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高三一轮复习集合与函数测试题(含答案)



高三一轮复习集合与函数测试题
2012.9

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的 四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.已知命题“ ?x ? R, x ? 2ax ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是
2



)

A. (??,?1) 2、若 A ? x ? Z 2 ? 2 A.0

B. (1,??)
2? x

C. (??,?1) ? (1,??)

D. (—1,1) )

?

? 8 B ? ?x ? R log x x ? 1 ?,则 A ? (C R B) 的元素个数为(
C.2 D.3

?

B.1

3、 设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a x 在区间 [a, 2a] 上的最大值与最小值之差为 A. 2 B.4 C. 2 2 D.2

1 ,则 a ? ( 2



4、 在 R 上定义的函数 f ? x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 是减函数, 则函数 f ? x ? ( )

A.在区间 ?? 2,?1?上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1?上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1?上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1?上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 5 .设 ? ? ?? 1,1, A. -1,3

? ?

1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为( 2 ?
B.-1,1 C. 1,3 D.-1,1,3



1

6.已知 f ( x) ? ? A. (0,1)

?(3a ? 1) x ? 4 a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 x ?1 ?log a x,
B. (0, )
3

1 3

C. [ ,1)

1 7

D. [ , )

1 1 7 3

7.若函数 f ( x) ? ax ? b log 2 ( x ?

x 2 ? 1) ? 2 在 (??,0) 上有最小值-5, a , b 为常 (


数) ,则函数 f (x) 在 (0,??) 上(

A .有最大值 9
8.函数 y ?

B .有最小值 5

C .有最大值 3
( )

D .有最大值 5

9 ? x2 的图象关于 | x ? 4| ? | x ?3|
B. y 轴对称

A. x 轴对称

C.原点对称

D.直线 x ? y ? 0 对称

? x 2 ? 1( x ? 1) f ( x) ? ? 9.若函数 ,则 f(f(10)=( ?lg x( x ? 1)
A.lg101 B.2 C.1

) D.0

10.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f ( x ? 4) ,

0 当 x ? (?2,) 时,
A. ?

f ( x ) ? 2 x ,则 f (2012) ? f (2011) 的值为(
B.



1 2

1 2

C. 2

D. ? 2 )

11.已知函数 f(x)=x2+ax+b-3(x∈R)图象恒过点(2,0),则 a2+b2 的最小值为( 1 1 A.5 B. C.4 D. 5 4 ax ? b 12. 设函数 f ( x) = 2 的图象如下图所示,则 a、b、c 的大小关系是 x ?c
y

1 -1
O

1

x

-1

A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>a>c

D.c>a>b

2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题 中横线上)
13、函数 f ( x) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为__ 14、若

x ? log 4 3, 则(2 x ? 2? x ) 2 ?

___

15. 已知函数 f (x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 , 则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f (x) ? 16. .函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在 (??, 0] 上是增函数,若 f (a) ? f (2) ,则实数 a 的取 值范 围是______

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分) 计算: (1) 2
? 1 2

?

(?4) 0 2

?

1 2 ?1

? (1 ? 5 ) 0

(2) log 2 25 ? log 3

1 1 ? log 5 16 9

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? 在定义域 ? 0, ?? ? 上为增函数,且满足

f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ? 3? ? 1
(1)求 f ? 9 ? , f ? 27 ? 的值 (2)解不等式 f ? x ? ? f ? x ? 8 ? ? 2

3

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? ax 2 ? (b ? 8) x ? a ? ab, 的零点是-3 和 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当函数 f(x)的定义域是[0,1]时,求函数 f ( x) 的值域.

20. (本小题满分 12 分) 某地区预计明年从年初开始的前 x 个月内, 对某种商品的需求总量 f ( x)(万 ....

1 x( x ? 1)(35 ? 2 x) ( x ? N 且x ? 12) . 150 (1)写出明年第 x 个月的需求量 g ( x) (万件)与月份 x 的函数关系式,并求出哪个月份的需求量超
件)与月份 x 的近似关系为 f ( x) ? 过 1.4 万件; (2)如果将该商品每月都投放市场 p 万件,要保持每月都满足市场需求,则 p 至少为多少万件.

