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圆锥曲线学生版



圆锥曲线小题狂练 参数问题 参数关系法
1.【15 北京理科】已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? 2 a



2. 【15 年陕西】若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的一个焦点,

则 p=.

点带入法
3. 已知椭圆

???? ??? ? x2 y2 ? 2 =1 (a>b>0),A(2,0)为长轴的一个端点,弦 BC 过椭圆的中心 O,且 AC · BC =0, 2 a b ??? ?
??? ?
)

| OC - OB |=2| BC - BA |,则其焦距为(

????

??? ?

A.

2 6 4 3 4 6 2 3 B. C. D. 3 3 3 3

几何关系法
4. 已知焦点在 x 轴的椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,直线 AB 过右焦点 F2 ,和 3 b2

0 C 的标准方程为( 椭圆交于 A, B 两点,且满足 AF2 ? 3F2 B , ?F 1 AB ? 60 ,则椭圆

???? ?

???? ?



A.

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 3 y 2 ? ?1 3 2

C.

x2 ? 2 y2 ? 1 3

D.

x2 ? y2 ? 1 3

1

离心率专题 求离心率值
5. 【15 年新课标 2】已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为() (A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2

6. 【13 年福建】 椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左.右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c,若直 y ? 3( x ? c) a 2 b2

与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于__________

7.【15 年湖南】设 F 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,若 C 上存在点 P ,使线段 PF 的中点恰为其 a 2 b2

虚轴的一个端点,则 C 的离心率为.

8.【15 年山东】平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 a 2 b2

C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 交于点 O, A, B ,若 ?OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为.

9. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,过 F2 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线, a 2 b2
)

垂足为 H ,若 F2 H 与双曲线 C 的交点 M 恰为 F2 H 的中点,则双曲线 C 的离心率为( A. 2 B. 3 C.2 D.3

c 2 2 b2 x2 y 2 10. 已知 F 是椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆(x- ) +y = 相切于 3 a b 9
点 Q,且 PQ =2 QF ,则椭圆 C 的离心率等于(

??? ?

????

)

(A)

5 3

(B)

2 3

(C)

2 2

(D)

1 2

2

11. 【2014 重庆】设 F1,F2 分别为双曲线 得 | PF1 | ? | PF2 |? 3b, | PF1 | ? | PF2 |? A.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使 a 2 b2

9 ab, 则该双曲线的离心率为() 4
D.3

4 3

B.

5 9 C. 3 4

求离心率范围(构造临界法)
12. 椭圆 C:
2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 2 2 a b

?FF 1 2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率取值范围是(
A、 ( , ) B、 (



1 2 3 3

1 2 1 1 1 , 1 ) C、 ( , 1 ) D、 ( , ) ?( ,1) 2 3 3 2 2

13. 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,若在椭圆 C1 上不存在点 P ,使得由点 P 2 a b

所作的圆 C 2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是() A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

B. ? 0,

? ? ?

3? ? 2 ? ?

C. [

2 ,1) 2

D. [

3 ,1) 2

14. 已知

为椭圆

的两个焦点,P 为椭圆上一点且

,则此椭圆离心率的取值范围是( A. B. C. D.



15. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 a 2 b2

| PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为;

3

定义应用问题 圆锥曲线第一定义
x2 y 2 ? ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线 E 上,且 PF1 ? 3 , 16. 【15 年福建】若双曲线 E : 9 16
则 PF2 等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3

17. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 点 O 是原点, 若 AF ? 3 ,则 ?AOB 的面积 为( A. )

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D. 2 2

18. 已知 P 是抛物线 y =4x 上一动点, 则点 P 到直线 l: 2x-y+3=0 和 y 轴的距离之和的最小值是 ( A. 3 B. 5 C.2 D. 5-1

2

).

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长 19. 【2012 四川】椭圆 4 3
最大时, ?FAB 的面积是____________。

20. 已知椭圆:

,左右焦点分别为

,过

的直线 交椭圆于 A,B 两点,若

的最大值为 5,则 的值是 ( A.1B. C. D.

)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 21. 如图, F1 、 F2 是双曲线 a 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支
分别交于点 A 、 B .若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为( )

4

A.4

B. 7

2 3 C. 3

D. 3

22.【2014 辽宁】已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别 9 4

为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? .

