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2016高考数学解三角形汇编



2016 高考数学汇编---解三角形
新课标 1 文(4)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a ? 5 , c ? 2 , cos A ? (A) 2 (B) 3 (C)2(D)3 新课标 3 文(9)在 △ABC 中, B = (A)

2 ,则 b= 3

π 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 sin A = 4 3
(C)
5 5

3 10

(B)

10 10

(D)

3 10 10

新课标 3 理(8)在 △ABC 中, B = (A)
3 10 10

π 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 cos A = 4 3 10 10 3 10 (B) ( C) (D) 10 10 10

? 天津理(3)在△ABC 中,若 AB= 13 ,BC=3, ?C ? 120 ,则 AC=

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

山东文(8) △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b = c, a2 = 2b2 (1- sin A) ,则 A= (A)
3π π π π (B) (C) (D) 4 3 4 6

上海文 10.已知△ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于____. 北京文(13)在△ ABC 中, ?A ?

b 2? ,a= 3 c,则 =_________. c 3

新课标 2 文 15. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? b=____________.

4 5 , cos C ? ,a=1,则 5 13

浙江文 16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (Ⅰ)证明:A=2B; (Ⅱ)若 cos B=

2 ,求 cos C 的值. 3

浙江理 16. (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b+c=2a cos B. (I)证明:A=2B; (II)若△ABC 的面积 S =

a2 ,求角 A 的大小. 4

天津文(15) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 a sin 2B ? 3b sin A . (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 cos A ?

1 ,求 sinC 的值. 3

新课标 1 理

?ABC 的内角 A, (17) (本小题满分为 12 分) B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c.
(I)求 C; (II)若 c ? 7, ?ABC 的面积为

3 3 ,求 ? ABC 的周长. 2

四川文 18、 (本题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 (I)证明:sinAsinB=sinC;

cos A cos B sin C ? ? 。 a b c

(II)若 b ? c ? a ?
2 2 2

6 bc ,求 tanB。 5

北京理(15) (本小题 13 分)在 ? ABC 中, a ? c ? b ? 2ac (I)求 ? B 的大小
3 3 3

(II)求 2 cos A ? cos C 的最大值

江苏 15. (本小题满分 14 分)在 △ABC 中,AC=6, cos B = (1)求 AB 的长; (2)求 cos( A π )的值. 6

4 π ,C = . 5 4

山东理(16) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2(tan A ? tan B) ? (Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求 cosC 的最小值.

tan A tan B ? . cos B cos A

:.]

答案: 新课标 1 文 (4)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a ? 5 , c ? 2 , cos A ? (A) 2 (B) 3 (C)2(D)3

2 ,则 b= 3

新课标 3 文 (9)在 △ABC 中, B = (A)

π 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 sin A = 4 3
(B)
10 10

3 10

(C)

5 5

(D)

3 10 10

9 试题分析: 设 BC 边上的高线为 AD , 则B C ?A DD 3 C , 正弦定理,知

A D2 ?

, 所以 AC ?

由 AD2 ? DC2 ? 5AD .

3 10 5 AD 3 AD AC BC ,即 ,解得 sin A ? ,故选 D. ? ? sin B sin A 10 sin A 2
2

新课标 3 理 (8)在 △ABC 中, B = (A)
3 10 10

π 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 cos A = 4 3

(B)

10 10

( C) -

10 10

(D) -

3 10 10

C ?A D 3 8 试题分析: 设 BC 边上的高线为 AD , 则B
余弦定理,知 cos A ? 天津理

, 所以 AC ?

AB ? 2 AD . 由 AD2 ? DC2 ? 5AD ,

AB2 ? AC 2 ? BC 2 2 AD2 ? 5 AD2 ? 9 AD2 10 ,故选 C. ? ?? 2 AB ? AC 10 2 ? 2 AD ? 5 AD

? (3)在△ABC 中,若 AB= 13 ,BC=3, ?C ? 120 ,则 AC=

(A)1 山东文

(B)2

(C)3

(D)4

(8) △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b = c, a2 = 2b2 (1- sin A) ,则 A= (A) 8
3π π π π (B) (C) (D) 4 3 4 6

上海文 10.已知△ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于____.

