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2006-2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案全



2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
2006.4.2 8:00~11:00
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,共 150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 36 分)

一、 选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。在每小题给出的 4 个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 2 1. 已知数列﹛an﹜的通

项公式 an ? 2 ,则﹛an﹜的最大项是( ) n ? 4n ? 5
(A) a1 (B) 2. 函数 y ? 3
log3 x

a2 (C ) a3 (D) a4 的图像大致是( )

y

y

1 o
(A ) 1

1 x o
(B ) 1

x

y

y

1 o
1

1 x o
1

x

(C ) (D) 2 3. 已知抛物线 y =2px,o 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有( ) (A)0 个 (B)2 个 (C)4 个 (D)6 个 4.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1+x2>O,x2+x3>O,x3 十 x1>O, 则 ( ) (A)f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)<O (C)f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 (D)f(x1)+f(x2)>f(x3) 5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线共
第 1 页 共6页

有( ) (A)0 条

(B)1 条

(C)4 条

(D)无数多条

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, tan A ? 的边为 1,则最短边的长为( A. )

1 3 10 , cos B ? . 若△ABC 最长 2 10

2 5 5

B.

3 5 5

C.

4 5 5

D.

5 5

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分.
7.集合 A={x∣x=3n,n∈N,0<n<10},B={y∣y=5m,m∈N,O?m?6}, 则集合 AUB 的所有元素之和为 8.设 COS2θ=
2 3

2 4 4 ,则 COS θ+sin θ 的值是 3
5

9.(x-3x ) 的展开式中,x 的系数为
10.已知

1 11.等比数列 { an } 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? .设 f (n) 表示该数列的前 n 项的积, 2
则当 n= 时, f (n) 有最大值. 12.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB1=4,AD1=3,则对角线 AC1 的取值范围为 三、解答题(第 13 题、14 题各 12 分,15 题 16 分,16 题 20 分)

y ? ?0 ? ? 3x ? y ?0 ?x ? 3y ? 3 ? ?0

,则 x +y 的最大值是

2

2

? ? ? 2a ? ? ? 13.设集合 A= ? x log 1 (3 ? x) ? ?2 ? ,B= ? x ? 1? ,若 A∩B≠ ? ,求实数 a 的取值范围。 ? x?a ? ? ? 2 ? ?

第 2 页 共6页

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,P1,P2,?,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其 9 4 中 P1 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=?=∠P24FP1.若这 24 个点到右准线的距离的 2 倒数和为 S,求 S 的值.
14.椭圆

15. △ABC 中,AB<AC,AD,AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC,证明∠BAC 是直角.

第 3 页 共6页

16. 设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p

答案 1.B 2 . A 3. B 4. B 5. C 6. D 7. 225 8.

11 9. 27 18

10. 9

11. n=12 12. AC1∈(4,5)

13. a∈(-1,0)∪(0,3) 14. 180
第 4 页 共6页

15. 略 16. 质数 p 为 2 或 3 6.解:由 cos B ?

1 3 10 知 B 为锐角.? tan B ? 3 10

tan A ? tan B ? ?1 1 ? tan A ? tan B 由(1)知 ?C ? 135 ? ,故 c 边最长,即 c=1,又 tan A ? tan B ,故 b 边最短
故 tan C ? tan( ? ? A ? B) ? ? tan( A ? B) ? ?

? sin B ?