根据定义求轨迹
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,P 是椭圆 ? 上任意一点,过 F2 作 ?F1 PF2 的外角 a 2 b2 平分线 PQ 的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的轨迹为()
23. 已知 F1 , F2 是椭圆 ? :

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.四条线段

24. (已知圆 M : ( x ? ? )? ? y ? ? ?? ,定点 N ( ?, ?) ,点 P 为圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在线

??? ? ???? ???? ??? ? 段 MP 上,且满足 NP ? ?NQ, GQ ? NP ? ? ,则点 G 的轨迹方程是(
A.

) D.

x? y? ? ?? ? ?

B.

x? y ? ? ?? ?? ??

C.

x? y? ? ?? ? ?

x? y ? ? ?? ?? ??

5

25. 【2014 江西】在平面直角坐标 系中, A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直 线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为( A. )

4 ? 5

B.

3 ? 4

C. (6 ? 2 5)?

D.

5 ? 4

焦点三角形专题
26. 设 P 是椭圆 上的一点,F1、F2 是焦点,若∠F1PF2=30°,则△PF1F2 的面积为( )

A.

B.

C.

D.16

27. 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1的焦点为 F1 、 F2 ,在长轴 A1 A2 上任取一点 M ,过 M 作垂直于 A1 A2 的直线交 4
? ?

椭圆于 P ,则使得 PF1 ? PF2 ? 0 的 M 点的概率为 (



2 6 6 2 A. 3 B. 3 C. 3

D. 2

1

x2 y2 PF ? PF2 1 28. 已知 P 是椭圆 ? ? ,则 ?PF1 F2 的 ? ? 1 上的点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 ???? 1 ???? | PF1 | ? | PF2 | 2 25 9
面积为( A. 3 3 ) B. 2 3 C. 3 D.

???? ???? ?

3 3

直线与圆锥曲线的位置关系(大题)
25 2 29.【2012 重庆】过抛物线 y =2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|= ,|AF|<|BF|,则|AF| 12 =________.

30. 已知任意 k∈R,直线 y-kx-1=0 与椭圆 + =1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围是(

)

6

(A)(0,1) (C)[1,5)∪(5,+∞)

(B)(0,5) (D)[1,5)

31. 【2014 辽宁】已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y 2 ? 2 px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切 于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( )

A.

1 2 3 4 B. C. D. 2 3 4 3

32. 已知椭圆 E:

的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点.若 ) D.

AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则 E 的方程为( A. B. C.

33. 已知 M(a,2)是抛物线 y =2x 上的一定点,直线 MP、MQ 的倾斜角之和为π ,且分别与抛物线交于 P、Q 两点,则直线 PQ 的斜率为( 1 A.- 4 1 B.- 2 ) 1 C. 4 1 D. 2

2

动点最值问题
34. 【2014 福建】设 P, Q 分别为 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆
2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间的最大距离 10

是( A. 5 2

) B. 46 ? 2 C. 7 ? 2 D. 6 2

7

35. 已知动点 P ( x, y ) 在椭圆 小值是( A. 2 ) B. 3

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 上,若 A 点坐标为 (3,0) , | AM |? 1 ,且 PM ? AM ? 0 则 | PM | 的最 25 16

C. 2

D. 3

???? ???? ???? x2 y 2 ? ? 1 上一点,F 为椭圆 C 的右焦点,若点 M 满足 | MF |? 1 且 MP ? MF ? 0 , 36. 已知 P(x,y)为椭圆 C : 25 16
则 | PM | 的最小值为( A. 3 B.3

???? ?

) C.

12 5

D.1

OA ? OB ? 2 37.【2014 四川高考】 已知 F 为抛物线 y ? x 的焦点, 点 A, B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,
2

??? ? ??? ?

(其中 O 为坐标原点) ,则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是( A.



2 8

B.

2 2 C. 4 2

D. 2

圆锥曲线间的关系
38. 【15 年新课标 1】一个圆经过椭圆

的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准

方程为。
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的一 a 2 b2


39. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

个交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线的一条渐近线,则 l 的倾斜角所在的区间可能是( A. (0,

?
6

)

? ? B. ( , ) 6 4

? ? C. ( , ) 4 3

? ? D. ( , ) 3 2

40. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2 ,且两条曲线在第一象限的交 点为 P , VPF 1 为底边的等腰三角形,若 PF 1F 2 是以 PF 1 ? 10 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 , e2 , 则 e1e2 ? 1的取值范围是( )

8

A. (1, ?? )B. (

4 6 10 , ?? )C. ( , ?? )D. ( ,+ ? ) 5 3 9

41. 【2014 高考湖北】已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1PF2 ? 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A. ) D.2

?
3

,

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

9



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