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2016年湖南省四大名校高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(解析版)



2016 年湖南省四大名校高考数学模拟试卷(文科) (3 月份)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.复数 i(3﹣i)的共轭复数是( ) A.1+3i B.1﹣3i C.﹣1+3i D.﹣1﹣3i x 2.设 U=R,A={x|2 >1},B={x|log2x>0},则 A∩?U

B=( ) A.{x|x<0} B.{x|x>1} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x<1} 3.计算 sin47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于( ) A. B. C. D. , C.1
2

4.已知向量 A.﹣1 B.0

,若

,则 m=(



D.2 )

5.已知抛物线 y=ax (a>0)的焦点到准线距离为 1,则 a=( A.4 B.2 C. D.

6.下列命题是假命题的是( ) A.? φ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 B.? α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+cosβ C.向量 =(﹣2,1) , =(﹣3,0) ,则 在 方向上的投影为 2 D.“|x|≤1”是“x<1”的既不充分也不必要条件 7.已知双曲线 是( A. ) B. C. D. (a>0,b>0)的离心率是 ,则该双曲线两渐近线夹角

8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+b2﹣c2)tanC=ab,则角 C 的 值为( ) A. 或 B. 或 C. D.

9.设变量 x、y 满足约束条件

,则 z=32x﹣y 的最大值为(



A.

B.

C.3

D.9

10.如图所示程序框图中,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最小的数,那 么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )

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A.c<x B.x<c C.c<b D.b<c 11.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 图所示,侧视图是一个矩形,则侧视图的面积是( ) ,它的三视图中的俯视图如

A.8 B. C.4 D. 12.对于函数 f(x) ,若? a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)为某三角形的三边长,则称 f (x)为“可构造三角形函数”,已知 范围是( ) C.[﹣2,﹣1] D. 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取值

A.[﹣1,0] B. (﹣∞,0]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.设函数 ,若 f(x)为奇函数,则 的值为______.

14. 0) 已知点 A (1, , 过点 A 可作圆 x2+y2+mx+1=0 的两条切线, 则 m 的取值范围是______. 15.已知 ,则 =______.

16.已知函数 f(x)=|x2﹣2ax+b|(x∈R) ,给出下列命题: ①? a∈R,使 f(x)为偶函数; ②若 f(0)=f(2) ,则 f(x)的图象关于 x=1 对称; 2 ③若 a ﹣b≤0,则 f(x)在区间[a,+∞)上是增函数;
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④若 a2﹣b﹣2>0,则函数 h(x)=f(x)﹣2 有 2 个零点. 其中正确命题的序号为______. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=k(2n﹣1) ,且 a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 18.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 是弧 上一点,VC 垂直⊙O 所在平面,D,E 分别为 VA,VC 的中点. (1)求证:DE⊥平面 VBC; (2)若 VC=CA=6,⊙O 的半径为 5,求点 E 到平面 BCD 的距离.

19.2015 年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研,从该校文科生中随机抽 90) 100) 110) 取 40 名学生的数学成绩进行统计, 将他们的成绩分成六段[80, , [90, , [100, , [120,130) ,[130,140)后得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这 40 个学生数学成绩的众数和中位数的估计值; (2)若从数学成绩[80,100)内的学生中任意抽取 2 人,求成绩在[80,90)中至少有一人 的概率.

20.在平角坐标系 xOy 中,椭圆

的离心率

,且过点

,椭圆 C 的长轴的两端点为 A,B,点 P 为椭圆上异于 A,B 的动点,定直线 x=4 与直线 PA、PB 分别交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在 x 轴上是否存在定点经过以 MN 为直径的圆,若存在,求定点坐标;若不存在,说 明理由.

第 3 页(共 19 页)

21.已知函数 f(x)=x2﹣(﹣1)k2alnx(k∈N,a∈R 且 a>0) . (1)求 f(x)的极值; (2)若 k=2016,关于 x 的方程 f(x)=2ax 有唯一解,求 a 的值. 请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.选修 4-1 几何 证明选讲 22.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D,交△ABC 的外接圆于 E. (1)求证: ;

(2)若 AB=3,AC=2,BD=1,求 AD 的长.

