos C? 2 ? ? 2 ?

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1,

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4.(2012· 江西)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. ?π ? ?π ? π 已知 A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. 4 ? ? ? ? π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.
3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 即 sin(B-C)=1. 4 2 3π 5π π (2)解 B+C=π-A= 4 ,因此 B= 8 ,C=8. π asin B 5π asin C π 由 a= 2,A=4, 得 b= c= sin A =2sin 8, sin A =2sin 8 , 1 5π π π π 1 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2sin sin = 2cos sin = . 2 8 8 8 8 2

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,角 B 所对的 边 b= 3,且函数 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3在 x=A 处取得最大值. (1)求 f(x)的值域及周期; (2)求△ABC 的面积.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5



(1)因为 A,B,C 成等差数列,

所以 2B=A+C,又 A+B+C=π, π 2π 所以 B= ,即 A+C= . 3 3 因为 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3
= 3(2sin x-1)+sin 2x=sin 2x- 3cos
2

? π? 2x=2sin?2x-3?, ? ?

2π 所以 T= =π. 2
又因为
? π? sin?2x-3?∈[ -1,1] ,所以 ? ?

f(x)的值域为[ -2,2] .

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5
? π? sin?2A-3 ?=1. ? ?

(2)因为 f(x)在 x=A 处取得最大值,所以

2 π π 因为 0<A< π,所以- <2A- <π, 3 3 3 π π 5 π 故当 2A- = 时,f(x)取到最大值, 所以 A= π,所以 C= . 3 2 12 4 3 c 由正弦定理,知 = ?c= 2. π π sin sin 3 4 又因为 sin
?π π ? A=sin?4+6?= ? ?

2+ 6 , 4

3+ 3 1 所以 S△ABC=2bcsin A= 4 .



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