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12.10圆锥曲线的实际应用(1)(2)


第十二章 圆锥曲线 12.9 圆锥曲线综合 直线与圆锥曲线的关系 12.10 圆锥曲线的实际应用 一、复习回顾 1.已知椭圆的焦距为 4, 焦点及两顶点围成的三角 形面积为 2 3 , 则其标准方程是 . 2.焦点在 x 轴上, 顶点在坐标原点, 且焦点到顶点 间的距离 2 的抛物线的标准方程是 y 2 ? ?8x . y ? ? 2 x 3.实轴长为 2, 渐近线方程为 的双曲线的 2 y 标准方程为 x 2 ? ? 1或y 2 ? 4 x 2 ? 1 . x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1或 ? ? 1 7 3 7 3 x 2 ? y ? 1 有相同渐 4.过点 P?2,1? ,且与双曲线 3 近线的双曲线的标准方程是 x ? 3 y ? 1 . 2 2 4 2 二、实际应用 例1.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 在抛物线的焦点,灯口直径为60mm,反光曲面的顶点 到灯口的距离是40mm,求光源到反射镜顶点的距离. y 解: 建立如图坐标系, 设抛物线为y2=2px(p>0), 点A(40,30)在抛物线上, O F ∴900=2p×40, p 25 25 ?p? ,? ? . 2 8 4 25 ∴光源到反射镜顶点的距离为 mm. 8 A x 二、实际应用 例2.河上有一座抛物线拱桥,已知桥下的水面离桥孔 顶部2m时,水面宽为4m. 当水位下降1m时,水面宽 为多少? 解: 建立如图坐标系, 设抛物线为x2=-2py(p>0) y O ∵抛物线过点(2,-2), ∴4=2p×2, p=1, ∴x2=-2y. 当y=-3时,得x2=6. ∴水面宽为2|x|= 2 6. C x B A D 二、实际应用 例3.在相距1400m的A、B两哨所,听到炮弹爆炸声 音的时间相差3s,已知声速340m/s.炮弹爆炸点所在 曲线的方程. 解: 以AB为x轴,AB中垂线为y轴, 建立直角坐标系xoy. 设M(x,y)为曲线上任一点, 则||MA|-|MB||=340×3=1020, ∴M点的轨迹为双曲线, 且2a=1020,a=510, 2c=1400, c=700, ∴b2=c2-a2 =229900, x2 y2 ?曲线方程为 ? ? 1. 260100 229900 二、实际应用 例4.飞船运行轨道是以地球的中心C为一个焦点的椭 圆.近地点A距地面200km,远地点B距地面350km,地 球半径R=6371km,点A、B、C在一条直线上. 求飞船飞行的轨道的方程. 解: 建立如图坐标系, 则 |CA|=a-c=6371+200=6571 |CB|=a+c=6371+350=6721 解得 a=6646,c=75, B O C A x y ∴b2=a2-c2 =44163691, x2 y2 ? 轨道方程为 ? ? 1. 44169316 44163691 二、实际应用 例5.如图是一个双曲线型冷却塔,其轴截面是 双曲线. 该冷却塔的下口半径为24m,最小口半 径为12m,最小口到下口的距离为45m,塔高55m, y 上口的半径长是多少? 解: 建立如图坐标系, 则a=12, x2 y 2 设双曲线为 ? 2 ? 1. 144 b ∵双曲线过点(24,-45), 576 2025 ? ? 2 ? 1, b2 ? 675, 144 b 2 x y2 ? 双曲线为 ? ? 1. 144 675 令y ? 10, 则x ? 14, ∴上口的半径长是14m. 12 55 O x 45 24


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