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高二上文科数学周练14及答案


高二上学期文科数学周练 14
一、选择题: (每小题只有一个正确答案,每小题 5 分,10 小题,共计 50 分) 1.设全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {3, 4} ,则 (CU A) ? B ? ( C. {2,3, 4} 1 3 2. 设 f ?( x ) 是 f ( x ) ? x ? x 的导函数,则 f ?(?1) 等于 3 4 A.-2 B.0 C.2 D. ? 3 B. {3, 4} 3.直线 mx ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 和直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直, 则实数 m 的值为( ) A.-1 B.0 C.2 D.-1或0 4. 已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形, 俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于 A.
俯视图



A. {4}

D. {3}
2 3

2 正视图 侧视图

2 2 3

B .

4 3 3

C.

8 3 3

D. 8 3

5.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图 (如图所示) ,则甲、乙两人得分的中位数之和是( ) A.62 B.63 C.64 D.65 6.若 {an } 为等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 S13 = A. 3 B. ? 3 C. ? 3

26? ,则 tan a7 的值为( )。 开始 3

3 3 ? ? ? ? ? ? 7.已知向量 a ? (2,1) , a ? b ? 10 , | a ? b |? 5 2 ,则 | b |? ( A. 5 B. 10 C. 5 D. 25
D. ? 8.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为( A.0 B.
3 2

s ? 0, n ? 1


n ? 2011

s ? s ? sin n? 3





C. 3

D. ?

3 2

输出 s 结束

9.下列有关命题的叙述错误的是
2




2

A.对于命题 P : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 则?P为:?x ? R,x ? x ? 1 ? 0 B.若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题 C. “ x ? 2 ”是 " x ? 3x ? 2 ? 0" 的充分不必要条件
2

n ? n?1

D.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3x ? 2 ? 0 ”
2 2

10.已知 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数, g ( x) ? [ x] 为取整数, x0 是函数 f ( x) ? ln x ? 的零点,则 g ( x0 ) 等于( A.5 题号 答案 1 B.4 2 3 4 ) C.3 5 6 7 8 D.2 9 10

2 x

-1-

二.填空题: 11. 在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,-3,1),则|AB|=_________. 12.棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点都在球面上,则 AC1 的长是_________,球 的表面积是___________. 13.设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ,若对任意实数 m ,直线 x ? y ? m ? 0 都不是曲线 y ? f ( x) 的 切线,则 a 的取值范围是
2



14.直线 l 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,且与抛物线的交于 A、B 两点,若线段 AB 的长 是 8,AB 的中点到 y 轴的距离是 2,则此抛物线方程是 三.解答题: 15.已知函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? 1 。

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(2)设△ ABC 的内角 A, B, C 对边分别为 a , b, c ,且 c ? 3, f (C) ? 3 ,若 2sin A ?sin B , 求 a , b 的值. .

16.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名
学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100), [100,110),?,[140,150)后得到如下部分频率分布 直方图.观察图形的信息,回答下列问题: 1)求分数在[120,130)内的频率,并补全频率分布直方图; 2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值作为这组数据的平均分,据此,估计本次考试的 平均分;3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该 样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率.

-2-

17.如图,已知平面 ABEF ? 平面 ABCD ,四边形 ABEF 为矩形,四边形 ABCD 为直角梯 形, ?ADC ? 900 , AB // CD , AD ? AF ? a, AB ? 2CD ? 2a . (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证: AC ? 平面 BCE ;
A F E

(3)求四棱锥 C ? ABEF 的体积.
B C

D

?? x3 ? x 2 ? bx ? c ( x ? 1) 2 18.已知函数 f ( x) ? ? 的图象过点 (?1, 2) ,且在 x ? 处取得极值. 3 ( x ? 1) ?a ln x
(1)求实数 b, c 的值; (2)求 f ( x ) 在 [?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值.

