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达州2012-2013高二下期末试题及答案 文



2012-2013 学年四川省达州市高二(下)期末 数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,计算 i(1+i)=( ) 1+i A.1﹣i B. C.﹣1+i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 根据复数的运算和 i2=﹣1 进行化简即可. 解答: 解:i(1+i)

=i+i2=﹣1+i, 故选 C. 点评: 本题考查了复数乘法运算和 i2=﹣1 应用,属于基础题. 2. (5 分)“a、b、c 等比”是“b =ac”的( A.充分不必要条件 C. 必要不充分条件
2

D.﹣1﹣i

) B. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 等差数列与等比数列. 2 2 2 分析: 由“a、b、c 成等比”可得 ,故有“b =ac”成立,但由“b =ac”,不能推出“b =ac 成等比数列”,由 此可得结论. 解答: 解:由“a,G,b 成等比”可得
2 2

,故有“b =ac”成立,故充分性成立.
2

但由“b =ac”,不能推出“a、b、c 成等比数列”,如 a=b=0,c=1 时,尽管有“b =ac”,但 0,0,1 不能 构成等比数列,故必要性不成立. 2 2 故“b =ac 成等比”是“b =ac”的充分不必要条件, 故选 B. 点评: 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,等比数列的定义,通过举反例来说明某个命 题不正确,是一种简单有效的方法,属于基础题. 3. (5 分)已知 f(x)=e ,f(x)的导数为 f'(x) ,则 f'(﹣2)=( 2e A. B.﹣2e C.e﹣2 考点: 导数的运算. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 先求导数 f′ (x) ,然后代入数值计算. x 解答: 解:f′ (x)=e , ﹣2 所以 f′ (﹣2)=e , 故选 C. 点评: 本题考查导数的运算,属基础题. 4. (5 分)函数 f(x)=sinx 在 A. B. 处的切线方程是( C. ) D.
x

) D.﹣2e﹣2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求导函数,可得切线的斜率,利用点斜式可得切线方程.

解答: 解:求导函数可得 y′ =cosx ∴ 时,y′ = ,y=

∴ 所求切线方程为 故选 B. 点评: 本题考查导数的几何意义,考查切线方程,考查学生的计算能力,属于基础题. 5. (5 分)已知 p:所有国产手机都有陷阱消费,则¬p 是( ) A.所有国产手机都没有陷阱消费 B. 有一部国产手机有陷阱消费 C. 有一部国产手机没有陷阱消费 D.国外产手机没有陷阱消费 考点: 命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 命题 P: “所有国产手机都有陷阱消费”是含有量词“所有”的全称命题的否定, 其否定形式为特称命题, 否定时要先改变量词的形式,可得答案. 解答: 解:∵ 命题 P:“所有国产手机都有陷阱消费”, ∴ 命题 P 的否定形式为:有一部国产手机没有陷阱消费. 故选 C. 点评: 此题是基础题.本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题.这里注意,全称命题的否定是 特称命题,反过来特称命题的否定是全称命题. 6. (5 分)已知“x ﹣4<0 或|x|=2”是真命题,则 x 的取值范围是 ( A.(﹣∞, ﹣2) ∪ (2, +∞) B.{﹣2,2} C.(﹣2,2)
2

) D.[﹣2,2]

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 若“p∨ q”为真命题,则 p、q 为至少有一个为真,对求得的 x 的范围求并集可得答案; 解答: 解:若 x2﹣4<0 为真,则﹣2<x<2;若|x|=2 为真,则 x=﹣2 或 x=2; 2 “x ﹣4<0 或|x|=2”是真命题, 则 p、q 为至少有一个为真, 即﹣2<x<2 和 x=﹣2 或 x=2 中至少有一个成立,取其并集可得﹣2≤x≤2, 此时 x 的取值范围是[﹣2,2]; 故选 D. 点评: 本题考查复合命题真假的判断,要牢记复合命题真假的判读方法. 7. (5 分)下面四个命题,是真命题的是( ) x1 x2 A.log2x1<log2x2 是 2 <2 的必要不充分条件 B. “z1+z2 是偶数”的充要条件是“z1 和 z2 都是偶数” C. 若 p∨ q 假,则(¬p)∧(¬q)真 D.若 p?q,则¬p ¬q 考点: 命题的否定;复合命题的真假. 专题: 计算题. 分析: 对于 A,由于 2x1<2 中的指数可以为负数,而当指数为负数时,log2x1<log2x2 就没有意义,从 而进行判断;对于 B,当 z1 和 z2 都是奇数时,也可得出 z1+z2 是偶数,进行判断;对于 C,根据复 合命题的真值表可知:“p 或 q”为假命题,p、q 中全为假,从而有¬p,¬q 全为真,即可进行判断; D 选项,若 p?q,能得出¬q?¬p,并不能得出¬p 推不出¬q,即可得出答案. 解答: 解:对于 A,由于 2x1<2
x1