选修 4-4 坐标系与参数方程

23.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=2cosθ,曲线 C2 的参数方程为 (1)判断 C1 与 C2 的位置关系; (2)设 M 为 C1 上的动点,N 为 C2 上的动点,求|MN|的最小值. 选修 4-5 不等式选讲 24.已知 a,b∈R,f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣1|. (1)若 f(x)>0,求实数 x 的取值范围; (2)对? b∈R,若|a+b|+|a﹣b|≥f(x)恒成立,求 a 的取值范围.

为参数) .

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2016 年湖南省四大名校高考数学模拟试卷(文科) (3 月 份)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.复数 i(3﹣i)的共轭复数是( ) A.1+3i B.1﹣3i C.﹣1+3i D.﹣1﹣3i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简,则答案可求. 【解答】解:∵i(3﹣i)=3i﹣i2=1+3i, ∴复数 i(3﹣i)的共轭复数是 1﹣3i. 故选:B. 2.设 U=R,A={x|2x>1},B={x|log2x>0},则 A∩?UB=( ) A.{x|x<0} B.{x|x>1} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x<1} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】利用对数函数的性质,求出集合 B 中不等式的解集,确定出集合 B,利用指数函 数的性质确定出集合 B,由全集 U=R,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的公共部分,即可 确定出所求的集合 【解答】解:易知 A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩CUB={x|0<x≤1}, 故选 C. 3.计算 sin47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于( A. B. C. D. )

【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】有条阿金利用诱导公式、两角和差的正弦公式,求得要求式子的值. 【解答】解:∵

, 故选:D.

4.已知向量



,若

,则 m=(



A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积的运算即可求出. 【解答】解:由已知得
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又 ∴ ∴m=1, 故选:C.

, ,

5.已知抛物线 y=ax2(a>0)的焦点到准线距离为 1,则 a=( A.4 B.2 C. D.



【考点】抛物线的简单性质. 【分析】抛物线 y=ax2(a>0)化为 ,可得 .再利用抛物线 y=ax2(a>

0)的焦点到准线的距离为 1,即可得出结论. 【解答】解:抛物线方程化为 ∴ , , ,

∴焦点到准线距离为 ∴ ,

故选 D. 6.下列命题是假命题的是( ) A.? φ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 B.? α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+cosβ C.向量 =(﹣2,1) , =(﹣3,0) ,则 在 方向上的投影为 2 D.“|x|≤1”是“x<1”的既不充分也不必要条件 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A,B 寻找特殊值进行判断即可; C,D 根据投影和充要条件的概念判断即可. 【解答】解:A 当 φ= B 当 α=﹣ ,β= 时,函数 f(x)=sin(2x+ )=cos2x 是偶函数,故错误;

时,能使 cos(α+β)=cosα+cosβ,故正确;

C 则 在 方向上的投影为

=2,故正确;

D“|x|≤1,则﹣1≤x≤1,故是“x<1”的既不充分也不必要条件,故正确; 故选 A.

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7.已知双曲线 是( A. ) B. C.

(a>0,b>0)的离心率是

,则该双曲线两渐近线夹角

D.

【考点】两直线的夹角与到角问题;双曲线的简单性质. 【分析】由离心率可得 c= 而求得两渐近线夹角. 【解答】解:∵ ,∴c= a,故在一、三象限内的渐近线的斜率为 a,故可求得 = ,故一条渐近线的倾斜角等于 30°,从

=

=



故此渐近线的倾斜角等于 30°, 故该双曲线两渐近线夹角是 2×30°=60°,即 故选 C. 8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+b2﹣c2)tanC=ab,则角 C 的 值为( ) A. 或 B. 或 C. D. ,

【考点】余弦定理. 【分析】已知等式整理后,利用余弦定理,以及同角三角函数间基本关系化简,求出 sinC 的值,即可确定出 C 的度数. 【解答】解:在△ABC 中,由已知等式整理得: = ,即 cosC= ,

∵cosC≠0,∴sinC= , ∵C 为△ABC 内角, ∴C= 或 ,

故选:A.

