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高中数学必修4.2.5.1



第二章 平面向量
§2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法

本节知识目录

2.5.1

平 面 几 何 中 的 向 量 方 法

明目标、知重点

填要点、记疑点

探究点一

直线的方向向量与两直线的夹角



探要点、究所然

探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系

当堂测、查疑缺

探究点三 平面向量在几何中的应用

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2.5.1

1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程. 2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具. 3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.

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2.5.1

1.向量方法在几何中的应用 (1) 证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行 ( 共线 ) 的等价条件: a∥b(b≠0)? a=λb ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

(2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:
b=0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 非零向量 a,b,a⊥b? a·
a ?b (3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式 cos θ= | a || b | =

x1x2+y1y2 2 2 2 x1 +y2 x + y 1 2 2 .

(4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式: |a|=
x2 ? y2 .
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2.5.1

2.直线的方向向量和法向量 (1)直线 y=kx+b 的方向向量为 (1,k) ,法向量为 (k,-1) . (2)直线 Ax+By+C=0 的方向向量为 (B,-A) ,法向量为 (A,B) .

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2.5.1

[情境导学] 向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景, 当向量和平面坐标系结 合后, 向量的运算就完全可以转化为代数运算. 这就为我们解决物理问题和几 何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法. .

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2.5.1

探究点一 :直线的方向向量与两直线的夹角
思考 1 直线 y=kx+b 的方向向量是如何定义的?如何求?



如果向量 v 与直线 l 共线,则称向量 v 为直线 l 的方向向量.

对于任意一条直线 l:y=kx+b,在它上面任取两点 A(x0,y0),B(x,y),则向 → → 量AB=(x-x0,y-y0)与直线 l 共线,即AB为直线 l 的方向向量.
y-y0 1 1 由于(x-x0,y-y0)= (1, )= (1,k),所以向量(x-x0,y-y0)与 x-x0 x-x0 x-x0 向量(1,k)共线,从而向量(1,k)是直线 y=kx+b 的一个方向向量.

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探究点一 :直线的方向向量与两直线的夹角
思考 2 直线 Ax+By+C=0 的方向向量如何求? A 答 当 B≠0 时,k=- ,所以向量(B,-A)与(1,k)共线,所以向量 B
(B,-A)是直线 Ax+By+C=0 的一个方向向量; C 当 B=0 时,A≠0,直线 x=- 的一个方向向量为(0,-A),即(B,-A). A
综上所述,直线 Ax+By+C=0 的一个方向向量为 v=(B,-A).

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探究点一 :直线的方向向量与两直线的夹角
例 1 已知△ABC 的三个顶点 A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点 D、E、F 分别为 边 BC、CA、AB 的中点. (1)求直线 DE、EF、FD 的方程; (2)求 AB 边上的高线 CH 所在直线方程.

解 (1)由已知得点 D(-1,1),E(-3,-1),F(2,-2),设 M(x,y)是直线 → → DE 上任意一点,则DM∥DE.
→ → DM=(x+1,y-1),DE=(-2,-2).
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探究点一 :直线的方向向量与两直线的夹角
∴(-2)×(x+1)-(-2) ×(y-1)=0, 即 x-y+2=0 为直线 DE 的方程.

同理可求,直线 EF,FD 的方程分别为 x+5y+8=0,x+y=0. → → (2)设点 N(x,y)是 CH 所在直线上任意一点,则CN⊥AB. → → ∴CN· AB=0. → → 又CN=(x+6,y-2),AB=(4,4).
∴4(x+6)+4(y-2)=0, 即 x+y+4=0 为所求直线 CH 的方程.
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探究点一 :直线的方向向量与两直线的夹角
反思与感悟 (1)利用向量法来解决解析几何问题,首先要将线段看成向量,

再把坐标利用向量法则进行运算. (2)直线 Ax+By+C=0 的方向向量为 v=(B,-A),法向量 n=(A,B).这两 个概念在求直线方程、 判断两条直线位置关系、 求两条直线的夹角时非常有用.