中的指数可以为负数,而当指数为负数时,log2x1<log2x2 就没有意义,
x2

故 log2x1<log2x2 不是 2 <2 的必要不充分条件,A 错; 对于 B,当 z1 和 z2 都是奇数时,也可得出 z1+z2 是偶数,故 B 错; 对于 C,由题意可知:“p 或 q”为假命题, ∴ p、q 中全为假,

∴ ¬p,¬q 全为真,即(¬p)∧(¬q)真,此时成立;故 C 正确; D 选项,若 p?q,能得出¬q?¬p,并不能得出¬p 推不出¬q,故错. 故选 C. 点评: 本题考查命题的否定,复合命题的真假问题.在解答的过程当中充分体现了命题中的或且关系以及 问题转化的思想.值得同学们体会反思. 8. (5 分)已知 是单调函数,则实数 a 的取值范围是( )

A.(﹣∞,﹣1]∪ [1,+∞) B.(﹣∞,﹣2]∪ [2,+∞) C.(﹣∞,﹣3]∪ [3,+∞) D.(﹣∞,﹣4]∪ [4,+∞) 考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 求出函数的导函数,由

是单调函数,得其导函数大于等于 0 或小于等于 0 恒

成立,由此列式求出实数 a 的取值范围. ′ 2 2 解答: 解:因为 ,所以 y =x +4x+a . 又
2 2

是单调函数,且 y =x +4x+a 的图象是开口向上的抛物线,

′ 2

2

所以△ =4 ﹣4a ≤0,所以 a≤﹣2 或 a≥2. 所以实数 a 的取值范围是(﹣∞,2]∪ [2,+∞) . 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,训练了利用“三个二次”结合求参数的范 围,属基础题. 9. (5 分) 已知函数 在区间 (﹣2, 1) 上有极大值, 则实数 a 的取值范围是 ( D. )

A.(﹣1,0)∪ (0,1) B.(﹣2,0)∪ (0,1) C.(﹣2,1)

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据函数的极大值点,它的左边导数为正且右边导数为负,由此建立关于 a 的不等式组,解之即可 得到实数 a 的取值范围. 解答: 解:求导数,得 y'=x2﹣3ax+2a2 ∵ 函数 在区间(﹣2,1)上有极大值,

∴ 令 y'=0,得 x=a 或 2a, 当 a=0 时,显然函数没有极值点; 当 a>0 时,x=a 为较小的根,可得 a∈(﹣2,1) ,得 0<a<1; 当 a<0 时,x=2a 为较小的根,可得 2a∈(﹣2,1) ,得﹣1<a<0 可得 a∈(﹣1,0)∪ (0,1) 故选:A 点评: 本题给出三次多项式函数在给定区间上有极大值,求实数 a 的取值范围.着重考查了利用导数研究 函数单调性和不等式的解法等知识,属于中档题. 10. (5 分)已知 f(x)=ax ﹣blnx+2x(a>0,b>0)在区间 ( A. ) B. C. D.(2,+∞)
2

上不单调,则

的取值范围是

考点: 函数的单调性与导数的关系;简单线性规划. 专题: 计算题;转化思想.

分析: 求出原函数的导函数,由原函数区间 然后利用 解答: 的几何意义求其范围.
2

上不单调,得到关于 a,b 的不等式组, 作出可行域,

解:由 f(x)=ax ﹣blnx+2x,得 令 g(x)=2ax +2x﹣b, 因为 f(x)=ax ﹣blnx+2x(a>0,b>0)在区间 所以在区间
2 ′ 2 2



上不单调,
2

上,存在 x 使得 f (x)=0,且 x 不是方程 2ax +2x﹣b=0 的二重根. 上有零点,且零点两侧的函数值异号.

