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2.1.1曲线与方程



2.1.1 曲线与方程 一、【教学目标】
重点: 通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系,理解曲线的方程、方程的曲线的概念. 难点:对曲线与方程的概念的理解. 知识点:能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义,并结合具体例子对定义进行解释. 可以求出简 单曲线的方程,画出简单方程的曲线. 能力点:用合适的方式解释曲线的方程的作用,说明解析法的价值. 教育点:加深对数

形结合的理解. 自主探究点:把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和 同学交流,获得更好的理解和方法的改进. 考试点:把曲线(图形)看成点运动的结果,把对一个整体图形的研究变为对图上任意点的特点的研究. 易错易混点:自觉按照规范的步骤分析解决相关问题,自变量范围的界定. 拓展点:链接高考.

二、【引入新课】
[创设情境] 提问:在必修 2 中我们过直线和圆,然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究,那么, 与初中相比,高中研究的方法有什么不同呢?借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题? 老师引导学生得出:用解析的方法,研究直线的位置关系(如平行、相交、重合) ,直线与圆的位置 关系、圆与圆的位置关系?? 老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升: 第一,对比初、高中对直线和圆的研究,我们发现,研究的问题都是相似的,但是研究的方法不同 . 初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题,而高中是利用方程,凭借几条简单的数的运算法则解 决问题的. 第二,在今后的学习中,我们会发现方程的作用很强大,利用方程我们可以研究更多的几何图形(曲 线) ,对几何图形的认识会更加深入、更加细致. 本节课,我们将继续研究一般曲线与方程的关系,进一步体会曲线、方程两个不同领域的对象是怎样 结合在一起的. 【设计意图】从学生的认知基础出发,讨论初中、高中在研究直线、圆两个几何对象的异同点.高中 主要是对这些几何对象和它们间的关系用代数的、 主要是方程的方法、 方程的语言做了重新的描述, 于是, 这些几何对象、几何关系就成为了代数的对象、代数的关系,实现了几何问题代数化 .把借助形象、综合 的几何性质进行推理的问题变成了代数运算问题(机械化,借助于几条稳定的而可靠的运算性质得到更为 丰富的结论) ,对对象的认识更加准确. 进一步激发学生对一般曲线与方程关系的研究兴趣.

三、【探究新知】
探究一、 曲线的方程与方程的曲线 问题 1.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线与方程 x ? y ? 0 有什么关系?
y M O x-y=0 x

解答:如果 M ( x0 , y0 ) 是这条直线上的任一点,它到两坐标轴的距离相等,即 x0 ? y0 ,那么它的坐标

( x0 , y0 ) 是方程 x ? y ? 0 的解;反过来,若 ( x0 , y0 ) 是方程 x ? y ? 0 的解,即 x0 ? y0 ,那么以这个解为
坐标的点到到两坐标轴的距离相等,它一定在这条直线上.
2 2 2 问 题 2. 以 ( a , b) 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 和 方 程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 有 r 什么关系?

y M(x,y) c1 x O

解答: 如果 M ( x0 , y0 ) 是圆上任一点, 那么它到圆心的距离一定等于半径, 即 ( x0 ? a ) ? ( y0 ? b) ? r,
2 2

也就是 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ,这说明它的坐标 ( x0 , y0 ) 是方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的解;反过来,
2 若 M ( x0 , y0 ) 是 方 程 ( x ? a2 的 ) ? (y ? b ) ?2 r 解 , 即 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 也 就 是

( x0 ? a )2 ? ( y0 ? b)2 ? r, 即以这个解为坐标的点到点 ( a, b) 的距离为 r , 它一定在以 ( a , b) 为圆心, 以r
为半径的圆上. 结论:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f ( x, y ) ? 0 的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 问题 3. 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y ) ? 0 的解,能否说 f ( x, y ) ? 0 是曲线 C 的方程? 解答:不能,还要验证以方程 f ( x, y ) ? 0 的解为坐标的点是不是都在曲线上.如以原点为圆心,以 2 为 半径的圆的上半部分和方程

x2 ? y 2 ? 4 .