9.设变量 x、y 满足约束条件

,则 z=32x﹣y 的最大值为(



A.

B.

C.3

D.9

【考点】简单线性规划.
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【分析】 首先由约束条件画出可行域, 令 2x﹣y=t, 利用 t 的几何意义求出最值, 然后求 z 的 最值. 【解答】解:约束条件对应的平面区域如图: 令 2x﹣y=t, 变形得 y=2x﹣t, 根据 t 的几何意义, 由约束条件知 t 过 A 时在 y 轴的截距最大, 使 t 最小, 由 得到交点 A ( , ) 所以 t 最小为 ; 过 C 时直线 y=2x

﹣t 在 y 轴截距最小,t 最大,由 所以 故选 D. ,故 ;

解得 C(1,0) ,所以 t 的最大值为 2×1﹣0=2,

10.如图所示程序框图中,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最小的数,那 么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )

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A.c<x B.x<c C.c<b D.b<c 【考点】程序框图. 【分析】由于该程序的作用输出 a、b、c 中的最小数,因此在程序中要比较数与数的大小, 第一个判断框是判断 x 与 b 的大小,故第二个判断框一定是判断最小值 x 与 c 的大小. 【解答】解:则流程图可知 a、b、c 中的最大数用变量 x 表示并输出, 第一个判断框是判断 x 与 b 的大小, ∴第二个判断框一定是判断最大值 x 与 c 的大小,并将最大数赋给变量 x, 故第二个判断框应填入:x>c, 故选:A.

11.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 图所示,侧视图是一个矩形,则侧视图的面积是( )

,它的三视图中的俯视图如

A.8

B.

C.4

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】设出对面边长,表示出几何体的体积,求出边长,然后求解侧视图的面积. 【解答】解:设底面边长为 x,则 ∴侧视图是长为 4,宽为 , 故选:B. 的矩形, ,∴x=4.

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12.对于函数 f(x) ,若? a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)为某三角形的三边长,则称 f (x)为“可构造三角形函数”,已知 范围是( ) C.[﹣2,﹣1] D. 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取值

A.[﹣1,0] B. (﹣∞,0]

【考点】函数与方程的综合运用. 【分析】化简 f(x) ,讨论 t 的取值,判断 f(a) 、f(b) 、f(c)能否构成一个三角形的三边 t 长,从而求出 的取值范围. 【解答】解: = =1﹣ ,

①当 t+1=0 即 t=﹣1 时,f(x)=1, 此时 f(a) ,f(b) ,f(c)都为 1,能构成一个正三角形的三边长,满足题意; ②当 t+1>0 即 t>﹣1 时,f(x)在 R 上单调递增, ﹣t<f(x)<1,∴﹣t<f(a) ,f(b) ,f(c)<1, 由 f(a)+f(b)>f(c)得﹣2t≥1, 解得﹣1<t≤﹣ ; ③当 t+1<0 即 t<﹣1 时,f(x)在 R 上单调递减, 又 1<f(x)<﹣t,由 f(a)+f(b)>f(c)得 2≥﹣t, 即 t≥﹣2,所以﹣2≤t<﹣1; 综上,t 的取值范围是 故选:D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.设函数 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】由题意可得 g(﹣ )=f(﹣ )=﹣f( )=﹣ 求得结果. 【解答】解:g(﹣ )=f(﹣ )=﹣f( )=﹣ 故答案为:2. 14.已知点 A(1,0) ,过点 A 可作圆 x2+y2+mx+1=0 的两条切线,则 m 的取值范围是 (2, +∞) . 【考点】圆的切线方程. =log24=2, ,再利用对数的运算性质, ,若 f(x)为奇函数,则 的值为 2 . .