即函数 g(x)=2ax +2x﹣b 在区间 又其对称轴方程为 x=﹣ 其可行域如图, <0,则





=

,几何意义为可行域内的动点与定点 A

连线的斜率的范围,

由图可知范围为



故选 B. 点评: 本题考查了函数的单调性与导数的关系,考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法 及数学转化思想方法,解答的关键是由题意列出关于 a,b 的不等式组,是中档题. 二、填空题:每小题 5 分,共 25 分,请将每小题的答案填在答题卷上相应的空格内. 11. (5 分)复数 的共轭复数 = .

考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 根据共轭复数的定义求得 . 解答: 解:由共轭复数的定义可得复数 故答案为﹣ + i.

的共轭复数 =﹣ +

i,

点评: 本题主要考查共轭复数的定义和求法,属于基础题.

12. (5 分)如图,第一排图是长度分别为 1、2、3、…、n 的线段,第二排图是边长分别为 1、2、3、…、n 的正方形,第三排图是棱长分别为 1、2、3、…、n 的正方体,根据图中信息,可得出棱长为 n 的正方体中

的正方体个数是 1 +2 +3 +…+n

3

3

3

3



考点: 归纳推理. 专题: 规律型. 分析: 根据已知题目中一维空间,二维空间中线段,正方形的个数和 n 的关系,我们分析其规律,归纳后 即可得到结论. 解答: 解:第一排图是长度分别为 1、2、3、…、n 的线段,得出长为 n 的线段中对应的单位线段个数是 1+2+3+…+n; 第二排图是边长分别为 1、2、3、…、n 的正方形,得出边长为 n 的正方形中对应的单位正方形个数 2 2 2 2 是 1 +2 +3 +…+n ; 3 3 3 3 由此我们可以推断:棱长为 n 的正方体中对应的正方体个数是 1 +2 +3 +…+n . 3 3 3 3 故答案为:1 +2 +3 +…+n 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出 一个明确表达的一般性命题(猜想) . 13. (5 分)若函数 y=xlnx+a 有零点,则实数 a 的取值范围是 .

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用导数求得当 x= 时,函数取得最小值,再根据函数的最小值小于或等于零,求得实数 a 的取值 范围. 解答: 解:由于函数的定义域为(0,+∞) ,令函数的导数 y′ =lnx+1=0,求得 x= . 在(0, )上,y′ <0,函数 y 是减函数,在( ,+∞)上,y′ >0,函数 y 是增函数,故当 x= 时, 函数取得最小值. 要使函数有零点,需函数的最小值小于或等于零,即 即实数 a 的取值范围是 故答案为 . , ?ln +a≤0,∴ a≤ ,

点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性,根据函数的单调性求函数的最值,函数有零点的条件, 属于基础题. 14. (5 分)已知 a>0,b>0,抛物线 f(x)=4ax +2bx﹣3 在 x=1 处的切线的倾斜角为 值是 18 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;基本不等式. 专题: 导数的概念及应用;不等式的解法及应用. 分析: 求导函数,确定切线的斜率,利用抛物线 f(x)=4ax2+2bx﹣3 在 x=1 处的切线的倾斜角为 8a+2b=1,再利用“1”的代换,利用基本不等式,即可求得最小值. 解答: 解:求导函数,可得 f′ (x)=8ax+2b, ∴ x=1 时,f′ (1)=8a+2b, ∵ 抛物线 f(x)=4ax +2bx﹣3 在 x=1 处的切线的倾斜角为 ∴ 8a+2b=1 ∴ = =10+
2 2

,则

的最小

,确定



∵ a>0,b>0 ∴ ∴ 的最小值是 18 =8(当且仅当 a= ,b= 时,取等号)

