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解三角形复习课



解三角形复习课

茂名市一中 高一数学工作室

△ABC中: (1)A+B+C= C A? B ? ?C ? (2) ? ? ? 2 2 2 2

?

(3)A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B C b A c a

B

正弦定理:



a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
?a ? 2 R sin A ? ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

(边化角)

? ?s in A ? ? ? ? ?s in B ? ? ? ?s in C ? ?

a 2R b 2R c 2R

(角化边)

从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进 而可求其它的边和角。 C C a



?

?

b

a





?



已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解 或一解(见图示) C C C a

C a
b a

b
A

a
B

b a

b

a=bsinA 一解

B A B2 B1 A bsinA<a<b b?a 一解 两解

A
a>b 一解

B

余弦定理:
求角
b ?c ?a cosA ? 2bc
2 2 2

a ?c ?b cosB ? 2ac
2 2

2

a ?b ?c cosC ? 2ac
2 2

2

求边

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2 2 2 2

b ? a ? c ? 2ac cos B
2

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2

余弦定理可解决两类问题: 1.已知三边求三角; 2.已知两边和它们的夹角,求此角对边,进而 可求其它角。 C c A a b B A c B



b

面积公式:
C b A

c

1 S ? ? ab sin C 2 1 ? bc sin A B 2 1 ? ac sin B 2

典型例题分析:

例1在△ABC中,A,B角均为锐角,且cos A ? sin B, 则△ABC的形状是( )

A.直角三角形
C.钝角三角形
?

B.锐角三角形
D.等腰三角形
?

答案:cos A ? sin( 2 ? A) ? sin B, 2 ? A, B 都是锐角, 则
?
2 ? A ? B, A ? B ?

?

2

,C ?

?

2





训练、在锐角△ABC中,求证:

sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cosC
证明:∵△ABC是锐角三角形, ∴ A? B ?

?

2 ? ∴ sin A ? sin( ? B ) 即 sin A ? cos B 2 sin C ? cos A 同理 sin B ? cos C ,
∴ sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cosC

,

? ? 即 ? A? ?B?0 2 2

例2、在△ ABC 中,若b 则 A 等于( )


? 2a sin B
60 0
0 0

A



30

0
0 0

B



C.120 或60

D.30 或150

1 0 b ? 2 a sin B ,sin B ? 2sin A sin B ,sin A ? , A ? 30 答案: 2

或 1500

选 D

例3、在△ABC中, AB ?

6 ? 2,

C ? 300 ,则

AC ? BC 的最大值是________。
解:∵
AC BC AB AC ? BC AB ? ? , ? , sin B sin A sin C sin B ? sin A sin C

A? B A? B ? 2( 6 ? 2)(sin A ? sin B) ? 4( 6 ? 2)sin cos 2 2 B A? B ? 4cos ? 4,( AC ? BC )max ? 4 2
C A

∴ AC ? BC

例4、在△ABC中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 则△ABC的形状是什么? 解: a cos A ? b cos B ? c cos C,sin A cos A ? sin B cos B ? sin C cos C
sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C ,2sin( A ? B)cos( A ? B) ? 2sin C cos C

cos( A ? B) ? ? cos( A ? B), 2cos A cos B ? 0

? ? cos A ? 0 或 cos B ? 0 得 A ? 或B? 2 2

所以△ABC是直角三角形。

例5、在△ABC中,若 A ? B ? 120 ,
0

a b ? ?1 则求证: b?c a?c
2 2



a b 分析:要证 :b ? c ? a ? c ? 1 只要证 :

a ? ac ? b ? bc ? 1 2 ab ? bc ? ac ? c

即:
而∵

a ? b ? c ? ab
2 2 2

A ? B ? 120
0
2 2 2

0

∴ C ? 60

a ?b ?c 2 2 2 0 cos C ? , a ? b ? c ? 2ab cos 60 ? ab 2ab
∴原式成立。

C 3b 2 A ? c cos ? , 例6、在△ABC中,若 a cos 2 2 2
2

则求证: a ? c
2

? 2b

C 3b 2 A 证明:∵ a cos ? c cos ? 2 2 2 1 ? cos C 1 ? cos A 3sin B ? sin C ? ? ∴ sin A ? 2 2 2
∴ sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B 即: sin A ? sin C ? 2sin B 即 :a ? c

