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广东省汕头市2015-2016学年高一下学期期末教学质量监测数学试题



绝密★启用前 A

试卷类型:

汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测

高 一 数 学
本试卷共4页,22小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡

相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错 涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

选择题

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ? x 0 ? x ? 2? , B ? x x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则 A ? B ? ( A. ? 0,1? B. ?1,2 ? ) C.
3 2

?

?

) D. ? 0,2 ?

C. ? ?2,2 ?

2. sin 160? cos 10? ? cos 20? sin 10? =( A.
1 2

B.﹣

1 2

D.﹣ ) .

3 2

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A. y ? x 3 , x ? R
1 D. y ? ( ) x , x ? R 2

B. y ? sin x, x ? R

C

y ? ? x, x ? R

? ? ? ? 4.已知 a ? b ,并且 a =(3, x ), b =(7,12), 则 x =(

)
7 3

A.﹣

7 4

B.

7 4

C.﹣

D.

7 3

5.若 tan ? ? A.

4 ,则 cos 2? 等于( 3

) D.
7 5

7 7 B. ? C.1 25 25 6.某学校数学兴趣班共有14人,分为两个小组,在一次阶段

考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生成 绩的平均数是88, 乙组学生成绩的中位数是89, 则m?n 的 值是( A.10 ) B.11 C.12 D.13

7.已知 0 ? x ? y ? a ? 1 ,则有 A. log a ? xy ? ? 0 8.要得到 y ? sin(?2 x ? A.向左平移 B. 0 ? log a ? xy? ? 1 C.1 ? log a ? xy? ? 2 ) D.log a ? xy? ? 2

?
4

) 的图象,只需将 y ? sin(?2 x) 的图象(

?
4

个单位 个单位

B.向右平移 D.向右平移

?
4

个单位 个单位 )

C. 向左平移

?
8

?
8

? ? ? ? ? ? ? ? 9.已知平面向量 a 、 b 满足: 2 a ? b ? 2 a ? b ? 0,则 a 与 b 的夹角为(
A.

?
3

B.

?
6

C.

2? 3

D.

5? 6

10.如果执行右面的框图,输入 N =5,则输出的数等于( A.
5 4

)

B.

4 5

C.

6 5

D.

5 6

11.已知 a , b 均为正数,且 a ? b ? 1 ,则 A.24 B.25 C.26

4 9 ? 的最小值为( a b

)

D.27

12.已知 x ? R ,用 A( x) 表示不小于 x 的最小整数,如 A( 3) ? 2 ,

A(?1.2) ? ?1 ,若 A(2 x ? 1) ? 3 ,则 x 的取值范围是(
? 3? A. ?1, ? ? 2? ? 3? B. ? 1, ? ? 2? ?1 ? C. ? ,1 ? ?2 ?

)
?1 ? D. ? ,1 ? ?2 ?

第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分. 13.高一(4)班有5位同学参加夏令营植树活动,其中男生2人,女生3人,从这5人中任意选 出2人去浇水,选出的2人都是男生的概率是 ;

? x ? 4 y ? ?3 ? 14.已知 x , y 满足不等式 ?3 x ? 5 y ? 25 ,且函数 z ? 2 x ? y ? a 的最大值为8,则常数 a 的 ?x ? 1 ?

值为


1 ? 的一条对称轴方程为 x ? , 则函数 f ( x) 的最大 2 6

15. 已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin 2 x ? 值为 ;

? a, a ? b 16.定义一种运算 a ? b ? ? ,令 f ? x ? ? ? 3 x 2 ? 6 x ? ? (2 x ? 3 ? x 2 ) ,则函数 f ( x) 的最 b , a ? b ?