-3-

19. 设数列 {an } 的前 n 项的和为 S n , a1 ? 的通项公式;

3 , S n ? 2an ?1 ? 3 。 (1)求 a2 , a3 ; (2)求数列 {an } 2 (3)设 bn ? (2log 3 an ? 1) ? an , 求数列{bn } 的前 n 项的和 Tn 。
2

20.(本小题满分14分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别是 F1 (?c,0), a 2 b2

F2 (?c,0), 直 l : x ? my ? c 与椭圆 C 交于两点 M , N 且当 m ? ?
M是椭圆 C 的上顶点,且 ?MF 1F2 的周长为6. (1) 求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左顶点为A,直线

3 时, 3

AM , AN 与直线: x ? 4 分别相交于点 P, Q ,问当 m 变
化时,以线段 PQ 为直径的圆被 x 轴截得的弦长是否 为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由

-4-

潮南实验学校第一学期高二数学文科周练 14 答案
一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共5分) 1——5ABDCB 二、填空题: 11. 15 6——10BCBBD 12. 3 , 3? 13 a <1/3 14 y=8x

10

16.(1)分数在[120,130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3.(2)估计平均 分 为 x = 95×0.1 + 105×0.15 + 115×0.15 + 125×0.3 + 135×0.25 + 145×0.05 = 121.(3) 由 题 意 , [110,120)分数段的人数为 60× 0.15=9(人).[120,130)分数段的人数为 60× 0.3=18(人).∵用分 层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段 内抽取 2 人,并分别记为 1,2;在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a,b,c,d;设“从 样本中任取 2 人, 至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A, 则基本事件共有(1, 2), (1, a), …, (1,d),(2,a),…,(2,d),(a,b),…,(c,d)共 15 种.则事件 A 包含的基本事件有(1,2), (1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d)共 9 种. 9 3 ∴P(A)= = . 15 5 17.解: (I)因为四边形 ABEF 为矩形,所以 AF//BE, BE ? 平面BCE, AF ? 平面BCE , 所以 AF//平面 BCE.

???? 4 分

(II)过 C 作 CM ? AB,垂足为 M,因为 AD ? DC ,所以四边形 ADCM 为矩形. 所以 AM ? MB = a.又因为 AD ? a, AB ? 2CD ? 2a , 所以 AC ? BC ? AB , 因为平面 ABEF ? 平面 ABCD ,四边形 ABEF 为矩形,
2 2 2

F

E

AC ? 2a, BC ? 2a 所以 AC ? BC .
A M B

所以 BE ? 平面ABCD, AC ? 平面ABCD, 所以 BE ? AC .
D

BE ? 平面BCE, BC ? 平面BCE, BE ? BC ? B ,所以 AC ? 平面BCE .

C

?..10 分
-5-

(III)因为 平面ABCD ? 平面ABEF, 平面ABCD ? 平面ABEF ? AB, CM ? AB ,

CM ? 平面ABCD ,所以 CM ? 平面ABEF .

1 1 2 VC ? ABEF ? CM ? S 矩形ABEF ? ? a ? a ? 2a ? a 3 . ??.14 分 3 3 3
18.解: (1)当 x ? 1 时, f '( x) ? ?3 x ? 2 x ? b , ??????????????1分
2

?f ? ? ?f 由题意得: ?

? ?1? ? 2

?2 ? b ? c ? 2 ? ?2? 4 4 ? '? ? ? 0 ?3 ? ? ? b ? 0 ? 3 ? ? 9 3 ,即 ? , ?????????????3分
?????????????5分

解得: b ? c ? 0 。

? ? x 3 ? x 2 ( x ? 1) f ( x) ? ? ( x ? 1) ?a ln x (2)由(1)知:
①当 ?1 ? x ? 1 时, f '( x) ? ? x(3 x ? 2) ,

' 解 f ( x) ? 0 得

0? x?

2 2 ? x ?1 ' ( x) ? 0 f 3 ;解 得 ?1 ? x ? 0 或 3

2 2 ( ,1) (0, ) 0) 和 3 上单减,在 3 上单增, ∴ f ( x) 在 (?1,
由 f '( x) ? ? x(3 x ? 2) ? 0 得: x ? 0 或

x?