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探究点一 :直线的方向向量与两直线的夹角
跟踪训练 1 在△ABC 中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠A 的平分线的方程.
→ → 解 AB=(3,4),AC=(-8,6),

∠A 的平分线的一个方向向量为: → → ? ? ? ? ? AB AC ? ?3 4? ? 4 3? ? 1 7? + =? , ?+?- , ?=?- , ?. → → ?5 5? ? 5 5? ? 5 5? |AB| |AC|

∵∠A 的平分线过点 A. 7 1 ∴所求直线方程为- (x-4)- (y-1)=0. 5 5 整理得:7x+y-29=0.
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探究点二 :直线的法向量与两直线的位置关系
思考 1 如何定义直线 Ax+By+C=0 的法向量?

答 如果向量 n 与直线 l 垂直,则称向量 n 为直线 l 的法向量.
因此若直线的方向向量为 v,则 n· v=0. 从而对于直线 Ax+By+C=0 而言,其方向向量为 v=(B,-A), 则由于 n· v=0,于是可取 n=(A,B),
这是因为(B,-A)· (A,B)=AB-AB=0.直线的法向量也有无数个.

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探究点二 :直线的法向量与两直线的位置关系
思考 2 如何利用直线的法向量判断两直线的位置关系?

答 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它们的法向量分 别为 n1=(A1,B1),n2=(A2,B2).

当 n1∥n2 时,l1∥l2 或 l1 与 l2 重合.即 A1B2-A2B1=0?l1∥l2 或 l1 与 l2 重合;

当 n1⊥n2 时,l1⊥l2.即 A1A2+B1B2=0?l1⊥l2.

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探究点三 :平面向量在几何中的应用
用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等 问题时有独到之处,且解法思路清晰、简洁直观.其基本方法是: → → (1)要证明线段 AB=CD,可转化为证明|AB|=|CD|. → → (2)要证明 AB∥CD,只需证明存在一个不为零实数 λ,使得AB=λCD,且 A、 B、C、D 不共线即可.

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探究点三 :平面向量在几何中的应用
→ → → → (3)要证明 A、B、C 三点共线,只需证明AB∥AC或AB∥BC. → → → → (4)要证明 AB⊥CD,只需证明AB· CD=0,或若AB=(x1,y1),CD=(x2,y2), 则用坐标证明 x1x2+y1y2=0 即可. a· b (5)常用|a|= a· a和 cos θ= 处理有关长度与角度的问题. |a||b|

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探究点三 :平面向量在几何中的应用
思考 1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的?
答 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将

平面几何问题转化为向量问题;

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,距离,夹角等问题;

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

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探究点三 :平面向量在几何中的应用
→ → 思考 2 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如右图, AC=AB+ → → → → AD,DB=AB-AD,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度 之间的关系吗?

答 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.

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探究点三 :平面向量在几何中的应用
思考 3 请用向量法给出上述结论的证明.
→ → → → → → 答 证明:在平行四边形 ABCD 中,AC=AB+AD,BD=AD-AB, →2 → → 2 →2 →2 → → ∴AC =(AB+AD) =AB +AD +2AB· AD; →2 → → 2 → 2 →2 → → BD =(AD-AB) =AD +AB -2AB· AD.

→ → → → ∴AC2+BD2=2AB2+2AD2. →2 →2 →2 → 2 即|AC| + |BD| =2(|AB| + |AD| ).

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探究点三 :平面向量在几何中的应用
例 2 平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AD、DC 边的中点,BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点,你能发现 AR、RT、TC 之间的关系吗?

→ → 解 选{AB,AD}为基底. → → → → 设AR=mAC,AT=nAC. → → → → → → → → 则BR=AR-AB=mAC-AB=m(AB+AD)-AB → → =(m-1)AB+mAD,
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探究点三 :平面向量在几何中的应用
→ → → → 1→ BE=AE-AB=-AB+ AD. 2
1 → → ∵BR与BE共线,∴(m-1)× -(-1)×m=0, 2 1 2 ∴m= .同理解得 n= .∴AR=RT=TC. 3 3

反思与感悟 解答过程易出现无从下手的情况,导致此种情况的原因是不能 灵活选定基底,无法集中条件建立几何元素与向量之间的联系.