故答案为:18. 点评: 本题考查导数的几何意义,考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 15. (5 分)已知 f'(x)是 f(x)的导数,记 f (x)=f'(x) ,f (x)=(f (x) )'(n∈N,n≥2) , 给出下列四个结论: (5) n ① 若 f(x)=x ,则 f (1)=120; (4 ) ② 若 f(x)=cosx,则 f (x)=f(x) ; (n) x + ③ 若 f(x)=e ,则 f (x)=f(x) (n∈N ) ; (n) (n) + ④ 设 f(x) 、g(x) 、f (x)和 g (x) (n∈N )都是相同定义域上的可导函数,h(x)=f(x)?g(x) , (n) (n) (n) + 则 h (x)=f (x)?g (x) (n∈N ) . 则结论正确的是 ① ② ③ (多填、少填、错填均得零分) . 考点: 导数的运算. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 根据导数的运算法则逐个命题判断即可得到结论. (5) n 解答: 解:① 中,由 f(x)=x ,得 f (1)=5×4×3×2×1=120,故① 正确; (1) (2 ) (3 ) (4 ) ② 中,f (x)=f′ (x)=﹣sinx,f (x)=﹣cosx,f (x)=sinx,f (x)=cosx=f(x) ,故② 正 确; (1) (2) (n) x x x x ③ 中,由于 f(x)=e ,所以 f (x)=e ,f (x)=e ,…,f (x)=e =f(x) ,故③ 正确; ④ 中,令 f(x)=x,g(x)=1,则 h(x)=x, (1) (1) (1) (1) (1) (1) 而 h (x)=1,f (x)?g (x)=0,所以 h (x)≠f (x)g (x) ,故④ 错误; 故答案为:① ② ③ . 点评: 本题考查导数的运算性质,考查学生的运算能力,属基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知 ,f′ (x)是 f(x)的导数.
(1) (n) (n﹣1)

(Ⅰ )求 y=f(x)的极值; (Ⅱ )求 f′ (x)与 f(x)单调性相同的区间.

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (I)由导数运算法则知,

,再利用导数与单调性关系求

出极值即可; (Ⅱ )求出函数 f′ (x)的导函数,在定义域下令导函数大于 0 得到函数的递增区间,令导函数小于 0 得到函数的递减区间. 再结合(I)即可得到 f′ (x)与 f(x)单调性相同的区间. 解答: 解: (Ⅰ )∵ ,∴ (x>0) ,

由 f'(x)>0 得,0<x<1 或 x>4,由 f'(x)<0 得,1<x<4.当 x 变化时,f'(x) 、f(x)变化 情况如下表: x (0,1)1 (1,4)4 (4,+∞) 0 0 + f'(x)+ ﹣ f(x) ↗ 极大值↘ 极小值↗ ∴ f(x)的极大值 (Ⅱ )设 ,∴ ,f(x)的极小值 f(x)极小=f(4)=8ln2﹣12.…6 分 ,

由 g'(x)>0 得,x>2,g(x)为增函数,由 g'(x)<0 得,0<x<2,g(x)为减函数. 再结合(Ⅰ )可知:f'(x)与 f(x)的相同减区间为[1,2],相同的增区间是[4,+∞)…12 分. 点评: 本题主要考查导数与函数单调性的关系,会熟练运用导数解决函数的极值问题.求函数的单调区间, 应该先求出函数的导函数,令导函数大于 0 得到函数的递增区间,令导函数小于 0 得到函数的递减 区间. 17. (12 分)已知命题 p:点 P 的坐标为(x,y) ,点 F1、F2 的坐标分别是(﹣1,0) 、 (1,0) ,命题 q:直 线 PF1、PF2 的斜率分别是 k1、k2,k1?k2=m(m∈R) ,p∧q 真. (Ⅰ )求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ )指出点 P 的轨迹类型(如圆、抛物线、直线等) . 考点: 圆锥曲线的轨迹问题;复合命题的真假. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )求出直线 PF1、PF2 的斜率,利用 k1?k2=m,化简即可求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ )对 m 分类讨论,即可求得点 P 的轨迹类. 解答: 解: (Ⅰ )由题意得, , ∵ k1?k2=m(m∈R) ,∴
2 2



所以所求轨迹方程是:mx ﹣y =m(m∈R,x≠±1) .…4 分 2 2 (Ⅱ )由(Ⅰ )点 P 的轨迹方程为 mx ﹣y =m(m∈R,x≠±1) , 当 m<0 且 m≠﹣1 时, 方程可化为
2 2

(x≠±1) , ∴ P 的轨迹是椭圆 (除去与 x 相交的项点) ;

当 m=﹣1 时,方程 x +y =1(x≠±1) ,∴ P 的轨迹是圆(除去与 x 的交点) ; 当 m=0 时,方程是 y=0(x≠±1) ,∴ P 的轨迹是 x 轴(除去(﹣1,0)和(1,0)两点) ; 当 m>0 时,方程可化为 (x≠±1) ,∴ P 的轨迹是双曲线(除去项点)…12 分.