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【分析】过点 A 可作圆 x2+y2+mx+1=0 的两条切线,即为 A 在圆外,把已知圆的方程化为标 准方程后,找出圆心坐标和半径 r,列出关于 m 的不等式,同时考虑 式求出公共解集即可得到 m 的取值范围. 【解答】解:把圆的方程化为标准方程得: (x+ )2+y2= ﹣1,所以圆心坐标为(﹣ , ﹣1 大于 0,两不等

0) ,半径 r=



由题意可知 A 在圆外时,过点 A 可作圆 x2+y2+mx+1=0 的两条切线, 所以 d>r 即 1+m+1>0,且 ﹣1>0,解得:m>2,

则 m 的取值范围是(2,+∞) . 故答案为: (2,+∞) .

15.已知

,则

=



【考点】二倍角的正弦. 【分析】由已知式子和二倍角公式可得 sinα,进而可得 cosα,再由切化弦和二倍角公式代 值计算可得. 【解答】解:∵5sin2α=6cosα,∴10sinαcosα=6cosα, ∵α∈(0, ) ,∴cosα≠0,∴ ,

∴由同角三角函数基本关系可得 cosα= ,





故答案为: . 16.已知函数 f(x)=|x2﹣2ax+b|(x∈R) ,给出下列命题: ①? a∈R,使 f(x)为偶函数; ②若 f(0)=f(2) ,则 f(x)的图象关于 x=1 对称; 2 ③若 a ﹣b≤0,则 f(x)在区间[a,+∞)上是增函数; ④若 a2﹣b﹣2>0,则函数 h(x)=f(x)﹣2 有 2 个零点. 其中正确命题的序号为 ①③ . 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①当 a=0 时,f(x)=|x2+b|显然是偶函数,故①正确; ②由 f(0)=f(2) ,则|b|=|4﹣4a+b|,取 a=0,b=﹣2,此式成立,此时函数化为 f(x) 2 =|x ﹣2|,其图象不关于 x=1 对称,故②错误; ③f(x)=|(x﹣a)2+b﹣a2|=(x﹣a)2+b﹣a2 在区间[a,+∞)上是增函数,故③正确; ④画出图象可知,h(x)=|(x﹣a)2+b﹣a2|﹣2 有 4 个零点,故④错误.
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【解答】解:①当 a=0 时,f(x)=|x2+b|显然是偶函数,故①正确; ②取 a=0,b=﹣2,函数 f(x)=|x2﹣2ax+b|化为 f(x)=|x2﹣2|,满足 f(0)=f(2) , 但 f(x)的图象不关于 x=1 对称,故②错误; ③若 a2﹣b≤0,则 f(x)=|(x﹣a)2+b﹣a2|=(x﹣a)2+b﹣a2 在区间[a,+∞)上是增函 数,故③正确; ④h(x)=|(x﹣a)2+b﹣a2|﹣2 有 4 个零点,故④错误.

∴正确命题为①③. 故答案为:①③. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=k(2n﹣1) ,且 a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和. 【分析】 (1)利用数列的前 n 项和与通项的关系,求出通项公式,验证首项是否满足所求的 通项公式. (2)写出通项公式利用错位相减法求解前 n 项和即可. 【解答】解: (1)当 n≥2 时, , ∴ . , … ,则 ② , ,

当 n=1 时, 综上所述, (2)由(1)知, ① ①﹣②得:




第 12 页(共 19 页)



18.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 是弧 上一点,VC 垂直⊙O 所在平面,D,E 分别为 VA,VC 的中点. (1)求证:DE⊥平面 VBC; (2)若 VC=CA=6,⊙O 的半径为 5,求点 E 到平面 BCD 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)利用圆的性质可证明:AC⊥CB.利用线面垂直的性质定理可得:VC⊥AC, 于是 AC⊥平面 VCB.利用三角形中位线定理可得 DE∥AC,即可证明 DE⊥平面 VCB. (2)设点 E 到平面 BCD 的距离为 d,利用 VE﹣BCD=VB﹣CDE 解出即可得出. 【解答】 (1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,C 是弧 AB 上一点,∴AC⊥CB. 又∵VC 垂直⊙O 所在平面,∴VC⊥AC,∴AC⊥平面 VCB. 又∵D,E 分别为 VA,VC 的中点,∴DE∥AC, ∴DE⊥平面 VCB. (2)解:设点 E 到平面 BCD 的距离为 d, 由 VE﹣BCD=VB﹣CDE 得 ,





