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数列型不等式的证明



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解题研究  

数 列 型 不 等 式 的 证 明 
( 庆一 中 重 40 3) 石含 军 0 0 0   

在木等式的证明中, 有一类 不等式很值 得我 
们 注意 , 这类 不等 式就 是通 常称 作数 列 型不 等式.   那 什么 是数

列 型不 等式 呢? 我们 把 数列 {  “ }中 : 。 “   f n a 。 题 中如 果 能 将 原递 推 关 系 转 化 成 b ( )  解   话 。 可得 b < 是 )  而且 放 缩 的 量很 小; 则  。 ( 6, 另  外 此题 中的 g ) 1一  1 ( 一   一  也是作 变换 时 
应 该 注 意 到 的.  

+Ⅱ + … 十 Ⅱ < ,( ( >) ( 中 ,   为  的  2    ) 或 ,其 ()
代 数式 ) 为数列 型 不等 式. 类 题 目在 证 明 时 。 称 这   要依 据题设 和题 断 的特点 、 内在联 系 , 才能选 择适  当的变形 得证 明 的方 法 , 它对 解题 人 的恒 等 变 形 

能 力要 求 很 高 . 观察 能力 。 析 能 力 的要 求 也 很  分
强 , 也最 能使 人体 会到 解数 学题 的乐趣 . 但 下面举  例说 明.   例 l 已知 数列 {  中 'I lⅡ 一 ( +   Ⅱ } Ⅱ — ,川 1  
1 )  

例 已 数 {} ’一 。。 2 知 列“ 中Ⅱ 号“ 一   I 计 
“   言   一 ,证“  + . ” 一 十  ’让 ” z  去求   矿 1 冰 :< 十 ?  
一  

证明 : 令  一   一 1  



“ 十  (    ≥ 1 , ) 求证 : < 2. “     , Ⅱ 一 l 6 = 2  由 。 得 t ,

则。“ 号 1 6 。 一. 一一  

且 6 。   6 一 <  ? n  易见 6 > o  计 一     l6 ,   , 证明: 设  = “ +   

故  。 1 一 ( 十  一  1
得 :州 一 ( 十  6 1
( 1+  6. , 1  

)  一  (
) 一   

) + 
.  

故l什<l ? 参 l, 参   + n ? n  一 +n < + 6 e   6 J  
l n 6  <… 参   + 十1 l。 + < + …  +n 一   6

< 

+. ÷ . . .   +
令 s一  1+ 2× 1+ 3x 1+ … +  ? 1       
,  

由于 b > 0所以 I 叶 < l( + 1 + + , , 。 n l n1 。     b ÷一)
l6 <   J n】
十 

则 1   s— l   + 2   + … + (   x   x  



1   )?

+ l  n

一 

1 十  

+ l  < ( 一  n  
+  × 
一  

1 )+ (    
一  

)+ l 6 n 一。< ( 1  

)+ 

1  
一  

相 得÷ 一 + + + + 一 。 减 : 号     …      s 1
即s  + + +…十 一参= :一        

) ‘ 十  
) +  1  


一 

)+ l6 n  z< … <  
) … +( + 1一  + l 1)

( 一   

 

n   6



l — + 2    l< + 2 【 ,   l一 晕 + 2 11一n   n n n 2  
即 lb n  < l2 = b n e  ̄  < 2 . e  

等 一2 ,  -   =  
所 以 l  n < 2一  < 2, 即  < e, 2 

故 “ +   

<2  

< 2.     的来 

这 时读者 一定 会 问变 换  = “  + 

历? 是此数 列是 型如 :计。 这 “ 一f n a 十g , 的递  ( )  ( ) z

所  <2  一 < 以  故 击   。 得   击  +. “ +< 1 <  

溪  瀚 

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20     全 国 高 中数 学联 合竞 赛征 题 启 事  0 8年
受 中国数 学会 委托 ,0 8年 全 国高 中数 学联  20
合竞 赛 由本 刊 主 办 单 位 之 一 重 庆 市 数 学 学会 承  办. 面 向广 大数 学工作 者征 集 2 0 现 0 8年 全 国 高中   数 学联 赛候 选试题 , 大 力协 助命 制优 秀试题. 请  


其 中一 道 为 平 面 几何 题 , 卷 满 分 为 1 O分 . 全 5   3 .只 征 集 个 题 , 题 要 有 新 意 , 绝 陈 题 , 试 杜 写 

明命 题 意 图并提 供 参考 解答 , 明 自编或 改编. 注 改 
编题 要 附 上 原 题 并 注 明 出 处.  



