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辽宁省沈阳铁路实验中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版无答案



沈阳铁路实验中学 2012-2013 学年高二下学期期中考试 数学(理)试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1、复数 A.1 与复数 B.1 或-4 相等,则实数 a 的值为 ( C. -4 (
2



D. 0 或-4 ) A. B.C. D.

2、

若 y ? x 3 ? 3 x ? cos x ,则 y' 等于 A. 3x ? x
2 ? 2 3

? sin x
2

1 ? B. x ? x 3 ? sin x 3
3

1 ? C. 3x ? x 3 ? sin x 3
2

1 ? D. 3x ? x 3 ? sin x 3
2

2

3、 一个盒子装有七张卡片, 上面分别写着七个定义域为 R 的函数:f1 ( x) ? x 3 ,f 2 ( x) ? x 2 ,

f 3 ( x) ? x , f 4 ( x) ? cos x , f 5 ( x) ? sin x , f 6 ( x) ? 2 ? x 2 , f 7 ( x) ? x ? 2 。从盒子里
任取两张卡片至少有一张卡片上写着偶函数的取法有( A.12 B.15 C.18 D.24 ) )种。

4.设 a, b, c 小于 0,则 3 个数: a ? A. 至多有一个不小于-2 C. 至少有一个不大于-2

1 1 1 , b ? , c ? 的值 ( b c a
B.至多有一个不大于 2 D. 至少有一个不小于 2

5. 设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是( A. P ? Q ? R B. P ? R ? Q C. Q ? P ? R

)

D. Q ? R ? P

6.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f ( x) ,如果 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是 函数 f ( x) 的极值点,因为函数 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以, x ? 0 是函数

f ( x) ? x3 的极值点.以上推理中(
A.大前提错误

) C.推理形式错误 D.结论正确 )

B. 小前提错误

7.由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是( A. 36 B.32 C. 28 D. 24
/

8.给出定义:若函数 f ? x ? 在 D 上可导,即 f 则称 f ? x ? 在 D 上存在二阶导函数,记 f
//

? x ? 存在,且导函数 f / ? x ? 在 D 上也可导,
/

? x? = ? f / ? x ??

,若 f

//

? x ? <0 在 D 上恒成立,

则称 f ? x ? 在 D 上为凸函数,以下四个函数在 ? 0, A. f ? x ? = sin x ? cos x C. f ? x ? = ? x ? 2 x ? 1
3

? ?

??
2? ?

上不是凸函数的是(
?x



B. f ? x ? = ? xe

D. f ? x ? = ㏑x ? 2 x

9.右图是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象,给出下列命题: ① ?3 是函数 y ? f ( x) 的极值点; ② ? 1 是函数 y ? f ( x) 的最小值点; ③ y ? f ( x) 在 x ? 0 处切线的斜率小于零; ④ y ? f ( x) 在区间 (?3, 1) 上单调递增. 则正确命题的序号是( A.①② ) B.②③ C.③④ D.①④
-3 -2 -1 O 1 x y

10. 点 P 是曲线 x2 ? y ? ln x ? 0 上的任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为 ( ) A. 1 B.

3 2
2

C.

5 2

D.

2

11.设函数 f(x)=kx +3(k-1)x +1 ? k 在区间(0,4)上是减函数,
3 2

则实数 的取值范围是( A. k ?



1 3

B. 0 ? k ?

1 3

C. 0 ? k ?

1 3
) D.4

D. k ?

1 3

12. 抛物线 y 2 ? x 与直线 y ? x ? 2 所围成图形的面积( A.

9 2

B.

19 6

C.

4 3

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 2 0 分) 13.已知复数 z=

3?i (1 ? 3i ) 2

,则|z|=

。 个小正方形。

14.观察下图中小正方形的个数,按规律则第 n 个图中有

15.
第 14 题图

?

1

?1

1 ? x 2 dx=

16. 观察以下不等式

1 3 ? , 22 2 1 1 5 1? 2 ? 2 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 ?????? 1?
可归纳出对大于 1 的正整数 n 成立的一个不等式 1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? 2 ? f (n) ,则不等式右端 2 2 3 n

f (n) 的表达式应为
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分) 已知复数 z1 满足 (1? i )z1 ? ?1 ? 5i , z2 ? a ? 2 ? i ,其中 i 为虚数单位, a ? R ,若

| z1 ? z2 |?| z1 |,求 a 的取值范围。
18. (本小题满分 12 分) 观察下列式子: 1 ? 个不等式并加以证明.

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?. 请归纳出关于 n 的一 2 2 3 4 2 2 3 2 3 4

20. (本题满分 12 分) 已知 a,b,c 是不完全相等的正实数,选择合适的方法证明:
b ? c ? a a ? c ?b a ?b ?c > 3 ? ? a b c

21.(本小题满分 12 分)

b ? ln x . x 1 (Ⅰ)若函数 f (x) 在 x ? 1 , x ? 处取得极值,求 a , b 的值; 2
已知函数 f ( x) ? 2ax ?

(Ⅱ)若 f ?(1) ? 2 ,函数 f (x) 在 (0,??) 上是单调函数,求 a 的取值范围.



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