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河北省唐山一中2010年高考模拟试卷(二)(数学理)


河北省唐山一中 2010 高考模拟试卷(二)
数 学(理科)
说明: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ 卷 3 至 6 页。全卷 150 分,考试时间 120 分钟。 2. 将Ⅰ卷答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上。

第Ⅰ卷

(共 60 分)

一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? ?x | y ? lg(1 ? x)?,集合 B ? y | y ? x 2 ,则 A ? B ? A (??,1) B ?? ?,1? C ?0,1? D ?0,1? ( )

?

?





2.设复数 (1 ? i)10 ? (1 ? i)10 ? a ? bi(其中 a, b ? R, i 为虚数单位) ,则 A a ? 0, b ? 0 B a ? 0, b ? 0 C a ? 0, b ? 0 D a ? 0, b ? 0

3.已知命题 p :若 a, b ? R ,则 | a | ? | b |? 1 是 | a ? b |? 1 的充分不必要条件; 命题 q :已知 A, B, C 是锐角三角形 ABC 的三个内角;向量

m ? (1 ? sin A,1 ? cos A), n ? (1 ? sin B,?1 ? cos B), 则 m 与 n 的夹角是锐角。则 (
A p 假q 真 B P 且 q 为真 C p 真q 假 D p 或 q 为假



4.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A 4 B 2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 ( 6 2
C –4 D –2



5.设函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 对称,则 g (10) ? A 19 7 B 21 8

2x ? 1 , 函数 g ( x) 与函数 f ?1 ( x ? 1) 的图像关于直线 y ? x x?2
( C 13 8 D 12 7 )

6.设实数 a 为函数 y ? sin x ? 3 cos x( x ? R) 的最大值,则 (a x ?

1 x

) 6 的展开式中 x 2

的系数是 ( ) A 192 B 182 C –192 D –182 7.在底面为正方形的四棱锥 V-ABCD 中,侧棱 VA 垂直于底面 ABCD,且 VA=AB,点 M

为 VA 的中点,则直线 VC 与平面 MBC 所成角的正弦值是 A 3 6 B 15 5 C 2 3 D 15 15





? x ? b( x ? 1) 3b n ? a n ? 8.若函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 在 x ? 1 处连续,则 lim n ?1 ?( ? a n?1 ( x ? 1) n?? b ? ? x ?1
A3 B1 C 1 3 D –3



?x ? 4 y ? 3 ? 9.设 O 为坐标原点,M(2,1) ,点 N(x,y)满足 ?5 x ? 3 y ? 15 ,则 OM ? ON 的最大 ?x ? 1 ?
值是 A 9 ( B2 C6 D 14 )

10.已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? b 1 ? x 2 ,其中 a ? ?0,1?, b ? ? 1,2?, 则 f ( x) ? 0 在 x ? ?? 1,0? 上有解的概率为 A 1 2 B 1 3 C 1 4 ( D 1 5 )

11.已知 b ? 0 ,直线 (b 2 ? 1) x ? ay ? 2 ? 0 与直线 x ? b 2 y ? 1 ? 0 互相垂直,则 ab 的 最小值等于 A1 签。 B2 C 2 2 ( )

D 2 3错误!未定义书

12.已知平面 ? // 平面 ? ,直线 l ? 平面 ? ,点 P ? 直线 l ,平面 ? 与平面 ? 间的距离 为 8,则在平面 ? 内到点 P 的距离为 10,且到直线 l 的距离为 9 的点的轨迹是 ( A 一个圆 B 四个点 C 两条直线 D 两个点 )

第Ⅱ卷
注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3. 本卷共 10 小题,共 90 分。 二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案写在题中横线上) 13.2009 年东亚运动会上,中国乒乓球男队派出王皓及 5 名年轻队员参加比赛,团体比赛 需要 3 名队员上场,如果最后一个出场比赛的不是王皓,则不同的出场方式有________ 种(用数字做答) 14.已知三个平面 ? , ? , ? ,若 ? ? ? ,且 ? 与 ? 相交但不垂直,直线 a, b, c 分别为 ? , ? , ? 内 的 直 线 , 则 下 列 命 题 中 : ① 任 意 b ? ? , b ? ? ; ② 任 意 b ? ? , b // ? ; ③ 存 在

a ? ? , a ? ? ; ④存在 a ? ? , a // ? ; ⑤任意 c ? ? , c // ? ; ⑥存在 c ? ? , c ? ? 。
真命题的序号是_________ 。