命 题 原 则 

三 、 交候 选试题 的截 至 日期 和 注意事 项 寄  
1 .请 务 必 在 2 0 0 8年 4月 3 0日前 用挂 号 信 寄 

贯 彻“ 普及 基础 上提 高”的原 则 , 有 利 于  在 要

促进 中学数 学教 学改革 , 推进 素质 教 育 , 高 学生  提
学 习数 学的兴 趣 ; 有利 于发现 人 才 , 培养 人 才 ; 有 
利 于参加 国际数 学竞赛 队 员的选拔 工作.  
二 、 候 选 试 题 的具 体 要 求  对

至重庆 北碚 西南 大学数 学与统计 学 院 李杨 荣 ,  
邮 编 :0 7 5 电 话 :2 40 1 , O 3— 6 2 4 9   8 5 2 7, Emall r S . d   n i:i @ WU e u c   y

2 .提 供 的 候 选 试 题 要 绝 对 保 密 , 本 届 联 赛  在 举 行前 , 得 泄露或 变相泄 露给他 人. 不  
3 .对 初 选 采 用 的 试 题 将 给 予 提 供 者 适 当 的  报 酬 , 正 式 采 用 的 试 题 将 对 提 供 者 颁 发 证 书 并  对
给 予 奖励 .  

1 .全 国高 中数 学联 赛 的命 题 难 度 大体 相 当   于普 通 高考 中档 、 高档 的试题 , 试卷 包括 6道 选择 
题, 6道 填 空题 和 3道 解 答 题 , 卷 满 分 为 1 0分 . 全 5  

2 .全 国高 中数 学联 赛 加 试 的命 题 范 围 以现  行 高 中数 学竞 赛 大纲为 准 , 题 包括 3道解 答题 , 试   此题 的变换 是 很容 易 看 出 , 这 两 个 例子 我  从

此数 列的递 推式为 :  

们可 以得 到一点 启 发 , 已知 数 列 的递 推关 系 比  当 较复杂 时 , 们 通 过 引进 一 个 与 原 数列 有 关 系 的  我 新数 列 , 而把递 推式 变简单 , 从 达到解 题 的 目的.   要将 一个 数 列 的递 推 式 变 简单 , 怎样 找 与它 
有关 的新数 列呢 ? 同类 型 的递 推 数 列方 法 是 不  不

z   +  计 + b + d= 0 井。 。 x = . =  将 它 化简 的 目标是 降 阶 , 可先设 z = a +  计。= 州 = z( z为常数 ) 入 ( , +z (  z +n n +  代 a- H 。 ) n + ) ( 井。 z +b a + z +d一 0得 n n + ( + ) 计。 ) (  ) 计。  n n + 
( +x a +  + ( 6 )  n+b x+d一 0 设 z + ( +  ) , 。 n

同的, 但它们 的 最终 目标却 是一样 的 : 即化为此 类 
数列 的最基础 型 , 下面再 看一个 例题 :   例 3 已知数 列 a )中 ,?   n n 一~3 且 n   +  , 计?

bx+d一 0 解 出 z, ) , 就可 以使原 递推式 变为 型如 :  
n n +  计。 


+h?   0 再将 两边 同除 a a得  n一 ,   n


7 州 + 2  2 a a + 0— 0 求证 : ≤一 3 5( , Ⅱ .  ≥ 2 . )  
证 明:   。   一 + 1  ’ 一  一4  ,

上 + 是. + 1一 o 令 6   ,  一  则 可 变 为 型  “   计l “  ” 。  ”
即  ~  n+  

如  l= ¨  

6 一2 。 代入 原递 推式 (  
D. 1 一 4

一4 ( ).  
l  D, .一

一4 +  )
j  

, 后 令  一 6 +  最 n
’  

一  
‘  

+ 
一  

一 

7  ‘

一 4 + 2  1 ) ‘  


4 + 2 — o整 理 得 : ) o  
。 

1 +   

而得 到

? 

。 

总 之 , ( ) 列 型 不 等 式 的 题 目时 , 真 观  解 证 数 认

6? 6 井 一号 所以6一2号一, n (  所以n一 察 列 结 及 子 特 适 地 用  变 一   数 的 构 式 的 点, 当 使 数  
—  

_ -一

一4 由于 {  是递 减数列 , 以  ≥  . 。) 所

换 的手 段 , 可将 问题 得 到简化 , 而达 到解题 的  就 从

2) 1 (  一  号
2 , ≤ Ⅱ 一  一 4=一 3 5 时 Ⅱ 2 ..  

目  



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