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福建省武平县第一中学2016届高三上学期数学周考试题(10月27日)



武平一中高三数学周考试题 2015.10.28 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中只有一项 符合要求. 1、已知 ?1 ? bi ? ? 2i ( b ? R , i 是虚数单位) ,则 b ? (
2

) D. 1 或 2 ) D. ?2 )

C. ?1 ? ? ? ? ?

2、已知向量 a ? ? x,2? , b ? ?1,1? ,若 a ? b ? b ,则 x ? ( A. 2 B. 1

?

?

A. 2 3.设 x ? 0 ,若 x ? A. ( ,?? )

B. 4

C. ?4

a ? 1 恒成立,则 a 的取值范围是( x
B. ( ,?? )

1 4

1 2

C.(1,+∞) )
3

D.(2,+∞)

4.设 a ? 0, b ? 0 ,则以下不等式中不恒成立的是( A. (a ? b)(
2 2

1 1 ? )?4 a b

B. a ? b ? 2ab
3

2

C. a ? b ? 2 ? 2a ? 2b

D.

a?b ? a ? b


5.若不等式 x2 ? log a x ? 0 对任意的 x ? ? 0, ? 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

? ?

1? 2?

A. ? 0,1?
6.若 a ?

?1 ? B. ? ,1 ? ?16 ?
ln 2 ln 3 ln 5 ,则 ,b ? ,c ? 2 3 5

C. ?1, ?? ?
(

? 1? D. ? 0, ? ? 16 ?
)

A. a <b <c

B. c <b <a

C . c <a <b

D. b <a <c

7. 在 ?ABC 中 , M 是 BC 的 中 点 , AM ? 1 , 点 P 在 AM 上 且 满 足 AP ? 2PM , 则

PA? PB ? PC ? (
A. ?
4 9

?

?

) .

B. ?

4 3

C.

4 3

D.

4 9

? x? y?2?0 ? 8.若 x 、 y 满足 ?kx ? y ? 2 ? 0 ,且 z ? y ? x 的最小值为 ? 4 ,则 k 的值为( ? y?0 ?
A. 2 B. ? 2 C.



1 2

D. ?

1 2
_____.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 10 分. 9.已知函数 f

? x ? ? x3 ? kx 在区间 ? ?3, ?1 ? 上不单调,则实数 k 的取值集合是 ? x?
的 导 函 数 f ? ? x ? ? 5 ? cos x, x ? ? ?1, 1 ? , 且 f ,则实数 x 取值的集合是 ? 0 .

10. 已 知 函 数 f

?0? ? 0

, 若

f ?1? x ? ? ?f 1 ?2 ?x

三、解答题:本大题共 5 小题,共 50 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 1.已知在锐角 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 tan B ? (Ⅰ)求 ?B ;

3ac ; a ? c2 ? b2
2

? ?? (Ⅱ)求函数 f ? x ? ? sin x ? 2sin B cos x , x ? ?0, ? 的值域及单调递减区间. ? 2?

2. 数列{ an }中, a1 ? 8, a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an , n ? N * 。 (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 bn ?

1 (n ? N *), Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn (n ? N *), 是否存在最大的整数 m,使 n(12 ? an )
m 成立?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由。 32

得对任意 n ? N * ,均有 Tn ?

3.已知曲线 C : y ? eax . (Ⅰ)若曲线 C 在点 (0,1) 处的切线为 y ? 2 x ? m ,求实数 a 和 m 的值; (Ⅱ)对任意实数 a ,曲线 C 总在直线 l : y ? ax ? b 的上方,求实数 b 的取值范围.

4.已知函数 f ( x) ? ex ? kx,x ? R (Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

5.本题(1) 、 (2) 、二个选答题,每小题 10 分,请考生任选 1 题作答。 (1)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 P(1,2),倾斜角 α = . (θ 为参数),直线 l 经过点

(Ⅰ)写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求|PA|?|PB|的值.

(2)设函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|. (Ⅰ)解不等式 f(x)>0; (Ⅱ)若 f(x)+3|x﹣4|>m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

高三数学周考参考答案 2015.10.26.