大值是



三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分10分) 已知 S n 为等差数列 ? an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?15 , S5 ? ?55 . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)若不等式 S n ? t 对于任意的 n ? N* 恒成立,求实数的取值范围. 18.(本小题满分12分) 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为 a 、 b 、 ,且满足 c sin A - 3 a cos C =0. (1)求角C的大小; (2)若 c ? 2 ,求△ABC的面积 S 的最大值. 19.(本小题满分12分) 从某大学一年级女生中, 选取身高分别是150cm、 155cm、 160cm、 165cm、 170cm 的学生各一名,其身高和体重数据如表所示: 身高/cm (x) 体重/kg (y) 150 43 155 46 160 49 165 51 170 56

(1)求 y 关于 x 的线性回归方程;

? 为多少? (2)利用(1)中的回归方程,计算身高为168cm时,体重的估计值 y
? ?a ?? ? ,其中 b y ? bx 参考公式:线性回归方程 ?

?(x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )

? ( xi ? x )2
i ?1

?

? x y ? nxy
i ?1 n i i

n

? xi2 ? nx 2
i ?1



? . ? ? y ? bx a

20.(本小题满分12分) 设函数 f ( x) ? ax 2 ? ( a ? 1) x ? 1 . (1)若不等式 f ( x) ? mx 的解集为 ? x 1 ? x ? 2? ,求实数 a 、 m 的值; (2)解不等式 f ( x) ? 0 .

21.(本小题满分12分) 已知 S n 是数列 ? an ? 的前 n 项和,且 S n ? 2 an ? n ? 4 . (1)求 a1 的值; (2)若 bn ? an ? 1 ,试证明数列 ? bn ? 为等比数列; (3)求数列 ? an ? 的通项公式,并证明: 22.(本小题满分12分) 对于函数 f ( x) ,若 x0 满足 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为函数 f ( x) 的一阶不动点;若 x0 满足
1 1 1 ? ?? ? ?1. a1 a2 an

f ? f ( x0 )? ? x0 ,则称 x0 为函数 f ( x) 的二阶不动点.
(1)若 f ( x) ? 2 x ? 3 ,求 f ( x) 的二阶不动点; (2)若 f ( x) 是定义在区间D上的增函数,且 x0 是函数 f ( x) 的二阶不动点,求证: x0 也必 是函数 f ( x) 的一阶不动点; (3)设 f ( x) ? ex ? x ? a , a ? R ,若 f ( x) 在 ? 0,1? 上存在二阶不动点 x0 ,求实数 a 的取值 范围.

汕头市 2015—2016 学年度普通高中教学质量监测 高一数学答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 D 8 D 9 A 10 D 11 B 12 D

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 ; 10

14. 4;

15. 1;

16. 4

三、解答题(满分 70 分) 17.解: ⑴ 设等差数列 ?a n ? 的公差为 d , 则由 a1 ? ?15 , s 5 ? 5a1 ? 得 ? 15 ? 5 ? 10d ? ?55 , 解得 d ? 2 ,

5? 4 d 2

……… 1 分

……… 2 分 ……… 3 分 ……… 4 分 ……… 5 分 ……… 6 分

∴ a n ? ?15 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 17 , 所以数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 2n ? 17 , ⑵由⑴得 S n ?

n(?15 ? 2n ? 17) ? n 2 ? 16n , 2

∵ S n ? n 2 ? 16n ? (n ? 8) 2 ? 64 ? ?64

……… 7 分

∴对于任意的 n ? N* , S n ? ?64 恒成立,……… 8 分 ∴若不等式 S n ? t 对于任意的 n ? N* 恒成立,则只需 t ? ?64 ,……… 9 分 因此所求实数的取值范围为 (??,?64) 。 18.解:⑴ ∵ c sin A ? ……… 10 分

3a cos C , 3 sin A cos C ,
……… 2 分

∴由正弦定理得 sin C sin A ? ∵0 ? A ? ? , ∴ sin A ? 0 , ∴ tan C ? ……… 3 分

3

……… 4 分

∵0 ? C ? ? , ∴C ?

?
3

……… 6 分

⑵由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ,又 c ? 2 , C ? ∴ 4 ? a 2 ? b 2 ? ab , ∵ a ? 0 ,b ? 0 ∴ ab ? 4 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ,……… 9 分 ∴ ab ? 4 ,当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立, ∴ S ?ABC ?

?
3

……… 8 分

……… 10 分

1 3 ab sin C ? ab ? 3 ,当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立,………11 分 2 4
……… 12 分

∴△ABC 的面积 S 的最大值为 3 。 19. 解:⑴由已知数据,可得 x ?

