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第3讲一元二次方程及解法培优竞赛专题



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一元二次方程及解法专题 知识清单:
1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 的 叫一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式是 。 3. 使一元二次方程左右两边成立的未知数的 叫做一元二次方程的解, 也叫一元二 次方程的根。 4. 解一元二次方程的方法有 。 5. 一元二次方程 (a≠0﹚的求根公式是 。 6.常用的两个结论是:

>①a+b+c=0,则方程 ax2+bx+c=0﹙a≠0﹚必有一根为 1; ②a-b+c=0,则方程 ax2+bx+c=0﹙a≠0﹚必有一根为-1。

典例视窗: 例 1(2010 广东珠海﹚已知 x1=-1 是方程 x2+mx-5=0 的一根,求 m 的值及方程的另一根 x2.

变式训练: 1.(2010.安徽)若 n﹙n≠0﹚是关于 x 的方程 x2+mx+2n=0 的根,则 m+n 的值 2.设 a 是方程 x2-2005x+1=0 的一个根,则 a2-2004a+ A. 2004 B. 2003 例 2 用适当的方法解下列方程: ⑴x2-2x-1 =0 C. 2002 ⑵x2+x-1 =0 D.



2005 =﹙ a2 ?1
2001 ⑶



2x2-7x+6=0

变式训练:解方程 3.

X2-6x-6=0

4. 2006x2+2007x+1=0

例 3 (培优竞赛) 阅读下面的例题:解方程:x2-|x|-2=0

(山东竞赛题) 方程|x|-

4 3/ x / = 实数根的个数是( x x



A.1 B.2 C. 3 D. 4 例 4 (培优·淄博中考题)已知 m、n 是二次方程 x2+1999x+7=0 的两根,求(m2+1999m+6)(n2 +1999n+8) 的值

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A 级
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1.(2010.台湾省)若 a 为方程﹙X- 17 ﹚ =100 的一根,b 为方程(y-4) =17 的一根,且 a、b 都是正数,则 a-b 之值为何?﹙ A. 5 B.6 ﹚ C.

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D.10- 17 ﹚

2.﹙2011.烟台) 已知方程 x2+bx+a=0 有一根是-a﹙a≠0﹚,则下列代数式的值恒为常数的是﹙ A . ab B.

a b

C . a+b

D.a-b

3. 配方法解方程 3x2-6x+1=0,则方程可变形为﹙ ﹚ A. ﹙x-3﹚2=

1 3

B .3﹙x-1﹚2=

1 3

C . ﹙3x-1﹚2=1

D.﹙x-1﹚2=

2 3

4.﹙培优·上海中考题﹚方程﹙x2+x-1﹚x+3=1 的所有整数解的个数是﹙ ﹚ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2 5.﹙培优·德州市中考题﹚若关于 x 的一元二次方程﹙m-1﹚x +5x+m2-3m+2=0 的常数项为 0, 则 m 的值为﹙ ﹚ A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 6.﹙培优·上海竞赛题﹚已知 a,b 都是负实数,且 常数项 值﹙ ﹚ A .

1 1 1 b + - =0,那么 的 a b a?b a

1? 5 2

B .

1? 5 2

C .

?1? 5 2

D.

?1? 5 2


7. ﹙培优·天津中考题﹚若分式

x2 ? x ? 2 的值为 0,则 x 的值等于 x 2 ? 2x ? 1
2 2

8. ﹙培优·南京中考题﹚方程 x +1993x-1994=0,和﹙1994x﹚ -1993·1995x-1=0 的较小的根 分别是α ,β ,则α ·β = 。 。

9. ﹙培优·上海竞赛题﹚方程|x2+4x-5|=6-2x 的解是

10.设 A 是方程 x2- 2003 x-520=0 的所有根的绝对值之和,则 A2=________. 11. ﹙培优·眉山中考题﹚方程﹙m+1﹚X
m 2 ?1

+4x+2=0 是关于 x 的一元二次方程,则 m=



12. 关于 x 的方程 (k ?1) x ? 2(k ?1) x ? 2k ? 2 ? 0 ,当 k
2 2

时,是一元二次方 程;当

k

,是一元一次方程。

13. ﹙培优·北京中考题﹚已知α 是方程 x2-1999x+1=0 的一个根,求 α 2-1998α + 值。

1999 的 a2 ?1

3

14.﹙培优·山西中考题﹚b 为何值时,方程 x2-bx-2=0 和 x2-2x-b﹙b-1﹚=0 有相同的根?并求 出它们相同的根。

15.已知 (2x ? 5)5 ? a5 x5 ? a4 x 4 ? a3x3 ? a2x 2 ? a1x ? a0 是关于 x 的恒等式。求: (1) a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 (2) a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 (3) a0 ? a2 ? a4 的值。

B



16.﹙培优·广东竞赛﹚已知 x2+y2-2x+4y+5=0,则 2x+y 的值是﹙ ﹚ A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 2 17.﹙全国初中数学竞赛﹚已知关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0 恰有 一个公共实数根,则

a2 b2 c2 + + 的值﹙ bc ac ab



A. 0 B.1 C.2 D. 3 2 2 18.﹙培优·广东竞赛﹚若关于 x 的方程 x +px+q=0 与 x +qx+p=0 只有一个公共根,则﹙p+q﹚ 1999 = . 19. ﹙培优﹚已知设 a,b 是整数,方程 x2+ax+b=0 有一个根是 7 ? 4 3 ,则 a+b= 20.﹙培优·江苏竞赛﹚已知 .

1 1 -|a |=1,那么代数式 +|a |的值是﹙ a a



A .

5 2

B . -

5 2

C . - 5 ﹚

D.

5

21.﹙五羊杯竞赛题﹚方程 x|x |-3|x |+2=0 的实根的个数为﹙ A. 1个 B.2个 C.3个

D. 4 个

22.﹙第九届“祖冲之杯”邀请赛试题﹚已知 x= 19 ? 8 3 ,求

x 4 ? 6 x 3 ? 2 x 2 ? 18 x ? 23 的值. x 2 ? 8 x ? 15



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