15 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 和 偶 函 数 g ( x) 满 足 f ( x) ? g ( x) ? 2 x , 若 不 等 式

af ( x) ? g (2 x) ? 0 对 x ? ?0,1? 恒成立,则实数 a 的取值范围是________。
16.已知 O 为原点,从椭圆 x y2 + =1 的左焦点 F1 引圆 x 2 ? y 2 ? 4 的切线 F1T 交椭圆于 4 100
2

点 P ,切点 T 位于 F1 , P 之间, M 为线段 F1 P 的中点,则 | MO | ? | MT | 的值为 _______________。 三、 解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分). 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin ?x ? cos( ?x ?

?
3

) ? cos( ?x ?

?
3

) ? 1, (? ? 0, x ? R), 且函数

f ( x) 的最小正周期为 ? ;
(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若

f ( B) ? 1, BA ? BC ?

3 3 , 且 a ? c ? 4, 求 b 的值。 2

18. (本小题满分 12 分) 在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,先从这个盒子中有放回地先后 抽取两张卡片,设这两张卡片的号码分别为 x, y, O 为坐标原点, P( x ? 2, x ? y), 记

? ?| OP |2 。
(1)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取最大值”的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中,已知 an ? 1, a1 ? 1, 且 a n ?1 ? a n ?

2 ,n ? N ?。 a n?1 ? a n ? 1

(1)记 bn ? (a n ? ) , n ? N , 证明:数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;
2 ?

1 2

(2)设 cn ? (2an ? 1) 2 , 求

1 1 1 的值。 ? ??? c1c 2 c 2 c3 c n cn ?1

20. (本小题满分 12 分) 如图,四棱椎 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,PA=AB=1,PD 与平面 0 ABCD 所成的角是 30 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动。 (1)当点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (2)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 AF⊥PE; 0 (3)求当 BE 的长为多少时,二面角 P-DE-A 的大小为 45 。 P F A E D C B

21. (本小题满分 12 分)

函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图像如图所示。 (1)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0, 求函数 f ( x) 的解析式 (2)在(1)的条件下,是否存在实数 m ,使得 y ? f ( x) 的图像与 y ?

1 f ?( x) ? 5 x ? m 3

的图像有且只有三个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 y y=f(x) 3

O

1

a

x

22.已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 和上顶点 D, a2 b2
10 3

椭圆 C 的右顶点为 B , 点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点, 直线 AS, BS 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点,如图所示。

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值; (3)当线段 MN 的长度的最小时,在椭圆 C 上是否存在这样的点 T ,使得 ?TSB 的面积 为

1 ?若存在,确定点 T 的个数,若不存在,请说明理由。 5
y D A O

S
B

M x N

河北省唐山一中 2010 高考模拟试卷(二)
数 学(理科) 答案
一.选择题:DAAAD 二.填空题:100 三.解答题: 17.解: (1) f ( x) ? 2 sin(?x ? 由 CDBCA ④⑥ BB

?? 2

2,??

?
?
6

10 ? 2 23

?
6

) ?1

————3

2?

?

? ? ,得 ? ? 2 ,所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

) ?1

————5

(2)由 f ( B) ? 1 ,解得 B ? 由 BA ? BC ?

?
6
————8

3 3 ,得 ac ? 3 2

由余弦定理得 b ? 10 ? 3 3

————10

18.解: (1)当 ( x, y) ? (1,3)或(3,1)时,? 取最大值,? ? 5 ,令“ ? 取最大值”为事件 A , 则 P ( A) ?

1 1 1 1 2 ? ? ? ? 3 3 3 3 9

————5

(2)易知 ? 的所有可能取值为 0,1,2,5,当 ? ? 0 时, ( x, y) ? (2,2), 所以

1 。当 ? ? 1 时, ( x, y) ? (1,1)或(3,3)或(2,1)或(2,3) ,所以 9 4 2 P(? ? 1) ? 。当 ? ? 2 时, ( x, y) ? (1,2)或(3,2) ,所以 P(? ? 2) ? 9 9 P(? ? 0) ?
所以 ? 的分布列为
?

0

1

2

5

P

1 9

4 9

2 9

2 9
————10 ————12

所以 E? ? 0 ?

1 4 2 2 ? 1? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 9 9 9 9

19.解: (1)因为 a n ?1 ? a n ?