21..(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?
(2)用定义证明 f (x) 在 ?? ?,?? ? 上为减函数.

b ? 2x 是奇函数.(1)求 a, b 的值; 2x ? a

(3)若对于任意 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的范围.
2 2

22. (本小题满分 14 分)设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件:
2

①当 x ∈R 时, f ( x) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式; (3)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m ? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立。

4

试题答案
CCBDC 13. 0, 6 ? . ? 17 =2
? 1 2

DABBA

BB 15. ? x ? x 4 . :

?

4 14. 3


16. (

a ? ?2 或 a ? 2

? 1 2









?

1 2

?

1 2 ?1

? 1=2

?

1 2

?2

?

1 2

? 2 ?1 ?1 = 2 ? 2

? 2= 2? 2 ?2 2

(Ⅱ)原式= log 2 5 2 ? log 3 2 ?4 ? log 5 3 ?2 =

2 lg 5 (?4) lg 2 (?2) lg 3 ? ? ? 16 lg 2 lg 3 lg 5

18.解: (1) f ? 9 ? ? f ? 3? ? f ? 3? ? 2, f ? 27 ? ? f ? 9 ? ? f ? 3? ? 3 (2)? f ? x ? ? f ? x ? 8 ? ? f ? x ? x ? 8 ? ? ? f ? 9 ? ? ? 而函数 f(x)是定义在 ? 0, ?? ? 上为增函数

?x ? 0 ? ??x ? 8 ? 0 ?8? x?9 ? x( x ? 8) ? 9 ? 即原不等式的解集为 (8,9)
19. 解: (Ⅰ) f ( x) ? ?3x 2 ? 3x ? 18 ??(6 分) (Ⅱ)当 x ? 0时, f max ( x) ? 18,当x ? 1时, f min ( x) ? 12 故所求函数 f (x) 的值域为[12,18]????????(12 分) 20. 解: (1)由题设条件知 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? 整理得 x2 ? 12 x ? 35 ? 0,

1 x(12 ? x) ,. 25

?5 ? x ? 7, 又x ? N ,? x ? 6 .

即 6 月份的需求量超过 1.4 万件; (2)为满足市场需求,则 P ? g ( x) ,即 P ?

1 [?( x ? 6)2 ? 36] . 25

? g ( x) 的最大值为

36 36 36 ,P? ,即 P 至少为 万件. 25 25 25

21、解: (1)? f ( x)为R上的奇函数,? f (0) ? 0, b ? 1.

又f (?1) ? ? f (1), 得a ? 1.

经检验 a ? 1, b ? 1符合题意.
5

(2)任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x 2 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

2(2 x2 ? 2 x1 ) 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )( 2 x2 ? 1) ? (1 ? 2 x2 )( 2 x1 ? 1) ? x2 ? = x (2 1 ? 1)( 2 x2 ? 1) 2 x1 ? 1 2 ? 1 (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1)

? x1 ? x 2 ,? 2 x1 ? 2 x2 ? 0, 又 ? (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,? f ( x)为R上的减函数.
(3)? t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立, ? f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k )
2 2 2 2

? f (x) 为奇函数, ? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) ? f (x) 为减函数, ? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .
即 k ? 3t 2 ? 2t 恒成立,而 3t 2 ? 2t ? 3(t ? ) 2 ?

1 3

1 1 ?? . 3 3

1 ?k ? ? . 3
??????????3 分

22. 解: (1)在②中令 x=1,有 1≤f(1)≤1,故 f(1)=1 (2)由①知二次函数的关于直线 x=-1 对称,且开口向上 1 故设此二次函数为 f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a= 4 1 ∴f(x)= (x+1)2 4 (3)假设存在 t∈R,只需 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x. 1 f(x+t)≤x ? (x+t+1)2≤x ? x2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0. 4 令 g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

??????????7 分

? ? g (1) ? 0 ? ?4 ? t ? 0 ?? ? ? g ( m) ? 0 ?1 ? t ? 2 ?t ? m ? 1 ? t ? 2 ?t ?
∴m≤1-t+2 ? t ≤1-(-4)+2 ? (?4) =9 t=-4 时,对任意的 x∈[1,9] 恒有 g(x)≤0, ∴m 的最大值为 9. ?????????? 12 分

6



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