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高三数学椭圆的几何性质2


椭圆的几何性质 深圳市南头中学 王立海 一、教材分析 1.教材的内容和地位: 本节课是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书 《数学》 选修 2—1 第二章第二节的内容,它是在学完椭圆的标准方程的基础上,通过研究椭圆的标 准方程来探究椭圆的简单几何性质, 是本单元的重点内容之一。 利用曲线方程研究曲线的性 质,是解析几何的主要任务目的。 通过本节课的学习,既让学生了解了椭圆的几何性质, 又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程, 同时也为下一步学习双曲线和抛物 线的性质做好了铺垫。 2.教学重点:椭圆的几何性质及其应用 3.教学难点:如何通过椭圆方程研究其性质 二、教学目标 1.知识目标:掌握椭圆的简单的几何性质。 2.能力目标:能够运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题,初步感受运用曲线方程研 究曲线性质的方法,进一步领会数形结合的思想,培养学生自主学习、合作探 究、类比猜想的能力。 3.情感目标:通过实例培养学生爱国主义情感,激发学生学习数学的兴趣。 三、教法学法 “问题是数学的心脏” ,教学活动采用“问题探究式”的教学方式进行,通过把知识转 化成问题,引导学生分组讨论,合作探究,教学中穿学练结合,同时渗透数形结合,渗透数 形结合。学生则采用自主探究,合作交流的“研讨式”学习方式,去体验知识的形成过程, 参与问题的分组讨论等方式,体验知识的形成过程,参与问题的发现、解决过程,从而达到 掌握知识、提高能力的目的。 四、教学过程 1.设境激趣,导入新课:2005 年 10 月 12 日上午九时整,随着一声巨响,我国研制的神州六 号载人飞船,从酒泉卫星发射中心顺利升空,不久,飞船进入了以近地点 200 公里,远地点 347 公里的椭圆轨道围绕地球运行,举世瞩目,万众欢腾。请问你能利用所学的知识求出椭 圆轨道的方程吗?你想知道椭圆有哪些重要的几何性质吗?今天这一节课我们就来探讨这 些问题(板书:椭圆的几何性质) 设计意图:通过同学们熟悉的例子,引入新课,激发学生的爱国热情和好奇心,激起他们强 烈的求知欲。 2.师生互动,学导结合。 问题一:设 P(x,y)是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的任一点,则 x、y 能否取任意值? a 2 b2

为什么?(先用方程探讨,然后启发学生通过数形结合解决:先观察,再求 出椭圆与坐标轴的交点,即可写出结论)?

y 2 x2 接着提问 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的范围是什么? a b

y

o

x

设计意图:体会运用方程研究曲线性质的方法同时培养学生数形结合的思想以及 能力迁移能力。自然的导出了第一个性质——范围 3.自主探索,交流合作。 自学课本第 29 页倒数第八行——第 30 页的第五行:椭圆的另两个性质:对称性和顶点 (大屏幕打出自学提纲,让学生带着这些问题,自学提纲) (1) 椭圆 (2)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有何对称性?如何根据曲线方程判断出曲线的对称性? a 2 b2

什么是椭圆的顶点、长轴、短轴、长半轴长、短半轴长?椭圆有几个顶点?短半轴 长?椭圆有几个顶点? (学生自学,可相互讨论,教师巡回参与指导) 设计意图:引导学生独立运用方程研究曲线的性质并提高学生的自学能力。 练习一:判断下列曲线的对称性 ①

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

② x2 ? 2 y ? 0

练习二:下列说法对否? ①

x2 y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴就是 x 轴、短轴就是 y 轴( ) a b

②椭圆的焦点必在其长轴上( ) 问题二:设 B1 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 短轴的一端点, F1 是其一个焦点,试探究三角 a 2 b2

形 O B1 F 1 的几何什么特征? 设计意图:给学生探索的空间,同时又让学生分组讨论巩固了对特征三角形的理解 y

B1
a b c O x

F1

问题三:已知椭圆的长轴是 A1 A2 和短轴 B1B2 ,怎样确定焦点的位置? (引导学生利用特征三角形来考虑:以点 B1 为圆心,以 a 为半径作圆弧,交长轴与两点, 这两点就是焦点) 设计意图:既给学生以探索的空间,又深化了对特征三角形的理解。 物体四:圆的性状是相同的,而椭圆的性状是否相同?如何刻画它的“扁”的程度呢? 操作探究:用事先准备好的细绳和铅笔,根据教材提示,两人一组,动手操作,探究椭圆 的离心率的变化是如何反映椭圆的圆、扁程度的? 设计意图:提高学生的自学能力,养成动手动脑的习惯,培养他们合作、探究、交流的意 识 越接近先反馈学生操作的效果,然后,教师通过多媒体展示椭圆随着离心率逐渐接近 0 越 圆而越接近 1 而越扁的动画过程。然后完成相应练习:判断下列哪一个椭圆更接近圆?

x2 y 2 x2 y 2 ?1 ? ? 1与 ? 25 20 9 4
设计意图:锻炼学生动手操作、探求知识的能力。同时学练结合,及时巩固。 4.学以致用,回归生活。 例 1,因为内容比较简单,学生完全能够通过自学自己解决,老师只要稍加强调即可。 然后学生完成相应练习:求椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴长、短轴长、离心率、顶点和焦点坐标。 25 16
2 2

学生完成后立即做变式练习,把题目改为 25x ? 16 y ? 400 设计意图:既可给学生提供自学的机会,又可节约课堂时间让学生做跟踪练习。对于设计的 练习既练习了焦点在 x 轴和 y 轴的两种情况, 又需要把方程变为标准式, 锻炼了学生的思维。 例 2. 共同解决刚开始提出的神州六号的轨迹方程问题 设计意图:本题难度稍大,所以师生共同解决,解决了此题,实际上就解决了教材上的例 2, 同时也解决了同学们心中的悬念,前后呼应,增强了学生学数学、用数学意识和兴趣,使知 识的运用得到升华。 5.归纳小结,布置作业。 为了提高学生的归,纳、整理能力,对所学知识形成清晰的知识网络。由学生自己进行课堂 总结,并由学生补充完善。 布置作业 必做题:课后习题第 5 题和第 6 题 选做题:习题第 9 题 设计意图:进一步落实本节课所学知识,由必做题和选做题组成,以体现分层教学,让 “不同的人在数学上得到不同的发展” 。 板书设计:

一、椭圆的几何性质 1. 2. 3. 4. 范围 对称性 顶点 离心率

二、例题 ————-———— ———— ————

三、小结

五、教学评价: 本节课把更多的时间、机会留给学生,让学生充分的交流、探究,积极引导学生动手操作、 动脑思考。教学中要关注学生是否积极地参与到发现问题、分析问题、解决问题的探索过程 中去,是否能够达到掌握知识,提高能力的目的是否收到了理想的教学效果。教学过程中要 尊重学生的自我发现,多角度的给学生以鼓励和肯定。 六、设计理念:根据“以人为本,以学论教”的教育理念,把学习的主动权交给学生;把思 维的空间留给学生;把探索的机会留给学生;把体会成功后的快乐送给学生;把课堂的时间 还给学生。教师的作用应是给与学生“指点迷津” 、引导学生“重点突破” 、刺激学生“深化 理解” 、帮助学生“能力提升” 。把知识的形成过程转化为自学、探索、思考、发现和运用知 识的过程,以学生为主体,以合作探究、学练结合为手段,以提高能力为目的,让学生在操 作中探索,在探索中领悟,在领悟中理解,体会数学之美,探究之趣。


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