10【解析】 a ? 3, b ? 5, c ? 7 , cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ?? 2ab 2 3 c 7 3 ? ∴ sin C ? ∴R? 2 2sin C 3

北京文 (13)在△ ABC 中, ?A ? 新课标 2 文

b 2? ,a= 3 c,则 =_________. c 3

4 5 , cos C ? ,a=1,则 b=____________. 5 13 4 5 3 12 15【解析】因为 cos A ? , cos C ? ,且 A, C 为三角形内角,所以 sin A ? ,sin C ? , 5 13 5 13 a b a sin B 21 13 ? ? . sin B ? sin( A ? C) ? sin A cos C ? cos A sin C ? ,又因为 ,所以 b ? sin A sin B sin A 13 65
15. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ?

浙江文 16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (Ⅰ)证明:A=2B; (Ⅱ)若 cos B=

2 ,求 cos C 的值. 3

16 试题解析: (1)由正弦定理得 sin B ? sin C ? 2sin A cos B , 故 2sin A cos B ? sin B ? sin( A ? B) ? sin B ? sin A cos B ? cos A sin B , 于是, sin B ? sin( A ? B) , 又 A, B ? (0, ? ) ,故 0 ? A ? B ? ? ,所以 B ? ? ? ( A ? B) 或 B ? A ? B , 因此, A ? ? (舍去)或 A ? 2 B , 所以, A ? 2 B . (2)由 cos B ?

5 2 1 2 ,得 sin B ? , cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ? , 3 9 3

故 cos A ? ?

4 5 1 , sin A ? , 9 9
22 . 27

cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ?

浙江理 16. (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b+c=2a cos B. (I)证明:A=2B; (II)若△ABC 的面积 S =

a2 ,求角 A 的大小. 4

16

(II)由 S ?

a2 1 a2 得 ab sin C ? ,故有 4 2 4

1 sin ? sin C ? sin 2? ? sin ? cos ? , 2 因 sin ? ? 0 ,得 sin C ? cos ? .
又 ? , C ? ? 0, ? ? ,所以 C ?

?
2

??.

? ; 2 2 ? ? 当 C ? ? ? 时, ? ? . 2 4 ? ? 综上, ? ? 或 ? ? . 2 4
当??C ? 时, ? ?

?

天津理 (15) 已知函数 f(x)=4tanxsin(

?
2

? x )cos( x ?

?
3

)— 3 .

(Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论 f(x)在区间[ ?

? ?

, ]上的单调性. 4 4

3【解析】设 AC ? x 由余弦定理得: cos120? ?

x2 ? 9 ? 13 1 ?? 2? x?3 2 2 2 x ? 1 或 ?4 (舍) x ? 4 ? ?3x ? x ? 3x ? 4 ? 0 ,∴ AC ? 1 ,选 A.
?1 ? 3 ? 4sin x ? ? 2 cos x ? 2 sin x ? ?? 3 ? ?
π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?

π? ?π ? ? 15. 【解析】 f ? x ? ? 4 tan x sin ? ? x ? cos ? x ? ? ? 3 3? ?2 ? ?

? sin 2x ? 3 ?1 ? cos 2x ? ? 3

? sin 2 x ? 3 cos 2 x

? π ? 2π (Ⅰ)定义域 ? x x ? ? kπ ,k ? Z ? , T ? ?π 2 2 ? ?

π π π 5π π π (Ⅱ) ? ≤ x ≤ , ? ≤ 2 x ? ≤ ,设 t ? 2 x ? , 3 4 4 6 3 6 π? ? 5π ? π π? ∵ y ? sin t 在 t ? ? ? ,? ? 时单调递减,在 t ? ? ? , ? 时单调递增 6 2 ? ? ? 2 6?