点评: 本题考查轨迹方程,考查分类讨论的数学思想,属于中档题. 18. (12 分)已知 (Ⅰ )求实数 m 的值; 的极值点是﹣5,1.

(Ⅱ )求 y=f(x)的递增区间. 考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )由函数极值的定义,先求函数 f(x)的导函数,由 f'(﹣5)=f'(1)=0,可得关于 m 的方程, 解出即可; 2 (Ⅱ )在(1)的条件下 f'(x)=x +4x﹣5=(x+5) (x﹣1) ,解不等式 f'(x)>0,即可得函数 f(x) 的单调递增区间. 解答: 解: (Ⅰ )∵ , ∴ f'(x)=(2m﹣1)x +4mx﹣5m 由题意,即
2 2



解得,m=1. 经验证,当 m=1 时,f(x)的极值点是﹣5,1,所以 m=1…6 分 (Ⅱ )由(Ⅰ ) ,f'(x)=x +4x﹣5=(x+5) (x﹣1) ,
2

解不等式 f'(x)>0 得,x<﹣5 或 x>1, ∴ y=f(x)的递增区间是(﹣∞,﹣5],[1,+∞) .…12 分. 点评: 本题综合考查了导数在函数极值、单调性中的应用,解题时要认真体会导数在研究函数性质方面的 积极作用,规范解题. 19. (12 分)某校一次数学研究性学习活动中,一个密封的箱子内装有分别写上 y=sinx,y=cosx,y=e , ,lnx 六个函数的六张外形完全一致的卡片(一张卡片一个函数) ,参与者有放回的抽取卡 片,参与者只参加一次.如果只抽一张,抽得卡片上的函数是其它某一张卡片上函数的导数,抽取者将获 得三等奖;如是先后各抽一张,抽出的卡片中,其中一张上的函数是另一张卡片上函数的导数,抽取者将 获得二等奖;如果先后各抽一张,第一张卡片上的函数的导数是第二张卡片上的函数,抽取者将获得一等 奖. (Ⅰ )求学生甲抽一次获得三等奖的概率; (Ⅱ )求学生乙抽一次获得二等奖的概率; (Ⅲ )求学生丙抽一次获得一等奖的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ )在所给的六个函数中,有 y=cosx,
x



这三个函数可作为其它函数的导数,由此求

得学生甲抽一次获得三等奖的概率. (Ⅱ )在六个函数的卡片中,先后抽两次,不同的抽法有 36 种.其中,有 7 种抽法满足得二等奖的 要求,由此求得学生乙抽一次获得二等奖的概率. (Ⅲ )在六个函数的卡片中,先后抽两次,不同的抽法有 36 种.其中,有 4 种抽法满足得一等奖的 要求,由此求得学生丙抽一次获得一等奖的概率.
x 解答: 解: (Ⅰ )在 y=sinx,y=cosx,y=e ,

,lnx 六个函数中,y=cosx,





三个函数可作为其它函数的导数. 设“学生甲抽一次获得三等奖”为事件 A,∴ (Ⅱ )在 y=sinx,y=cosx,y=e , 法有 36 种, 其中,y=sinx,y=cosx 组合两种,y=e ,y=e 组合一种,
x x x

.…4 分 ,lnx 六个函数的卡片中,先后抽两次,不同的抽

组合两种,lnx,

组合

两种,共计 7 种都满足得二等奖的要求. 设“学生乙抽一次获得二等奖”为事件 B,∴ (Ⅲ )在 y=sinx,y=cosx,y=e , 法有 36 种. 其中,y=sinx,y=cosx 组合 1 种,y=e ,y=e 组合 1 种, 1 种,共计 4 种都满足得一等奖的要求. 设“学生丙抽一次获得一等奖”为事件 C,∴ 答:甲乙丙三人各得三、二、一等奖的概率分别是 . .…12 分.
x x x