1 (150 ? 155 ? 160 ? 165 ? 170) ? 160 , 5

1 y ? (43 ? 46 ? 49 ? 51 ? 56) ? 49 ,………1 分 5

? (x
i ?1

5

i

? x )( y i ? y ) ? (150 ? 160)(43 ? 49) ? (155 ? 160)(46 ? 49) ? (160 ? 160)(49 ? 49) ?
(165 ? 160)(51 ? 49) ? (170 ? 160)(56 ? 49) ? 155

………2 分

? (x
i ?1

5

i

? x ) 2 ? (150 ? 160) 2 ? (155 ? 160) 2 ? (160 ? 160) 2 ? (165 ? 160) 2 ? (170 ? 160) 2 ? 250

, ……… 3 分

?? ∴b

? (x
i ?1 5

5

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

? x)

2

155 ? 0.62 , 250

……… 5 分

?x ? 49 ? 0.62 ? 160 ? ?50.2 ? ? y ?b a

……… 7 分 ……… 9 分

∴ y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 0.62 x ? 50.2 ,

? ? 0.62 ? 168 ? 50.2 ? 53.96 (kg)……… 11 分 ⑵由⑴知,当 x ? 168 时, y

? 为 53.96kg。 因此,当身高为 168cm 时,体重的估计值 y

……… 12 分

20. 解:⑴∵ f ( x) ? ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 , ∴不等式 f ( x) ? mx 等价于 ax ? (a ? m ? 1) x ? 1 ? 0 ,
2

……… 1 分

2 依题意知不等式 ax ? (a ? m ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 x 1 ? x ? 2 ,

?

?

∴ a ? 0 且 1 和 2 为方程 ax ? (a ? m ? 1) x ? 1 ? 0 的两根,
2

……… 2 分

? ?a ? 0 ? a ? m ?1 ? ∴ ?1 ? 2 ? , a ? 1 ? 1? 2 ? ? a ?
1 ? ?a ? 解得 ? 2, ? ?m ? 0
……… 5 分

……… 3 分

∴实数 a 、 m 的值分别为 a ? 1 、 m ? 0 , ⑵不等式 f ( x) ? 0 可化为 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 ,

……… 6 分

(ⅰ)当 a ? 0 时,不等式 f ( x) ? 0 等价于 ? x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,故原不等式的解集为

?x x ? 1?,… 7 分
(ⅱ)当 a ? 0 时,不等式 f ( x) ? 0 等价于 ( x ? ①当 0 ? a ? 1 时

1 )( x ? 1) ? 0 , a

? 1? 1 1 ? 1 ,不等式 ( x ? )( x ? 1) ? 0 的解集为 ? x 1 ? x ? ? ,即原不等式的 a? a a ? 1? ?, a?
……… 8 分

解集为 ? x 1 ? x ?

? ?

②当 a ? 1 时,不等式 ( x ? 分 ③当 a ? 1 时

1 )( x ? 1) ? 0 的解集为 ? ,即原不等式的解集为 ? , a

………9

? 1 ? 1 1 ? 1 ,不等式 ( x ? )( x ? 1) ? 0 的解集为 ? x ? x ? 1? ,即原不等式的解集 a a ? a ?
……… 10 分

为 ?x

? 1 ? ? x ? 1? , ? a ?

(ⅲ)当 a ? 0 时,不等式 f ( x) ? 0 等价于 ( x ? ∵ a ? 0,

1 )( x ? 1) ? 0 , a



1 ? 1, a

∴ 不 等 式 (x ?

1 )( x ? 1) ? 0 的 解 集 为 a

? ? 1 ? x x ? 或x ? 1? , 即 原 不 等 式 的 解 集 为 a ? ?

? ? 1 ? x x ? 或x ? 1? ,… 11 分 a ? ?
综上所述,当 a ? 1 时不等式 f ( x) ? 0 的的解集为 ? x 当 a ? 1 时不等式 f ( x) ? 0 的的解集为 ? , 当 0 ? a ? 1 时不等式 f ( x) ? 0 的的解集为 ? x 1 ? x ?