总之,曲线与方程可以看作是同一事物 曲线的方程 的两种不同的表现形式,其关系如右图.曲 线的方程是曲线的代数形式,方程的曲线是 方程的几何形式,曲线的性质可以在方程中 一一对应 体现出来,方程的性质也可以通过曲线反映 方程的解 曲线的点 出来. 【设计意图】“曲线的方程与方程的曲线” 的定义中所列的两个条件,正好组成两个集 方程的曲线 合相等的充要条件,二者缺一不可.这就是 我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线 是不是所给方程的曲线的准则.因此,这里通过设计可能暴露学生认识缺陷的问题,通过对话澄清、强化 概念. 探究二、由方程判断曲线 例 1.下列方程表示如图所示的直线,对吗?为什么?不对请改正. (1) 解

x ? y ? 0 ;(2) x2 ? y 2 ? 0 ;(3) x ? y ? 0 . y ? 0 的解,如点(-1,-1)等,
2 2

(1)中曲线上的点不全是方程 x ?

即不

符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论; (2)中,尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”,但以方程 x ? y ? 0 的 解为 坐标的点不全在曲线上,如点(2,-2)等,即不符合“以方程的解为坐标 的点 都在曲线上”这一结论; (3) 中,类似 (1)(2) 得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”,“以方程的解为坐标的点都在曲线 上”.事实上,(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况:

【设计意图】通过观察、分析,完整地用方程表示曲线,用曲线表示方程的例子,又观察、分析了以上问 题中所出现的方程和曲线间所建立的不完整的对应关系,加深对概念的理解.准确地作出图形是以上求解 分析的关键. 探究三、点和曲线的关系 例 2. 已知方程 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 10 . (1)判断点 P(1, ?2), Q( 2,3) 是否在此方程表示的曲线上;

m , ?m) 在此方程表示的曲线上,求 m 的值. 2 解 (1)∵ 12 ? (?2 ? 1)2 ? 10 ,
(2)若点 M (

2 ? (3 ? 1) 2 ? 6 ? 10 ,
∴ P(1, ?2) 在方程 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 10 表示的曲线上,

2

Q( 2,3) 不在此曲线上. m 2 2 (2)∵ M ( , ? m ) 在方程 x ? ( y ? 1) ? 10 表示的曲线上, 2 m 2 2 ∴ ( ) ? ( ?m ? 1) ? 10 . 2 18 解得 m ? 2 或 m ? ? . 5
【设计意图】(1)判断点是否在某个方程 的曲线上,就是检验该点的坐标是否是 的解,是否适合方程.若适合方程,就 点在曲线上;若不适合,就说明点不在 上. (2)已知点在某曲线上,可将点的坐标代 线的方程,从而可研究有关参数的值或 问题. 曲线的方程 表 方 说 曲 示 程 明 线

一一对应

方程的解
方程的曲线

曲线的点

入 曲 范 围

四、【理解新知】
1.曲线与方程的关系如图所示.

2. 判断方程表示什么曲线,必要时可

对方 程适当变形,变形过程中一定要注意与原方程等价,否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线. 3.判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是否是方程的解,是否适合方程.若适合方 程,就说明点在曲线上;若不适合,就说明点不在曲线上. 4.已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关参数的值或范围问题.

五、【运用新知】
例 3.判断下列命题是否正确: (1)设点 A(2,0), B(0,2) ,则线段 AB 的方程是 x ? y ? 2 ? 0 ;

25 ? x 2 ; 2 2 (3)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 x ? y ? 0 . 解: 命题(1)中方程 x ? y ? 2 ? 0 表示一条直线,坐标满足该方程的点如 ( ?1,3) 等不在线段 AB 上,故命
题(1)错误;

(2)到原点的距离等于 5 的动点的轨迹方程是 y ?

命题 (2) 中到原点距离等于 5 的动点的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 25 ,方程 y ?