BCAB BCAD 1.代入 tan B ?

(3,27)
2

错误!未找到引用源。

? 3ac 3 得, sin B ? ,而 ?ABC 是锐角三角形,所以角 B ? , 2 2 a ?c ?b 2 3

?? ? (Ⅱ) f ? x ? ? sin 2x ? 2sin B cos 2x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? ,值域, 3? ?
因为

? ? 3? ? 7? ? 2k ? ? 2x ? ? ? 2k ? ,所以 ? 2k ? ? 2 x ? ? 2k ?,k ? Z , 2 3 2 6 6
? 7? ? ? ?? ? ? ?? ,又 0 ? x ? ;所以, f ? x ? 在 x ? ?0, ? 上的单调减区间为 ? , ? 2. ?x? 12 12 2 ?12 2 ? ? 2?

当 k ? 0 时,

解: ( 1 )由题意, an?2 ? an?1 ? an?1 ? an , ?{an } 为等差数列, 设公差为 d ,由题意 , 得

2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 , ? an ? 8 ? 2(n ? 1) ? 10 ? 2n .
(2)

? bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n(12 ? an ) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1 .



n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? )] ? . T n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1 2(n ? 1)
m n m * * ? 对任意 n ? N 成立,即 对任意 n ? N 成立, 32 n ? 1 16

若 Tn ?

?

n 1 ( n ? N * ) 单调递增,当 n ? 1 时,取得最小值 n ?1 2.

?
m . 32

m 1 ? , ? m 的最大整数值 16 2

* 是 7.即存在最大整数 m ? 7, 使对任意 n ? N ,均有 Tn ?

3.(Ⅰ) y? ? ae ,
ax

因为曲线 C 在点(0,1)处的切线为 L: y ? 2x ? m , 解得 m ? 1 , a ? 2

所以 1 ? 2 ? 0 ? m 且 y? |x ?0 ? 2 .

(Ⅱ)对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于
ax ax ? x, a ? R ,都有 e ? ax ? b ,即? x, a ?R, e ? ax ? b ? 0 恒成立,

令 g ( x) ? e ? ax ? b , ①若 a=0,则 g ( x) ? 1 ? b , 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ;
ax

②若 a ? 0 , g ?( x) ? a(e ?1) ,由 g '( x) ? 0 得 x ? 0 ,
ax

g '( x), g ( x) 的情况如下:

x
g '( x ) g ( x)

( - ?, 0)
?
?

0 0 极小值

(0,+?)
+

?

所以 g ( x) 的最小值为 g (0) ? 1 ? b 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ;综上,实数 b 的取值范围是

b ? 1.
4.解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x) ? e x ? ex ,所以 f ?( x) ? e x ? e . 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1, ? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递减区间是 (??, 1) . (Ⅱ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.由 f ?( x) ? e x ? k ? 0 得

x ? ln k .①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? ex ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) .
此时 f ( x) 在 [0, ? ?) 上单调递增.故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意. ②当 k ? (1 , ? ?) 时, ln k ? 0 .当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(0, ln k )

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

f ( x)

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .

?1 ? k ? e .综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1,
5.解:(I)消去 θ ,得圆的标准方程为 +y =16.…(2 分)
2 2

直线 l 的参数方程为

,即

(t 为参数)

(Ⅱ)把直线的方程

代入 x +y =16,得(1+

2

2

t) +(2+ t) =16,即 t +(2+

2

2

2



t﹣11=0,所以 t1t2=﹣11,即|PA|?|PB|=11. 2.解:(1)当 x≥4 时 f(x)=2x+1﹣(x﹣4)=x+5>0 得 x>﹣5,所以,x≥4 时不等式成 立.当 立.当 时,f(x)=2x+1+x﹣4=3x﹣3>0,得 x>1,所以,1<x<4 时,不等式成 时,f(x)=﹣x﹣5>0,得 x<﹣5,所以,x<﹣5 成立

综上,原不等式的解集为:{x|x>1 或 x<﹣5}. (2) f (x) +3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣ (2x﹣8) |=9, 当 所以,f(x)+3|x﹣4|的最小值为 9,故 m<9. ,



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