-

5π 6

-

π 2

5π π π π π π π π π π ? 2 x ? ? ? 解得 ? ≤ x ≤ ? ,由 ? ? 2 x ? ? 解得 ? ? x ≤ 6 3 2 4 12 2 3 6 12 4 π? ? π π? ? π ∴函数 f ? x ? 在 ? ? , ? 上单调增,在 ? ? ,? ? 上单调减 12 ? ? 12 4 ? ? 4

由?

天津文 (15) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 a sin 2B ? 3b sin A . (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 cos A ? 15

1 ,求 sinC 的值. 3

新课标 1 理 (17) (本小题满分为 12 分)

?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c.
(I)求 C; (II)若 c ? 7, ?ABC 的面积为

3 3 ,求 ? ABC 的周长. 2

4 试题分析:由余弦定理得 5 ? b ? 4 ? 2 ? b ? 2 ?
2

2 1 ,解得 b ? 3 ( b ? ? 舍去) ,选 D. 3 3

17

四川文 18、 (本题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 (I)证明:sinAsinB=sinC; (II)若 b ? c ? a ?
2 2 2

cos A cos B sin C ? ? 。 a b c

6 bc ,求 tanB。 5

18 试题解析: (Ⅰ)根据正弦定理,可设 则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksinC. 代入

a b c ? ? ? k (k ? 0) sin A sin B sin C

cos A cos B sin C cos A cos B sin C ? ? ? ? 中,有 , a b c k sin A k sin B k sin A

可变形得 sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B). 在△ABC 中,由 A+B+C=π,有 sin (A+B)=sin (π–C)=sin C, 所以 sin A sin B=sin C. (Ⅱ)由已知,b2+c2–a2=

6 bc,根据余弦定理,有 5

cos A ?

4 b2 ? c 2 ? a 2 3 ? .所以 sin A= 1 ? cos 2 A ? . 5 2bc 5

由(Ⅰ) ,sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B, 所以

sin B 4 4 3 sin B= cos B+ sin B,故 tan B= =4. 5 5 5 cos B

sin A a ? ? 3 ,所以 sin C ? 13 试题分析:由正弦定理知 sin C c B ?? ? 2? ? ? b ? ? ,所以 b ? c ,即 ? 1 . c 3 6 6

sin

2? 3 ? 1 ,则 C ? ? ,所以 6 2 3

北京理 (15) (本小题 13 分) 在 ? ABC 中, a ? c ? b ? 2ac
3 3 3

(I)求 ? B 的大小 (II)求 2 cos A ? cos C 的最大值 15【解析】⑴ ∵ a 2 ? c2 ? b2 ? 2ac ∴ a 2 ? c2 ? b2 ? 2ac π a2 ? c2 ? b2 2ac 2 ? ? ∴ cos B ? ∴ ?B ? 4 2ac 2ac 2 3 ⑵∵ A ? B ? C ? π ∴ A ? C ? π 4 2 2 cos A) ? sin A ∴ 2 cos A ? cos C ? 2 cos A ? (? 2 2 π 2 2 ? cos A ? sin A ? sin( A ? ) 4 2 2 3 π π 3 ∵ A ? C ? π ∴ A ? (0, π) ∴ A ? ? ( , π) 4 4 4 4 π ∴ sin( A ? ) 最大值为 1 4

江苏 15. (本小题满分 14 分) 在 △ABC 中,AC=6, cos B = (1)求 AB 的长; (2)求 cos( A π )的值. 6 4 π ,C = . 5 4

15 山东理 (16) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2(tan A ? tan B) ? (Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求 cosC 的最小值.

tan A tan B ? . cos B cos A

:.]

(?) 由 (?) 知 c ?

a?b , 2
2 2 2

? a?b? a ?b ?? ? 2 2 2 a ?b ?c ? 2 ? ? 3? b ? a ?? 1 ? 1 , ? 所以 cos C ? ? ? 2ab 2ab 8? a b ? 4 2
当且仅当 a ? b 时,等号成立. 故 cos C 的最小值为

1 . 2



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