2 an?1 ? an ? 1
————2

所以

2 2 an ?1 ? an ? an?1 ? an ? 2

2 2 因为 bn?1 ? bn ? an ?1 ? an ? an?1 ? an ? 2

所以数列 ?bn ? 是以

1 为首项,2 为公差的等差数列 4
————8 ————10

————5

bn ?

8n ? 7 1 ? 8n ? 7 , an ? 4 2

(2)因为 cn ? (2an ? 1) 2 ? 8n ? 7 所以

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) cn cn?1 (8n ? 7)(8n ? 1) 8 8n ? 7 8n ? 1
n 8n ? 1
————12

原式=

20.解: (1)平行 因为 EF//PC,EF ? 平面 PAC,PC ? 平面 PAC,所以 EF//平面 PAC (2)PA⊥平面 ABCD,BE ? 平面 ABCD PA⊥BE,又 BE⊥AB,AB ? AP=A,所以 BE⊥平面 PAB. 又 AF ? 平面 PAB ,所以 AF⊥BE. 又 PA=AB=1,点 F 是 PB 的中点,所以 AF⊥PB 又因为 PB ? BE=B,所以 AF⊥平面 PBE ————6

————4

因为 PE ? 平面 PBE,所以 AF⊥PE ————8 (3)过 A 作 AG⊥DE 于 G,连结 PG,又 DE⊥PA,则 DE⊥平面 PAG. 则∠PGA 是二面角 P-DE-A 的平面角 所以∠PGA= 45
0

————10 ————12

解得 BE= 3 ? 2

' 21.解: (1)由图可知函数 f ( x) 的图像过点(0,3) ,且 f (1) ? 0,

?d ? 3 ?d ? 3 ?? ,? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0 ?c ? 0

————3

' 依题意 f (2) ? ?3且f (2) ? 5 ,解得 a ? 1, b ? ?6

所以 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? 3
3 2
3 2

————6
2

(2)由题意可得: x ? 6 x ? 9 x ? 3 ? x ? x ? 3 ? m 有三个不相等的实根,
3 2 即 g ( x) ? x ? 7 x ? 8x 与 y ? m 有三个不同的交点

g ' ( x) ? 3x 2 ? 14x ? 8 ? (3x ? 2)(x ? 4)

x

2? ? ? ? ?, ? 3? ?
+ 增

2 3
0 极大

?2 ? ? ,4 ? ?3 ?
_ 减

4

?4,???
+ 增

g ' ( x)
g ( x)
则 g( ) ?

0 极小

2 3

68 68 ? ? , g (4) ? ?16 ,故 m 的取值范围是 ? ? 16, ? 27 27 ? ?

————12

22. (1)由题得椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

————4

( 2 ) 设 直 线 AS 的 方 程 为 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) , 从 而 可 知 M 点 的 坐 标 为

? 10 16k ? ? , ? ?3 3 ?

? y ? k ( x ? 2) 2 ? 8k 2 4k ? 2 , ) 由?x 得 S( 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? ? y ?1 ?4

1 10 1 ( x ? 2) ,从而可知 N 点的坐标 ( ,? ) 4k 3 3k 16 k 1 8 1 ?| MN |? ? ? ,当且仅当 k ? 时等号成立 3 3k 3 4 1 8 故当 k ? 时,线段 MN 的长度取最小值 ————8 4 3 1 6 4 k? , S( , ) , (3) 由 (2) 知,当 MN 取最小值时, 此时直线 BS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 , 4 5 5
所以可得 BS 的方程为 y ? ?

? BS ?

4 2 。 5
1 ,只需 T 到直线 BS 的距离等于 5

要使椭圆 C 上存在点 T ,使得 ?TSB 的面积等于

2 2 ,所以点 T 在平行于直线 BS 且与直线 BS 的距离等于 的直线 l ? 上。 4 4
直线 BS : x ? y ? 2 ? 0 ;直线 l ? : x ? y ? m ? 0 ,得 m ? ? 则直线 l ? : x ? y ?

5 3 或m ? ? 2 2

5 3 ? 0或x? y ? ? 0 2 2

5 3 ? ? ?x ? y ? ? 0 ?x ? y ? ? 0 ? ? 0 无解; ? ? ? 44 ? 0 有两个解 2 2 ? 2 2 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? ?
所以 T 有两个。 —————12


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