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数学归纳法



2.3 数学归纳法

问题情境一
问题 1:
对于数列?an ? ,已知a1 ? 1,an?1 an ? ? n ? 1, 2, ...? 1 ? an

猜想其通项公式 1 1 1 a1 ? a2 ? a3 ? 1 2 3

......

问题2:某人看到树上乌鸦是黑的, 深

有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。

1 an ? n

我是白的 哦!

论的推理方法

:由一系列有限的特殊事例得出一般结 归纳法

归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法 结论不一定可靠

结论一定可靠

思考:归纳法有什么优点和缺点?

优点:可以帮助我们从一些具体事
例中发现一般规律 缺点:仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的

思考1:与正整数n有关的数学命题能否 通过一一验证的办法来加以证明呢? 思考2:如果一个数学命题与正整数n有 关,我们能否找到一种既简单又有效的证 明方法呢?

数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有 关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它 们的正确性: (1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; 【命题成立的必要性】 (2)假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 【命题成立的连 证明当n=k+1时命题也成立. 续性】 最后由(1)(2)得出结论全体自然数成立 这种证明方法叫做 数学归纳法

例1:观察
5 3 1

9

7

你能得出什么结论? n 并用数学归纳法证 明你的结论。

归纳猜想: 1+3+5+…+(2n–1)=n2 (n∈N*)
2=1 等式成立. 右边 =1 ( 1 )当 n=1 时,左 =1, , 证明: (2)假设n=k时等式成立, 即1+3+5+…+(2k–1)=k2 , 则n=k+1时, 1+3+5+…+[2(k+1)–1] = 1+3+5+…+(2k–1)+[2(k+1)-1] = k2+2k+1 =(k+1)2. 即n=k+1时等式也成立.

n

根据(1),(2)知等式对一切n∈N*都成立.

用数学归纳法证明

1+3+5+‥+(2n-1)=

注意:递推基础不可少,

n2

归纳假设要用到,

证明: (1)当n=1时,左边=1,右边= 1,等式成立。 结论写明莫忘掉。 (2)假设当n=k时,等式成立,即 (假设) 1+3+5+‥+(2k-1)= k2 证 那么当n=k+1时 明 传 1+3+5+‥+(2k-1)+[2(k+1)-1] 递 = k2 + [2(k+1)-1] 性 (利用假设) = k2 + 2k+ 1 (凑结论) = (k+1)2 即当n=k+1时等式也成立。 ? 根据(1)和(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。

数学归纳法步骤,用框图表示为:
验证n=n0时 命题成立。 归纳奠基

若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推

命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。

注:两个步骤,一个结论,缺一不可

例2 如果 {an } 是等差数列,已知首项为 a1 公差为 d ,那么 a n ? a1 ? ( n ? 1)d 对一切n ? N ?都成立 试用数学归纳法证明
证明:(1)当n=1时, 左边

? a1 , 右边 ? a1 ? 0 ? d ? a1 ,

等式是成立的
(2)假设当n=k时等式成立,就是 a k ? a1 ? ( k ? 1)d ,

那么 a ? a ? d ? [a1 ? (k ? 1)d ] ? d k ?1 k   
? a1 ? [(k ? 1) ? 1]d

这就是说,当n=k+1时,等式也成立
由(1)和(2),可知等式对任何 n ? N 都成立
?