.…8 分 ,lnx 六个函数的卡片中,先后抽两次,不同的抽

组合 1 种,lnx,

组合

点评: 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题. 20. (13 分)已知 (Ⅰ )求 f(x)的单调区间; (Ⅱ )设 an=f(n) ,求数列{an}的前 n 项和 Sn,并证明 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )求导函数,利用导数的正负,即可求 f(x)的单调区间; (Ⅱ )求出数列的通项.利用等比数列的求和公式求和,即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ )∵ ,∴ , 当 x<1 时,f′ (x)>0,f(x)是单调递增,当 x>1 时,f′ (x)>0,f(x)是单调递减. 所以 f(x)的递增区间是(﹣∞,1],递减区间是[1,+∞) . …5 分 (Ⅱ )∵ an=f(n) ,Sn=a1+a2+…+an,∴ ∴ 且 , . (e 是自然对数的底数) ,



=

∴ 由(Ⅰ )知 ∴

. ,∴ .…13 分. ,∴ ,∴ ,

点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 21. (14 分)已知,f(x)=xlnx,g(x)=ax +bx﹣1,函数 y=g(x)的导数 g′ (x)的图象如图所示. (Ⅰ )求 g(x)的解析式; (Ⅱ )d≥f(x)﹣g(x)对一切 x>0 恒成立,求实数 d 的取值范围;
2

(Ⅲ )设 h(x)=f(x)﹣g(x) ,求函数 h(x)的零点个数.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函数的极值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ )g'(x)=2ax+b,利用一次函数的图象与性质求解 a,b,即可求得 g(x)的解析式; 2 (Ⅱ )f(x)﹣g(x)=xlnx﹣x +x+1,由于 x>0,可以通过研究 T(x)=lnx﹣x+1>0 恒成立解决. 2 (Ⅲ )h(x)=xlnx﹣x +x+1,h'(x)=lnx﹣2x+2(x>0) ,通过研究其单调性结合零点存在定理解决. 2 解答: 解(Ⅰ )∵ g(x)=ax +bx﹣1,∴ g'(x)=2ax+b 由图可知 b=﹣1,∴ g'(x)=2ax﹣1, 将
2

代入计算得 a=1,

∴ g(x)=x ﹣x﹣1.…3 分 (Ⅱ )设 T(x)=lnx﹣x+1(x>0) . ∴ ,∴ 当 0<x<1 时,T'(x)>0,T(x)单调递增,当 x>1 时,T'(x)<

0,T(x)单调递减. ∴ T(x)max=T(x)极大=T(1)=0,即对一切 x>0,都有 lnx﹣x+1≤0, 2 2 ∴ xlnx﹣x +x≤0,即 xlnx﹣x +x+1≤1. 2 由(Ⅰ )得 f(x)﹣g(x)=xlnx﹣x +x+1,所以对一切 x>0 都有 f(x)﹣g(x)≤1. 所以实数求 d 的取值范围是[1,+∞) .…8 分 2 (Ⅲ )h(x)=xlnx﹣x +x+1,h'(x)=lnx﹣2x+2(x>0) . 设 t(x)=lnx﹣2x+2(x>0) ,则 (x)=t(x)是增函数,当 ,所以当 时,t'(x)>0,h'

时,t'(x)<0,h'(x)=t(x)是减函数,所以 .

又 h'(e )=﹣2e <0,所以在区间

﹣2

﹣2

上存在唯一的实数 x0,使得 h'(x0)=t'(1)=0

(e 是自然对数的底数) , 所以当 x 变化时,h'(x) 、h(x)的变化情况如下表: x (1,+∞) (0,x0)x0 (x0,1)1 0 + 0 h'(x)﹣ ﹣ h(x) ↘ 极小值↗ 极大值 1↘ ∴ ,且 h'(x0)=lnx0﹣2x0+2=0, ∴
2



∵ h(x)在区间(1,+∞)递减,h(e)=2e﹣e +1<0,∴ 在区间(1,e)上存在唯一一点 x,使得 h (x)=0. 综上所述,函数 h(x)的零点个数是 1.…14 分. 点评: 本题考查导数知识的运用,函数的单调性,查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,化归与转化 思想.数形结合的思想,综合性强



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