即点 E 到平面 BCD 的距离为



19.2015 年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研,从该校文科生中随机抽 90) 100) 110) 取 40 名学生的数学成绩进行统计, 将他们的成绩分成六段[80, , [90, , [100, , [120,130) ,[130,140)后得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这 40 个学生数学成绩的众数和中位数的估计值; (2)若从数学成绩[80,100)内的学生中任意抽取 2 人,求成绩在[80,90)中至少有一人 的概率.

第 13 页(共 19 页)

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】 (1)众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点,由此能求出众数的估计值, 设中位数的估计值为 x,由频率分布直方图得 10×0.005+0.010×10+0.020×10+(x﹣110) ×0.030=0.5,由此能求出中位数的估计值. (2)从图中知,成绩在[80,90)的人数为 2 人,成绩在[90,100)的人数为 4 人,由此利 用列举法能求出从数学成绩[80,100)内的学生中任意抽取 2 人,成绩在[80,90)中至少 有一人的概率. 【解答】解: (1)众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点, 即众数的估计值为 115.… 设中位数的估计值为 x, 则 10×0.005+0.010×10+0.020×10+(x﹣110)×0.030=0.5,解得 x=115. ∴中位数的估计值为 115… (2)从图中知,成绩在[80,90)的人数为 m1=0.005×10×40=2(人) , 成绩在[90,100)的人数为 m2=0.010×10×40=4(人) , 设成绩在[80,90)的学生记为 a,b,成绩在[90,100)的学生记为 c,d,e,f. 则从成绩在[80,100)内的学生中任取 2 人组成的基本事件有: (a,b) (a,c) (a,d) (a,e) (a,f) (b,c) (b,d) (b,e) (b,f) (c,d) (c,e) (c,f) (d,e) (d,f) (e,f)共 15 种. 其中成绩在[80,90)的学生至少有一人的基本事件有: (a,b) (a,c) (a,d) (a,e) (a,f) (b,c) (b,d) (b,e) (b,f)共 9 种. 所以成绩在[80,90)的学生至少有一人的概率为 …

20.在平角坐标系 xOy 中,椭圆

的离心率

,且过点

,椭圆 C 的长轴的两端点为 A,B,点 P 为椭圆上异于 A,B 的动点,定直线 x=4 与直线 PA、PB 分别交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在 x 轴上是否存在定点经过以 MN 为直径的圆,若存在,求定点坐标;若不存在,说 明理由.

第 14 页(共 19 页)

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【分析】 (1)利用椭圆经过的点,求出 b,利用椭圆的离心率求解,a,b,得到椭圆方程. (2)设 PA、PB 的斜率分别为 k1,k2,P(x0,y0) ,求出斜率的表达式,利用斜率乘积推 出定值.得到 MN 的中点 G(4,3k1+k2) .写出以 MN 为直径的圆的方程,通过令 y=0,求 解存在定点(1,0) , (7,0)经过以 MN 为直径的圆.

【解答】解: (1)



∴椭圆 C 的方程为



(2)设 PA、PB 的斜率分别为 k1,k2,P(x0,y0) , 取 , ,…

由 lPA:y=k1(x+2)知 M(4,6k1) ,由 lPB:y=k2(x﹣2)知 N(4,2k2) , ∴MN 的中点 G(4,3k1+k2) . MN ∴以 为直径的圆的方程为 , 令 y=0,∴ ∴x2﹣8x+16+12k1k2=0,∴ 即 x2﹣8x+7=0,解得 x=7 或 x=1. ∴存在定点(1,0) , (7,0)经过以 MN 为直径的圆. 21.已知函数 f(x)=x2﹣(﹣1)k2alnx(k∈N,a∈R 且 a>0) . (1)求 f(x)的极值; (2)若 k=2016,关于 x 的方程 f(x)=2ax 有唯一解,求 a 的值. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过 k 为偶数与奇数,求解函数的极值即可. (2)k=2016,化简关于 x 的方程 f(x)=2ax,构造函数 g(x)=x2﹣2alnx﹣2ax,求出函数 的导数,求出极值点,判断函数的单调性,利用函数的零点个数,求解即可. 【解答】解: (1)函数 f(x)=x2﹣(﹣1)k2alnx(k∈N,a∈R 且 a>0) . 可得 当 k 为奇数时, , ,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值. , ,

