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三角函数的诱导公式课件最后更新



高一年级理科数学卢

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设?是 一 个 任 意 角 , ?的 终 边 上 任 意 一 点 P ( x , y )(除 端 点 外 ), 它 与 原 点 的 距 离 是 r (r ? x ? y ? 0), 那 么:
2 2

x (3) tan ? ? y y (1) sin

? ? (2) cos ? ? x r r

三角函数线:用有向线段的数量来表示。

y

y MP sin ? ? ? ? MP (正弦线) r OP
x OM cos ? ? ? ? OM (余弦线) r OP
O

P

T

M

A

x

y AT tan ? ? ? ? AT (正切线) x OA

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三角函数的诱导公式一:

sin?? ? 2k? ? ? sin ?
cos?? ? 2k? ? ? cos?

tan?? ? 2k? ? ? tan?

实质:终边相同,三角函数值相等

用途:“大”角化“小”角

角? -?的三角函数值与?的三角函数值有 何关系呢? y
P1 P

终边关于y轴对称

sin?? ? ? ?

? ??

M1 cos?? ? ? ? O cos? M

?

sin ?
x

一、三角函数的诱导公式二:

sin ?? ? ? ? ? sin ?
cos?? ? ? ? ? ? cos?

tan?? ? ? ? ? ? tan?

角? +?的三角函数值与?的三角函数值有 何关系呢?
y P M1 cos?? ? ? ?

终边关于原点对称

? ??

sin ?? ? ? ?
P1

O cos? M

?

sin ?
x

二、三角函数的诱导公式三:

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? cos?? ? ? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? tan?

角-?的三角函数值与?的三角函数值 有何关系呢? y
P

终边关于x轴对称

O

x ?? cos?? ? ? sin?? ? ? P1

?

cos? sin ?
M

三、三角函数的诱导公式四:

sin?? ? ? ? ? sin ? cos?? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? tan?

思考:(1)给定一个角? ,终边与角 ? 的终边关 y ? x 对称的角与角 ? 有什么关系?它们的三角 于直线
函数之间又有什么关系?能否证明?
sin(

?
2

? ? ) ? cos?
?

公式 五

? (2)如何求 ? ? 的三角函数值? 2
sin(

cos( ? ? ) ? sin ? 2

?

y
??

P ( x, y )

p5 (? y, x )

2

?
O

p4 ( y, x ) ? ??
A(1,0)

2

?

公式 六

2

? ? ) ? cos?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

公式五:

sin(

? ?
2 2

公式六:

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin ?

si n ( ? ? ) ? cos? 2 cos( ? ? ) ? ? si n? 2

?

cos(

?

?3 ? sin ? ? ? ? ? ? ?2 ? ?3 ? cos ? ? ? ? ? ? ?2 ?
?3 ? sin ? ? ? ? ? ? ?2 ? ?3 ? cos ? ? ? ? ? ? ?2 ?

? cos?
sin ?

? cos?
? sin ?

【总一总★成竹在胸】
口诀:奇变偶不变,符号看象限
? 意义: k ? ?? (k ? Z)的三角函数值
2 1)当k为偶数时,等于?的同名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号; 2)当k为奇数时,等于?的异名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号;

课堂
0

例题

例1:求三角函数值:

2 解 : (1) cos225 ? cos(180 ? 45 ) ? ? cos45 ? ? 2 11? ? ? 3 (2) sin ? sin(4? ? ) ? ? sin ? ? 3 3 3 2
? ? ? ?

11? 16? ?1?cos 225 ; ?2?sin ; ?3?sin( ? ); ?4? cos ? 2040 0 3 3

?

?

16? 16? ? ?? 3 ? ?3?sin(? ) ? ? sin ? ? sin(5? ? ) ? ?? ? sin ? ? 3 3 3 3? 2 ?

?4?cos(?20400 ) ? cos20400 ? cos(6 ? 3600 ? 1200 )
1 ? cos120 ? cos(180 ? 60 ) ? ? cos60 ? ? 2
0 0 0 0

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数

锐角的三角 函数

0~2π的角 的三角函数

课堂

例题

cos(180? ? ? ) ? sin(? ? 360?) 例2:化简: sin(?? ? 180?) ? cos(?180? ? ? ) cos(180? ? ? ) ? sin(360? ? ? ) 解: sin(?? ? 180?) ? cos(?180? ? ? ) ? ? cos? ? ? sin ? ? sin?? (? ? 180?)?? cos?? (? ? 180?)? ? ? cos? ? ? sin ? ? ? sin(? ? 180?) ? cos(? ? 180?) (? cos? ) ? sin ? ? ?1 ? ?? sin ? ? ? (? cos? )

练习: ?3 ? tan(2? ? a) cos ? ? ? a ? cos ? 6? ? a ? ?2 ? ?3 ? ?3 ? tan ?? ? a ? sin ? ? ? a ? cos ? ? ? a ? ?2 ? ?2 ?

例3
3 ? ? 7? ) ? ? ,求 (1).已知 ? ? ? ? 2? , cos( 5 sin( 3? ? ? )的值。

7 3 (2).已知 sin( 2 ? ? ? ) ? ? 5 ,α是第四象限角,则 cos( ? ? 2? ) 的值是_______.

例4求下列各式的值 ? 1 5? ?1? sin( ? ? ) ? ,sin( ? ? ) ? 6 3 6
1 5 ? ?? ? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? ? ? 则sin ? ? ? ? ? ? 2 3 ? ?3 ? ?
1 ?? ?? ? ? ? 3? sin ? ? ? ? ? ? 则cos ? ?? ? ? ? 6 4? ?4 ? ?

课堂

练习

1 ? 3? 2? 1. cos( ? ? ) ? , ? ? ? ,则 sin( ??) 6 3 2 2 3

?

4 3? 2.?在第四象限, cos( ? ? ) ? , 则 sin( ? ? )的值是 2 5 2

?

3 3 3 4 A. ?  B.  C . ?  D. 5 5 5 5

提升

训练

【例 4】 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π- B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三内角.
? ?sinA= 2sinB ① 解:由已知得? ? ? 3cosA= 2cosB
2 2 2



2 ① +② 得 2cos A=1,即 cosA=± 2 . 2 3 (1)当 cosA= 时,cosB= , 2 2 π π 又 A、B 是三角形内角,∴A= ,B= , 4 6 7 ∴C=π-(A+B)= π. 12

提升

训练

【例 4】 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π- B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三内角.

2 3 (2)当 cosA=- 2 时,cosB=- 2 . 又 A、B 是三角形内角, 3 5 ∴A=4π,B=6π,不合题意. π π 7 综上知,A=4,B=6,C=12π.



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