上述结论是容易理解的 :根据( 1 ),n ? 1 时等式成立,再根据( 2),n ? 1 ? 1 ? 2时等式 也成立。由于 n ? 2时等式成立,再根据( 2), n ? 2 ? 1 ? 3时等式也成立,这样递 推下去,就 知道n ? 4, 5, 6, ?时等式都成立,即等式 对任 何n ? N ?都成立。

因此数学归纳法是一种科学的递推方法

(1)是递推的基础 (2)是递推的依据
练习:已知数列{a n }为等比数列, 公比为q,求证:通项公式为a n = a1q n-1 (提示:a n = qa n-1)

注意 :
1、用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两 步同样重要,两步骤缺一不可. 2、第二步证明,由假设n=k时命题成立,到 n=k+1时.必须用假设条件,否则不是数学归 纳法。 3、最后一定要写“由(1)(2)……”

例3:用数学归纳法证明:

1 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) = n(n ? 1)(n ? 2) 3
证明: 1)当n=1时,左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
3
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)= k ( k ? 1)(k ? 2)

3

则当n=k+1时, 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? k (k ? 1)

? ( k ? 1)(k ? 2)
从n=k到n=k+1有什么变化


=

1 k ( k ? 1)(k ? 2) + 3

( k ? 1)(k ? 2)

利 用 假 设

1 ( k ? 1) ( k ? 1)(k ? 2) 3

1 ( k ? 1)??k ? 1? ? 1???k ? 1? ? 2? = 3

凑结论

∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当

n ? N ? ,命题正确。

练习2 用数学归纳法证明

n(n ? 1)( 2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ??? n ? 6
2 2 2 2

证明:

1 ? 2 ? 3 ?1 (1)当n=1时,左边=12=1,右边= 6
等式成立。 (2)假设当n=k时,等式成立,就是

k (k ? 1)( 2k ? 1) 1 ? 2 ? 3 ??? k ? 6
2 2 2 2

那么

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? k 2 ? ( k ? 1) 2 k ( k ? 1)(2 k ? 1) ? ? ( k ? 1) 2 6 k ( k ? 1)(2 k ? 1) ? 6( k ? 1) 2 ? 6 ( k ? 1)(2 k 2 ? 7 k ? 6 ) ? 6 ( k ? 1)(k ? 2 )(2 k ? 3 ) ? 6 ( k ? 1)?( k ? 1) ? 1??2( k ? 1) ? 1? ? 6

这就是说,当n=k+1时等式也成立。

根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立。

思考1:试问等式2+4+6+…+2n=n2+n+1成立吗?某 同学用数学归纳法给出了如下的证明,请问该同 学得到的结论正确吗?
解:设n=k时成立,即 2+4+6+…+2k=k2+k+1 则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1) =k2+k+1+2k+2=(k+1)2+(k+1)+1

这就是说,n=k+1时也成立

所以等式对任何n∈N*都成立 该同学在没有证明当n=1时,等式是否成立的前提 下,就断言等式对任何n∈N*都成立,为时尚早 事实上,当n=1时,左边=2,右边=3 左边≠右边,等式不成立

思考2:下面是某同学 用数学归纳法证明等式 1 + 1 + 1 + + 1 ? 1 ? 1 (n∈N*) ? 2 3 2 2 2 2n 2n 成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗?为什么? 第二步的证明没有在假设条件下进行,因此不符合 数学归纳法的证明要求
1 1 证明:①当n=1时,左边= 1 , 右边= 1 ? 1 ? , 2 2 2
那么n=k+1时 等式成立

1 1 1 1 1 + + + ? + ? 1 ? , ②假设n=k时,等式成立, 即 2 3 k k 2 2 2 2 2

1 [1 ? ( 1 )k ?1 ] 1 . 2 1 + 1 + 1 +?+ 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? k ?1 1 2 22 23 2 2 k 2 k ?1 1? 2 这就是说,当n=k+1时,等式也成立

根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立

因此,用数学归纳法证明命 题的两个步骤,缺一不可。第一 步是递推的基础,第二步是递 推的依据。缺了第一步递推失 去基础;缺了第二步,递推失去 依据,因此无法递推下去。

归纳小结
1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数 学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: (1)证明当n取第一个值n0(如 n0=1或2等)时 结论正确 (2)假设n=k时结论正确,证明n=k+1时结论 也正确 (3)由(1)、(2)得出结论 练习:课本:P96 A组 1,2



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