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专题:函数定义域的求法及常见题型 (定稿)



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专题一:函数定义域的求法及常见题型
一、函数定义域求法 (一)常规函数
函数解析式确定且已知,求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件,列出关于自变量的不等式 或不等式组,解此不等式(或组),

即得函数定义域。

例 1.求函数

的定义域。

解:要使函数有意义,则必须满足

由①解得 由②解得 ③和④求交集得

或 或 且

。 ③ ④ 或 x>5。

故所求函数的定义域为(-∞,-11)U(-11,-3] U(5,+ ∞)。 注意点:分母、偶次方根被开方数,多条件求交集,定义域写法,仅可写成区间或集合形式,不能写成不 等式。

例 2.求函数 解:要使函数有意义,则必须满足

的定义域。

由①解得 由②解得 ④ 由③和④求公共部分,得



故函数的定义域为(-4,-π ] U(0,π ]。 提示点:③和④怎样求公共部分?

(二)抽象函数
1.有关概念 定义域:函数 y=f(x)的自变量 x 的取值范围,可以理解为函数 y=f(x)图象向 x 轴投影的区间;凡是函数 的定义域,永远是指自变量 x 的取值范围; 对应法则:通过“工厂” 或“模具”观点进行类比,以此深入理解函数

y ? f ? x?

的对应法则“f”。 把

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函数

y ? f ? x?

的对应法则“f”看作“工厂” 或“模具”,把自变量“x”的取值看作“原料”,把相应

函数值“y”看作“成品”。该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”,而不管“原料”是否为 “初级产品”,从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时,找不到或不好找函数的对 应法则。 如(1)已知函数 f(x)的定义域是[0,4],求函数 f(2x+1)的定义域;(2)已知函数 f(2x+1)的定义域是 [0,4],求函数 f(x)的定义域。 可以把 f(x)看成工厂的生产加工,f 是加工工序,x 是原料。 (1)中 f(x)的原料就是初级产品,所以原料或初级产品满足的条件就是[0,4];在 f(2x+1)中,初级产品 是 2x+1,它必须满足[0,4],由此求出 f(2x+1)的原料 x 满足的条件(即自变量)。 因为(2)中 f(2x+1)的定义域是[0,4],即原料 x 满足[0,4],变成初步产品 2x+1,那么初步产品的限制条 件就成了[1,9], 所以 f(x)的原材料就是 [1,9],这样好不好理解? 值 域:函数 y=f(x)的因变量 y 的取值范围,可以理解为函数 y=f(x)图象向 y 轴投影的区间; 2 显函数:俗称常见函数,函数解析式是明确的,例如:y=f(x)=2x +3x-5; 隐函数:俗称抽象函数,函数解析式是不明确的,就用 y=f(x)表示,具体 f(x)是什么内容是隐藏的; 复合函数: 如果说 y=f(x)是一个简单的抽象函数, 那么把自变量 x 用一个函数 g(x)来代替, 就称 y=f(g(x)) 为复合的抽象函数,习惯上称 y=f(t)是外函数,t=g(x)为内函数。 2.四种类型 题型一:已知抽象函数 y=f(x)的定义域为[m,n],如何求复合抽象函数 y=f(g(x))的定义域? 思路分析:本题型是已知 y=f(x)的自变量 x 的范围,求 y=f(g(x))的自变量 x 的范围,其中的关键是,后 者的 g(x)相当于前者的 x。 解决策略:求不等式 m≤g(x)≤n 的解集,即为 y=f(g(x))的定义域 例题 3.已知函数 y=f(x)的定义域[0,3],求函数 y=f(3+2x)的定义域 解:令 t=3+2x,∵y=f(x)的定义域[0,3],∴y=f(t)的定义域也为[0,3],即 t=3+2x∈[0,3],

说明:内函数 g(x)=3+2x,通过令 t=3+2x 做了一个换元,此处换元不能写为令 x=3+2x。原因是 y=f(x)中 的 x 与 y=f(3+2x)的 x 虽然长得一样,但是意义不同,如果令 x=3+2x,则等号两边的 x 就是一模一样了, x 只能为-3 了。 强化训练: 1.已知函数 y=f(x)的定义域[-1,5],求函数 y=f(3x-5)的定义域; 2.已知函数 y=f(x)的定义域[1/2,2],求函数 y=f(log2x)的定义域; 3.已知 的定义域为[-2,2],求 的定义域。

题型二:已知复合抽象函数 y=f(g(x))定义域[m,n],如何求抽象函数 y=f(x)的的定义域? 思路分析:本题型是已知 y=f(g(x))的自变量 x 的范围,求 y=f(x)的自变量 x 的范围,其中的关键是,前 者的 g(x)相当于后者的 x。 解决策略:求内函数 t=g(x)在区间[m,n]的值域(t 的取值范围),即为 y=f(x)的定义域 例题 4.已知函数 y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数 y=f(x)的定义域.