? 1 ? ? x ? 1? , ? a ?

? ?

1? ?, a?

当 a ? 0 时不等式 f ( x) ? 0 的的解集为 x x ? 1 , 当 a ? 0 时不等式 f ( x) ? 0 的的解集为 ? x x ?

?

?

? ?

? 1 或x ? 1? 。 a ?

……… 12 分

21. 解:⑴∵ s n ? 2a n ? n ? 4 ∴当 n ? 1 时, s1 ? 2a1 ? 1 ? 4 ,解得 a1 ? 3 ⑵证明:∵ s n ? 2a n ? n ? 4 , ∴当 n ? 2 时, s n ?1 ? 2a n ?1 ? (n ? 1) ? 4 , ……… 3 分 ………4 分 ……… 2 分

s n ? s n ?1 ? (2a n ? n ? 4) ? (2a n ?1 ? n ? 5) ,即 a n ? 2a n ?1 ? 1 ,
∴ a n ? 1 ? 2(a n ?1 ? 1) , 又 bn ? a n ? 1 ,所以 bn ? 2bn ?1 ,且 b1 ? a1 ? 1 ? 2 ? 0 , 所以数列 ?bn ? 是以 b1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。 ⑶由⑵得 bn ? 2 n ,所以 a n ? 2 n ? 1 ∴ ……… 8 分

……… 6 分 ……… 7 分

1 1 1 ? n ? n, an 2 ? 1 2

……… 10 分



1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 ? ( )n ? 1 a1 a 2 an 2 2 2 2 2

……… 12 分

22.解:⑴若 f ( x) ? 2 x ? 3 ,则 f ? f ( x)? ? 2(2 x ? 3) ? 3 ? 4 x ? 9 , ……… 1 分 由 f ? f ( x)? ? x ,得 4 x ? 9 ? x ,解得 x ? ?3 , ∴函数 f ( x) ? 2 x ? 3 的二阶不动点为 x ? ?3 , ⑵证明:∵ x 0 是函数 f ( x) 的二阶不动点, ∴ f ? f ( x 0 ? ? x 0 ,……… 4 分 记 f ( x 0 ) ? t ,则 f (t ) ? x 0 , 若 t ? x0 , 则由 f ( x) 在区间 D 上为增函数, 有 f (t ) ? f ( x 0 ) , 即 x0 ? t , 这与假设 t ? x 0 相 矛盾;… 5 分 若 t ? x 0 ,则由 f ( x) 在区间 D 上为增函数,有 f (t ) ? f ( x 0 ) ,即 x 0 ? t ,这与假设 t ? x 0 相矛盾;… 6 分 ∴ t ? x 0 ,即 f ( x 0 ) ? x 0 , ∴ x 0 是函数 f ( x) 的一阶不动点,命题得证;
x

……… 2 分 ……… 3 分

……… 7 分

⑶函数 f ( x) ? e ? x ? a 在 R 上单调递增, 则由⑵可知, 若 f ( x) 在 ?0,1? 上存在二阶不动点

x0 , 则 f ( x) 在 ?0,1? 上也必存在一阶不动点 x 0 ; 反之, 若 f ( x) 在 ?0,1? 上存在一阶不动点 x 0 ,
即 f ( x 0 ) ? x 0 , 那 么 f ? f ( x 0 ? ? f ( x 0 ) ? x 0 , 故 f ( x) 在 ?0,1? 上 也 存 在 二 阶 不 动 点

x0 。……… 8 分
所以函数 f ( x) 在 ?0,1? 上存在二阶不动点 x 0 等价于 f ( x) ? x 在 ?0,1? 上有解, 分 即方程 e x ? x ? a ? x 在 ?0,1? 上有解,……… 10 分 ∴ a ? ?e x 在 ?0,1? 上有解,
x

……… 9

……… 11 分
x

由 x ? ?0,1?可得 e ? ?1, e? ,∴ ? e ? ?? e,?1? , ∴ a 的取值范围是 ?? e,?1? 。 ……… 12 分



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