即: sin A ? sin A cos C ? sin C ? sin C cos A ? 3sin B

? 2b

例7、在△ABC中,若 则△ABC的形状是______________。
1 (1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B) ? cos 2( A ? B) ? 1, 2 1 (cos 2 A ? cos 2 B) ? cos 2 ( A ? B) ? 0, 2

cos( A ? B) cos( A ? B) ? cos 2 ( A ? B) ? 0

cos A cos B cos C ? 0

例8、在△ABC中,若 b 分析:b
2 2

2

? ac ,则

cos(A ? C ) ? cos B ? cos 2B 的值是_________。

? ac,sin B ? sin A sin C ,
2

由 cos(A ? C ) ? cos B ? cos 2B 得:

? cos A cos C ? sin Asin C ? cos B ?1 ? 2sin B ? cos Acos C ? sin Asin C ? cos B ?1 ? 2sin Asin C

? cos Acos C ? sin Asin C ? cos B ?1
? cos( A ? C) ? cos B ?1 ? 1

例9、如果△ABC内接于半径为的圆,且
2 R(sin 2 A ? sin 2 C ) ? ( 2a ? b) sin B,

求△ABC的面积的最大值。
解:2 R sin A ? sin A ? 2R sin C ? sin C ? (
2

2a ? b)sin B,
2 2
2

a sin A ? c sin C ? ( 2a ? b)sin B, a ? c ? 2ab ? b ,
a ?b ?c 2 0 a ? b ? c ? 2ab,cos C ? ? , C ? 45 2ab 2
2 2 2 2 2

1 2 2 S ? ab sin C ? ab ? ? 2 R sin A ? 2 R sin B 2 4 4

2 2 ? ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? 2 R sin A sin B 4
2 2 ? ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? 2 R sin A sin B 4 1 2 ? 2 R ? ? [cos( A ? B) ? cos( A ? B)] 2
? ? 1 2 2 R ? ? [cos( A ? B ) ? ] 2 2 2R2 2 ? (1 ? ) 2 2
2

? Smax

2 ?1 2 ? R 2

此时 A ? B 取得等号

例10、已知△ABC的三边 a

? b ? c且 ? ,求 a:b:c a ? c ? 2b, A ? C ?
2

解:

A?C A?C A?C A?C sin A ? sin C ? 2sin B, 2sin cos ? 4sin cos 2 2 2 2
B 1 A?C 2 B 14 B B 7 sin ? cos ? ,cos ? ,sin B ? 2sin cos ? 2 2 2 4 2 4 2 2 4

3? B ? B A ? C ? , A ? C ? ? ? B, A ? ? ,C ? ? 2 4 2 4 2
3? 3? 3? 7 ?1 sin A ? sin( ? B) ? sin cos B ? cos sin B ? 4 4 4 4

?

? ? ? 7 ?1 sin C ? sin( ? B) ? sin cos B ? cos sin B ? 4 4 4 4

a : b : c ? sin A : sin B : sin C ?
( 7 ? 7 ) : 7 : (7 ? 7 )

例11、在△ABC中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac

AB 边上的高为 4 3, 且 tan A ? tan C ? 3 ? 3 , 求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长。
解: 1 2 2 2 0 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac, a ? c ? b ? ac,cos B ? , B ? 60 2
tan A ? tan C 3? 3 tan( A ? C ) ? ,? 3 ? , 1 ? tan A tan C 1 ? tan A tan C

tan A tan C ? 2 ? 3 又 tan A ? tan C ? 3 ? 3



? ? tan A ? 2 ? 3 ? ? tan A ? 1 或? ? ? ? ? tan C ? 1 ? tan C ? 2 ? 3

0 0 ? ? ? A ? 75 ? A ? 45 即: 或 ? ? 0 0 C ? 45 C ? 75 ? ? ? ?

当 A ? 750 , C ? 450时,
4 3 b? ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ? 1), a ? 8 sin A
0 0 A ? 45 , C ? 75 当 时,

4 3 b? ? 4 6, c ? 4( 3 ? 1), a ? 8 sin A



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