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探究点三 :平面向量在几何中的应用
跟踪训练 2 → → → 如图,已知 PQ 过△OAB 的重心 G,设OA=a,OB=b.若OP=

1 1 → ma,OQ=nb,求证: + =3. m n

证明 选{a,b}为基底.延长 OG 交 AB 于 M 点,

∵G 为△OAB 的重心, ∴M 为 AB 的中点,
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探究点三 :平面向量在几何中的应用
→ → → 2→ → 2 1 → → ∴PG=OG-OP= OM-OP= × (OA+OB)-ma 3 3 2 ?1 ? 1 1 ? ? = (a+b)-ma=?3-m?a+ b. 3 3 ? ?
?1 ? → 1 ? 同理QG= a+?3-n? ?b. 3 ? ?
?1 ? ?1 ? 1 1 → → ? ? ? ∵PG与QG共线,∴? -m?×? -n? - × =0. ? ?3 ? ?3 ? 3 3

1 1 化简得 m+n=3mn,∴ + =3. m n
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1.已知 A(1,2),B(-2,1),以 AB 为直径的圆的方程是______________.

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2 2 x ? y ? x ? 3y ? 0 . 1.已知 A(1,2),B(-2,1),以 AB 为直径的圆的方程是_________________

解析 设 P(x,y)为圆上任一点,则 → → AP=(x-1,y-2),BP=(x+2,y-1),

→ → 由AP· BP=(x-1)(x+2)+(y-2)(y-1)=0,
化简得 x2+y2+x-3y=0.

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2. 如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、 → → → → AC 于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为________.

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2. 如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、 → → → → 2 AC 于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为________ .

→ 1 → → 解析 ∵O 是 BC 的中点,∴AO= (AB+AC). 2 → → → → → m → n→ 又∵AB=mAM,AC=nAN,∴AO= AM+ AN. 2 2 m n ∵M,O,N 三点共线,∴ + =1.则 m+n=2. 2 2
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3.正方形 OABC 的边长为 1,点 D、E 分别为 AB、BC 的中点,试求 cos∠DOE 的值.

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3.正方形 OABC 的边长为 1,点 D、E 分别为 AB、BC 的中点,试求 cos∠DOE 的值.

解 以 OA,OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系,如图所示, ? 1? → ? → ? ? ? ?1 由题意知:OD=?1, ?,OE=? ,1? ?, 2? ? ?2 ?
1 1 → → 1× + ×1 OD· OE 2 2 4 故 cos∠DOE= = = . 5 → → 5 5 |OD|· |OE| × 2 2 4 即 cos∠DOE 的值为 . 5
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4. 已知直线 l1:3x+y-2=0 与直线 l2:mx-y+1=0 的夹角为 45° ,求实数 m 的值.

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4. 已知直线 l1:3x+y-2=0 与直线 l2:mx-y+1=0 的夹角为 45° ,求实数 m 的值.
解 设直线 l1,l2 的法向量为 n1,n2,则 n1=(3,1),n2=(m,-1).

由题意: |3m-1| |n1· n2| 2 cos 45° = = = . 2 |n1|· |n2| 2 10· 1+m

整理得:2m2-3m-2=0, 1 解得:m=2 或 m=- . 2
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2.5.1 呈重点、现规律
1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用 向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基 向量表示涉及的向量,一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的 坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明. → 2 2 2.在直线 l:Ax+By+C=0(A +B ≠0)上任取两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2),则P1P2 (λ∈R 且 λ≠0)也是直线 l 的方向向量.所以,一条直线的方向向量有无数多 个,它们都共线.同理,与直线 l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的向量都 叫直线 l 的法向量.一条直线的法向量也有无数多个.熟知以下结论,在解题 时可以直接应用①y=kx+b 的方向向量为 v=(1,k),法向量为 n=(k,-1). ②Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的方向向量为 v=(B,-A),法向量为 n=(A, B).
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2.5.1

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