25 ? x 2 表示的曲线是圆

x 2 ? y 2 ? 25 除去 x 轴下半部分的曲线,故命题(2)错误; 命题 (3) 中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 y ? ? x ,满足 x2 ? y 2 ? 0 ,反过来坐标满足方程 x2 ? y 2 ? 0 的点到两坐标轴的距离相等,故命题(3)正确.
变式练习 1. (1)已知方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 36 表示的曲线经过点 O (0,0) 和点 A(0, ?12) ,求 a , b 的值; (2)若曲线 y 2 ? xy ? 2 x ? k ? 0 过点 ( a, ?a ) (a ? R) ,求 k 的取值范围. 解 (1)∵点 O (0,0) 和点 A(0, ?12) 都在方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 36 表示的曲线上, ∴点 O (0,0) 和点 A(0, ?12) 的坐标都是方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 36 的解. ∴ (2)
2 2 ? ?a ? 0 ?(0 ? a ) ? (0 ? b) ? 36 ? ? ? 2 2 ?(0 ? a ) ? ( ?12 ? b) ? 36 ?b ? ?6 ?

曲线 y ? xy ? 2 x ? k ? 0 过点 ( a, ?a ) ,
2

1 1 ? k ? ?(2a 2 ? 2a ) ? ?2( a ? ) 2 ? . 2 2 1 ?k ? . 2
【设计意图】通过变式练习进一步加深对概念的理解. 课堂巩固练习 1.已知坐标满足方程 f ( x, y ) ? 0 的点都在曲线 C 上,那么( A.曲线 C 上的点的坐标都适合方程 f ( x, y ) ? 0 B.凡坐标不适合 f ( x, y ) ? 0 的点都不在 C 上 C.不在 C 上的点的坐标必不适合 f ( x, y ) ? 0 D.不在 C 上的点的坐标有些适合 f ( x, y ) ? 0 ,有些不适合 f ( x, y ) ? 0 2.下列四个图形中,图形下面的方程是图形中曲线的方程的是 ( ) )

六、【课堂小结】
1.学习了曲线的方程、方程的曲线的概念,这个概念的本质就是曲线上的点与方程的解存在一一对 应的关系.所以今后在求曲线的方程时要有意识地从这两个方面加以验证,养成检验的习惯. 2.获得曲线的方程的方法就是将曲线视为点的集合,并将点所满足的条件用点的横、纵坐标之间的 关系来表示,就得到了方程.这一过程体现了数形结合的思想方法.连接几何与代数的桥梁就是平面直角坐 标系. 【设计意图】 加强对学生解题方法的指导.

七、【布置作业】
1.课本第 37 页练习 1,2; 2.课本第 37 页习题2.1第1题; 【设计意图】书面作业的布置,是为了让学生能够所学知识解决问题,规范书写,培养学生解决问题的能 力.

八、【教后反思】
1.曲线上点的坐标都是方程的解;方程的解都是曲线上的点,那么这个方程就叫做曲线的方程,曲 线叫做方程的曲线.学生对于这句话还是理解的,但是不清楚每句话的作用,也不太理解为什么要这样描 述曲线的方程和方程的曲线,有比这更容易理解的描述为什么不用,其实通过正例、反例的对照就可以让 学生明白;通常直接法、定义法等求轨迹方程时,学生没有习惯验证一一对应,不能自觉地补点、抠点等 等.教师应该引导学生将已知条件等价转化为所求方程,对于有些条件可以暂时不考虑,但是在求得方程 之后要综合进行考虑这个条件的作用.曲线与方程是对应的,反过来曲线上扣去的点也是方程要去掉的解. 2.本节课的亮点是能通过探究和变式练习让学生全程参与建构概念,使学生保持浓厚的学习兴趣.

九、【板书设计】 2.1.1 曲线与方程
探究一、 曲线的方程与方程的曲线 探究二、由方程判断曲线 探究三、点和曲线的关系 例 3.判断下列命题是否正确: (1)设点 A(2,0), B(0,2) ,则线段 AB 的方 程是 x ? y ? 2 ? 0 ; (2) 到原点的距离等于 5 的动点的轨迹是

y ? 25 ? x 2 ;
(3) 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是

x2 ? y 2 ? 0 .



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