当 k 为偶数时,



第 15 页(共 19 页)

∴f(x)在 ∴f(x)有极小值,

上单调递减,

上单调递增, …

(2)∵k=2016,则 f(x)=x2﹣2alnx, 令 g(x)=x2﹣2alnx﹣2ax,

令 g′(x)=0,∴x2﹣ax﹣a=0,∵a>0,x>0,∴



当 x∈(0,x0)时,g′(x)<0,∴g(x)在(0,x0)上单调递减. 当 x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0,∴g(x)在(x0,+∞)上单调递增… 又 g(x)=0 有唯一解,∴ ,即 …

②﹣①得:2alnx0+ax0﹣a=0? 2lnx0+x0﹣1=0? x0=1. ∴12﹣a﹣a=0. ∴ …

请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.选修 4-1 几何 证明选讲 22.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D,交△ABC 的外接圆于 E. (1)求证: ;

(2)若 AB=3,AC=2,BD=1,求 AD 的长.

【考点】平行截割定理;与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)过 D 作 DM∥AB 交 AC 于 M,连接 BE,利用平行线的性质,结合三角形的 角平分线性质,即可得证; (2)先求出 DC,再利用三角形相似得出 AD?(AD+DE)=AB?AC,即可求 AD 的长. 【解答】 (1)证明:如图,过 D 作 DM∥AB 交 AC 于 M,连接 BE. ∴ 又∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, 又 DM∥AB,∴∠BAD=∠ADM,∴∠CAD=∠ADM. ∴AM=MD. ∴ ,
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由①②知



(2)解:∵AD?DE=BD?DC, 又 ∵△ADC∽△ABE. ∴ ,∴AD?AE=AB?AC, ,

∴AD?(AD+DE)=AB?AC, ∴ ∴ … ,

选修 4-4 坐标系与参数方程

23.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=2cosθ,曲线 C2 的参数方程为

为参数) .

(1)判断 C1 与 C2 的位置关系; (2)设 M 为 C1 上的动点,N 为 C2 上的动点,求|MN|的最小值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)由 ,利用互化公式可得直角坐标方程.由曲线 C2 的参

数方程为

为参数) ,消去参数化为直角坐标方程.利用点到直线的距离公式

可得:圆心 C1(1,0)到 3x+4y+8=0 的距离 d,即可判断出位置关系. (2)利用 d﹣r 即可得出. 【解答】解: (1)由 ﹣1)2+y2=1. ,可得直角坐标方程:x2+y2﹣2x=0,配方为(x

由曲线 C2 的参数方程为 ∴C2 的普通方程为 3x+4y+8=0.

为参数) ,消去参数化为:3x=﹣4y﹣8,

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圆心 C1(1,0)到 3x+4y+8=0 的距离 ∴C1 与 C2 相离. (2) .



选修 4-5 不等式选讲 24.已知 a,b∈R,f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣1|. (1)若 f(x)>0,求实数 x 的取值范围; (2)对? b∈R,若|a+b|+|a﹣b|≥f(x)恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)利用绝对值不等式的解法,化简为二次不等式求解即可. (2)求出不等式的左侧的最小值与右侧的最大值,转化为绝对值不等式求解即可. 【解答】解: (1)由 f(x)>0 得|x﹣2|>|x﹣1|, 两边平方得 x2﹣4x+4>x2﹣2x+1, 解得 ,即实数 x 的取值范围是 …

(2)|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|,

∵f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣1|=

,f(x)max=1,

∴ 所以 a 的取值范围为

. …

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2016 年 9 月 14 日

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