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解:∵y=f(2x-1)的定义域[0,3],∴0≤x≤3,令 t=2x-1,∴t=2x-1∈[-1,5] 故,函数 y=f(t)的定义域为 t∈[-1,5], 故,函数 y=f(x)的定义域为 x∈[-1,5] 说明:函数 y=f(x)与 y=f(t)是同一个函数,与单个自变量是 x 还是 t 无关。另外,题型二是题型一的逆 向题目。 强化训练: 2 1.已知函数 y=f(x -2x+2)的定义域[0,3],求函数 y=f(x)的定义域. 2.已知函数 y=f[lg(x+1)]的定义域[0,9],求函数 y=f(x)的定义域. 题型三:已知复合抽象函数 y=f(g(x))定义域[m,n],如何求复合抽象函数 y=f(h(x))定义域的定义域? 思路分析:本题型是已知 y=f(g(x))的自变量 x 的范围,求 y=f(h(x))的自变量 x 的范围,其中的关键是, 前者的 g(x)相当于后者的 h(x),故先求出“桥梁”函数 y=f(x)的定义域。 解决策略:用题型二的方法根据 y=f(g(x))定义域求 y=f(x)的定义域,用题型一的方法根据 y=f(x)的定 义域求 y=f(h(x))的定义域 例题 5.已知函数 y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数 y=f(3+x)的定义域. 解:∵y=f(2x-1)的定义域[0,3],∴0≤x≤3,令 t=2x-1,∴t=2x-1∈[-1,5] 故,函数 y=f(t)的定义域为 t∈[-1,5], 故,函数 y=f(x)的定义域为 x∈[-1,5] 令 t=3+x,则 t=3+x∈[-1,5]

故,函数 y=f(3+x)定义域为[-4,2] 说明:题型三其实是题型一与题型二的综合而已,会了前两个题型,第三个题型自然就会了。 强化训练: 1.已知函数 y=f(x+1)的定义域[-2,3],求函数 y=f(2x-1)的定义域. 2.已知函数 y=f(2x)的定义域[-1,1],求函数 y=f(log2x)的定义域. 2 3. 已知 f(x+1)的定义域为[-1/2,2],求 f(x )定义域。 题型四:已知 f(x)的定义域,求与 f(x)相关四则运算型函数的定义域。 思路分析:若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集。 解题策略:先求出各个函数的定义域,再求交集。 例 6.已知 f(x)的定义域为[-3,5],求 φ (x)=f(-x)+f(2x+5)定义域。 强化训练: 1.已知 f(x)的定义域为(0,5],求 g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域,其中-1﹤a≦0。

二、与函数定义域相关的变形题型 (一)逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R,求参数的范围问题通 常是转化为恒成立问题来解决。 例 7.已知函数 分析:函数的定义域为 R,表明 应分 m=0 或 进行讨论。 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围。 ,使一切 x∈R 都成立,由 项的系数是 m,所以

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解:当 m=0 时,函数的定义域为 R; 当 时, 是二次不等式,其对一切实数 x 都成立的充要条件是

综上可知



评注:不少学生容易忽略 m=0 的情况,希望通过此例解决问题。

例 8.已知函数 解:要使函数有意义,则必须 实数

的定义域是 R,求实数 k 的取值范围。 ≠0 恒成立,因为 的定义域为 R,即 无

①当 k≠0 时,

恒成立,解得



②当 k=0 时,方程左边=3≠0 恒成立。

综上 k 的取值范围是 定义域非实数,求法。



(二)参数型
对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。 例 9.已知 解:因为 的定义域为[0,1],求函数 的定义域为[0,1],即 。故函数 的定义域。 的定义域为下列不等式组的解集:

,即 即两个区间[-a,1-a]与[a,1+a]的交集,比较两个区间左、右端点,知

(1)当

时,F(x)的定义域为



(2)当

时,F(x)的定义域为



(3)当



时,上述两区间的交集为空集,此时 F(x)不能构成函数。

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(三)隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例 如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。 例 10.求函数 解:由 函数 ,即 是由函数 的单调区间。 ,解得 。即函数 y 的定义域为(-1,3)。 复合而成的。 上是增函数;

,对称轴 x=1,由二次函数的单调性,可知 t 在区间 在区间 上是减函数,而 在其定义域上单调增; , 所以函数 数,在区间 上是减函数。 在区间

上是增函

(四)实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成 意识。 例 11.将长为 a 的铁丝折成矩形,求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数的解析式,并求函数的定义域。

解:设矩形一边为 x,则另一边长为

于是可得矩形面积。

。 由问题的实际意义,知函数的定义域应满足



故所求函数的解析式为

,定义域为(0,

)。

例 12.用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为 2x,求此框架围成的面 积 y 与 x 的函数关系式,并求定义域。

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解:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。

因为 CD=AB=2x,所以

,所以





根据实际问题的意义知

故函数的解析式为

,定义域(0,

)。

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