2 3 ,???????????????6分



2 4 f (?1) ? 2,f ( ) ? ,f (0) ? 0,f (1) ? 0 3 27 ,

∴ f ( x) 在 [?1,1) 上的最大值为 2 . ????????????????????8分 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? a ln x , 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 a ? 0 时, f ( x) 在 [1, e] 单调递增; ∴ f ( x) 在 [1, e] 上的最大值为 a 。 ????????????????????10分 ∴当 a ? 2 时, f ( x) 在 [?1, e] 上的最大值为 a ; ??????????????11分 当 a ? 2 时, f ( x) 在 [?1, e] 上的最大值为 2 . ??????????????12分 19.(1)∵ a1 ?

a ?3 9 3 , Sn ? 2an ?1 ? 3,? S1 ? 2a2 ? 3,? a2 ? 1 ? (1分) 2 2 4

-6-

同理S2 ? 2a3 ? 3,? a3 ? 3 即an?1 ? an 2

a1 ? a2 ? 3 27 ? 2 8 (2)当n ? 2时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ?1 ? 3 ? (2an ? 3)

3 (4分),由(1)显然a2 ? a1 (5分) 2 3 3 3 ?{an }是以a1 ? 为首项 为公比的等比数列 ? an ? ( ) n (6分) 2 2 2 3 n 3 n 3 n (3)由(2)知 bn ? (2log 3 an ? 1) ? an ? [2log 3 ( ) ? 1] ? ( ) ? (2n ? 1) ? ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 Tn ? 3 ? ( )1 ? 5 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ? ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 ? (2n ? 1) ? ( ) n ??① 2 2 2 2 2

(7分)

3 3 3 3 3 3Tn ? 3 ? ( ) 2 ? 5 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (2n ? 1) ? ( ) n ? (2 n ? 1) ? ( ) n ?1 ??② (8 分) 2 2 2 2 2 1 9 3 2 3 3 3 n ?1 3 n ?1 ①-②得: ? Tn ? ? 2 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? ? ? 2 ? ( ) ? (2n ? 1) ? ( ) 2 2 2 2 2 2 9 3 [1 ? ( )n ?1 ] 9 3 3 3 3 9 3 2 ? ? 2[( )2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ?1 ] ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 ? ? 2 ? 4 ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 3 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 9 3 n 9 3 n 9 ? ( ? 3n) ? ( ) ? (11分) ?Tn ? (6n ? 9) ? ( ) ? (12分) 2 2 2 2 2

? 2a ? 2c ? 6 3 ? 120 ? 20.解: (1)当 m ? ? 时,直线的倾斜角为 ,所以: ? c ????3分 3 ? cos 60 ? ? ?a
解得: a ? 2, c ? 1 ? b ? 3 , ??????????????????????5分

所以椭圆方程是:

x2 y 2 ? ? 1 ;??????????????????????6分 4 3

(1) 当 m ? 0 时, (2) 直线 l 的方程为: x ? 1 , (3) 此时, (4) M , N 点的坐标(5)

3? ? 3? ? ?1, ? , ?1, ? ? 2?, 分别是 ? 2 ? ? (6)
P, Q 两点坐标(9)
分别是

又 A 点坐标(7) 是

? ?2,0? , (8)

由图 可以得到

? 4,3? , ? 4, ?3? , (10)

以 PQ 为直径的圆过右焦点, ( 11 ) 以 PQ 为直径的圆恒过 值 6 , ( 15 )

被 x 轴截得的弦长为6, (12) 焦点

猜测当 m 变化时, (13) 得 的 弦 长 为 定

F2 , (14)



x





????????????????????????8分
-7-

证明如下: 设点 M , N 点的坐标分别是

? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ?

y x?2 ? y x1 ? 2 , ,则直线 AM 的方程是: 1

? 6 y1 ? ? 6 y2 ? ? 4, ? ? 4, ? x ? 2 Q 1 ? ,同理,点 的坐标是 ? x2 ? 2 ? ,???????9分 所以点 P 的坐标是 ?
? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4 2 ? x ? my ? 1 3 ? my ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? ? 3m2 ? 4 ? y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ? 由方程组 得到: ,
y1 ? y2 ? ?6m ?9 , y1 y2 ? 2 3m ? 4 3m 2 ? 4 ,?????????????????11分

所以:

???? ? ???? ? F2 P ? F2Q ? ? 4 ? 1?? 4 ? 1? ?
从而:

36 y1 y2 36 y1 y2 ? 9? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? my1 ? 3?? my2 ? 3?

? 9?

36 y1 y2 ?9 ? 36 ? 9? 2 m y1 y2 ? 3m ? y1 ? y2 ? ? 9 ?9m ? 18m2 ? 27m2 ? 36
2

=0,

所以:以 PQ 为直径的圆一定过右焦点

F2 ,被 x 轴截得的弦长为定值6.?????14分

-8-


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