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靖江市2012-2013年度 高二数学第二学期期末试卷(文科)



靖江市 2012-2013 年度 高二数学第二学期期末试卷(文科)
一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 A ? ?1, 2, 3? , B ? ? 2, m , 4 ? , A ? B ? ? 2, 3? ,则 m = 2.已知 z ? ( z ? 1) ? 5 i ,则复数 z ? 3.函数 y ?
? x ? 2 x ? 3 的单调递减

区间是
2

此解法可得到不等式: x ? ( 2 x ? 3 ) ? ( 2 x ? 3 ) ? x 的解集是
3 3



二、解答题(14*2+15*2+16*2 分,共 90 分) 15(本小题满分 14 分)集合 A ? ? x
? ? 1? 2x ? ? 1 ? ? 0 ? ,集合 B ? ? x ? ? x ? 1 ? 。 x?a 2 ? ? ?



。 。

①若 a ? 1 ,求 A ? B , A ? B ;②若 1 ? A ,求 a 的取值范围。

4. 命题 p : 非 空 集 合 A ? ? x 2 a ? 1 ? x ? 3 a ? 5 ? , 命题 q : B ? ? x ( x ? 3)( x ? 2 2 ) ? 0 ? , ? p 是 ? q 若 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围 5. m ? “
1 4

。 条件.

”是“一元二次方程 x ? x ? m ? 0 ”有实数解的
2

(充分非必要 、充分必要 、 必要非充分 、非充分必要) 6.已知 f ( x ) ? x ? x f '(1) ,则 f '( ? 1) 的值为
3 2 2

. .

16.已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x ) ? ? 2 x 的解集为 ? 1, 3 ? 。 (1)若方程 f ( x ) ? 6 a ? 0 有两个相等的根,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围。

7.若命题“ ? x ? R , x ? ( a ? 1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是 8.设 2 ? 5 ? m ,且
a b

1 a

?

1 b

? 2 ,则 m ?
2?i 1? i

. .
x

9..已知 i 为虚数单位,复数 z ?

,则 | z | =
3

10.已知 a , b 为正实数,函数 f ( x ) ? ax ? bx ? 2 在 ?0 ,1 ? 上的最大值为 4 ,则 f ( x ) 在 ?? 1, 0 ? 上的 最小值为 . 。
1 x
2

11.函数 y ? a x ? b 在区间 ( 2, ? ? ) 上是单调递增函数,则 a , b 满足的条件是

12.已知定义为实数 R 的偶函数 f ( x ) 在区间 (0, ? ? ) 上是单调递增函数,若 f (1) ? f (lg x ) ,则 x 的 取值范围是 13. 已知函数 。

17.设函数 f ( x ) 是定义在 [ ? 1, 0 ) ? ( 0 ,1] 上的奇函数, x ? [ ? 1, 0 ) 时,f ( x ) ? 2 ax ? 当 (1)当 x ? ( 0 ,1] 时,求 f ( x ) 的解析式; (2)当 a ? ? 1 时,试判断 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ] 上的单调性,并证明你的结论.

2

(a 为实数) .

f ?x? ?

x ?3 x

,若

f ? 2 ? sin ? ? ? 2 m ? 3 m 对一切? ? R
2



成立,则实数 m 的取值范围是
x x x


x x x
x x

3 4 14.问题“求不等式 3 +4 ≤5 的解”有如下的思路:不等式 3 +4 ≤5 可变为 ( 5 ) ? ( 5 ) ? 1 ,考察函

3 4 数 f ( x ) ? ( 5 ) ? ( 5 ) 可知,函数 f ( x ) 在 R 上单调递减,且 f ( 2 ) =1,∴原不等式的解是 x≥2.仿照 x x

18.如图为河岸一段的示意图,一游泳者站在河岸的 A 点处,欲前往河对岸的 C 点处.若河宽 BC 为 100m,A、B 相距 100m,他希望尽快到达 C,准备从 A 步行到 E(E 为河岸 AB 上的点) ,再从 E 游到 C.已知此人步行速度为 v,游泳速度为 0.5v , ⑴ 设?BEC ? ? , 试将此人按上述路线从 A 到 C 所需时间 T 表示为 ? 的函数; 并求自变量 ? 的 取值范围; ⑵ 当 ? 为何值时,此人从 A 经 E 游到 C 所需时间 T 最小,其最小值是多少?
C

20. (本小题满分 16 分)设 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ,且存在 m , n ? R ,使得
2

? f (m ) ? m ?

2

? ? f ( n ) ? n ? ? 0 成立。
2

①若 a ? 1, 当 n ? m ? 1且 t ? m ,试比较 f ( t ) 与 m 的大小; ② 若 直 线 x ? m与 x ? n 分 别 与 f ( x) 的 图 像 交 于 M , N 两 点 , 且 M , N 两 点 的 连 线 被 直 线
3( a ? 1) x ? ( a ? 1) y ? 1 ? 0 平分,求出 b 的最大值。
2 2

A

E θ

B

19.已知 f ( x ) 是定义在区间 ? ? 1,1 ? 上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 m , n ? ? ? 1 , 1 ,m ? n ? 0时,有 ?
f ( m ) ? f ( n) m ?n ? 0。
1 2 ) ? f (1 ? x ) ;
2

①解不等式 f ( x ?

②对 ? x ? ? ? 1,1 ? , ? a ? ? ? 2, 2 ? ,使得 f ( x ) ? t ? 2 a t ? 1 成立,求实数 t 的取值范围。



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