10 2 , sin C ? 10 2

?由正弦定理 5 . 5

b c ? 得 sin B sin C

b?
11.解

c sin B 5 ? sin C 5

即最短边的长为

1 n ( n ?1) 1 an ? 2002 ? (? )n?1 , f (n) ? 2002n ? (? ) 2 2 2 ∵ | f (n ? 1) | ? 2002 , | f ( n) | 2n

∴当 n≤10 时, | f (n ? 1) | ? 2002 >1,∴ | f(11) |>| f(10) |>…>| f(1) |; n
| f ( n) | 2

当 n≥11 时,

| f ( n ? 1) | 2002 ? n <1,∴ | | f ( n) | 2

f(11) |>| f(12) |>…

∵ f (11) ? 0 , f (10) ? 0 , f (9) ? 0 , f (12) ? 0 ,∴ f (n) 的最大值为 f (9) 或 f (12) 中的最大者.
1 202012 ? ( )66 f (12) 1 2020 2 ∵ ? ? 20203 ? ( )30 ? ( 10 )3 ? 1 , 1 f (9) 20209 ? (? )36 2 2 2

∴ 当 n=12 时, f (n) 有最大值为 f (12) ? 200212 ? ( )66 . 16.解: 当 p=2 时,p2+71=75=52×3,此时共有正因数(2+1)(1+1)=6 个,故 p=2 满足要求.当 p=3 时,p2+71=80=24×5,此时共有正因数(4+1)(1+1)=10 个,故 p=3 满足条件. 当 p>3 时,p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数 p 必为 3k±1 型的奇数 p-1、p+1 是相邻的两个偶数,且其中必有一个是 3 的倍数.所以,(p—1)(p+1)是 24 的倍数, 从而 p2+71 是 24 的倍数. 设 p2+71=24×m,m?4. 若 m 有不同于 2、3 的质因数,则,p2+71 的正因数个数?(3+1)(1+1)(1+1)>l0; 若 m 中含有质因数 3,则,p2+71 的正因数个数?(3+1)(2+1)>10; 若 m 中仅含有质因数 2,则 p2+71 的正因数个数?(5+1) (1+1)>10; 所以,p>3 不满足条件.综上所述,所求得的质数 p 是 2 或 3.

1 2

第 5 页 共6页

第 6 页 共6页

第 7 页 共6页

第 8 页 共6页

第 9 页 共6页

第 10 页 共 6 页

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第 15 页 共 6 页

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m, n, x,y 满足 m 2 ? n 2 ? a ,x 2 ? y 2 ? b , 其中 a,b 为常数,那么 mx+ny 的最大值为 A.
a?b 2

B.

ab

C.

a 2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

?1 1? 2. 设 y ? f ( x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数 ?2 4?
y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点

A. P

B. Q

C. M

D. N

3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等 比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4
1 0.5 2 1

x
y

z
4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形

第 16 页 共 6 页

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的平 面? , ? A. 不存在 C. 有且只有两对 B. 有且只有一对 D. 有无数对

二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x 2 ? ?x? ? 2 和B ? ?x x ? 2?,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数, 则

?

?

A? B ?

7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ? 约 分数).

(结果要求写成既

8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为

.

9. 与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为



10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

a2 ? b2 = c2

.

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ?2x 2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n?时,
?1 1 ? f ( x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值. ?n m?

第 17 页 共 6 页

12.

A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA? OB ? 0 。 4 9

1 OA
2

?

1 OB
2

为定值;

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上. 13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? ,? 的三角函数值表示).

14. 能否将下列数组中的数填入 3× 3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、 每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给 予证明.(Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

第 18 页 共 6 页

答案: 1、解 由柯西不等式 (mx? ny) 2 ? (m2 ? n 2 )(x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到

mx ? ny ? ab ,当 m ? n ?

a b ,x? y? 时, mx? ny ? ab . 选 B. 2 2
1
1

2、解

1 ? 1 ?4 1 ? 1 ?2 1 取 a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴ 公共点只可能是 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ?

点 N. 选 D. 3、解
y?

第一、二行后两个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5;第三、四、五列中的 x ? 0.5 ,

5 3 , z ? ,则 x ? y ? z ? 1. 选 A. 16 16

4、解

两个三角形的内角不能有直角;?A1 B1C1 的内角余弦都大于零,所以是锐角三

角形;若 ?A2 B2 C2 是锐角三角形,则不妨设

?? ? cos A1 =sin A2 =cos ? ? A1 ? , ?2 ?
?? ? cos C1 =sin C 2 =cos ? ? C1 ? . ?2 ?

?? ? cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ?


A1 ?

?
2

? A2 , B1 ?

?
2

? B2 , C1 ?

?
2

? C2 ,



A1 ? B1 ? C1 ?

3? ? ( A2 ? B2 ? C 2 ) ,矛盾. 选 B. 2
第 19 页 共 6 页

5、解

任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与

垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 6、解 A ? B ? ? 1, 3 . ∵ x ? 2 , ?x ? 的值可取 ? 2,?1,0,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x 2 ? 0 无解; 当[x]=0,则 x 2 ? 2 无解; 所以 x ? ?1或 3 . 7、解 当[x]= ? 1 ,则 x 2 ? 1 ,∴ x= ? 1 ; 当[x]=1,则 x 2 ? 3 ,∴x ? 3 .

?

?

91 ?5? 考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ? . 216 ?6?

3

8、解

由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同,

A O B C

高是 5:1. 故面积比是 5:1.

9、解

由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x ? ?2 为准线的抛物线上的

点;若切点是原点,则圆心在 x 轴负半轴上 . 所以轨迹方程为 y 2 ? 8x( x ? 0) ,或
y ? 0( x ? 0) .

10、解

a2 ? b2 =3 c2

切割化弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C ? ? , cos A cos B cos A cos C cos B cos C

第 20 页 共 6 页

亦即

sin A sin B cos C ab cos C sin A sin B sin( A ? B) ? ? 1. ,即 =1,即 2 sin C cos C sin C c2

所以,

a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ?3 ,故 2c 2 c2

11、解

由题 f ( x) ? ?2( x ?1) 2 ? 1 ,
1 ? 1 ,即 m ? 1 ,? f ( x)在?m, n? 上单调减, m 1 1 且 f (n) ? ?2(n ? 1) 2 ? 1 ? . m n

??5 分

? f ( x) ? 1 ,?

? f (m) ? ?2(m ? 1) 2 ? 1 ?

??10 分

?m ,n 是方程 f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 ?

1 的两个解,方程即 x

( x ?1)(2 x 2 ? 2 x ?1) =0,
解方程,得解为 1,
1? 3 1? 3 , . 2 2

?1 ? m ? n ,? m ? 1 , n ?

1? 3 . 2

??15 分

12、证 则 r ? OA ,

(Ⅰ)设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin ? ) ,B 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin ? ?) ,

r ? ? OB ,A 在双曲线上,则

? cos2 ? sin 2 ? ? r2? ? 4 ? 9 ? ? ? 1. ? ?
所以
1 cos2 ? sin 2 ? ? ? . 4 9 r2

??5 分 由 OA? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos2 ? ? ? sin 2 ? , cos2 ? ? sin 2 ? ? .
第 21 页 共 6 页

同理,
1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? ? ? ? , 4 9 4 9 r ?2

所以

1 | OA |
2

?

1 | OB |
2

?

1 1 1 1 5 . ? 2 ? ? ? 2 4 9 36 r r'
??10 分

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA? OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? OP ? AB ? OA ? OB ,即 OP ? ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ?

? ? 2 2 ? 1 1 ? ?1 1? ? 5 ? ? ? OP ? ? ? OP ?? ? ?1. 即 OP ? ? ? ? ? 2 2 ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
2

于是, OP ?

2

36 . 5

即 P 在以 O 为圆心、

6 5 为半径的定圆上. 5

??15 分

13、解

在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线,

N C A D

交射线 DB 于 B 点; 在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则
AB ? tan? , DB ? AC ? tan? , DC ?

B M

1 , cos ?
1 , cos?
第 22 页 共 6 页

??5 分

并且 ?BAC ? ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角 . 分 在 ?DBC与?ABC 中,利用余弦定理,可得等式
BC 2 ?

??10

1 1 2 ? ? cos? ? tan2 ? ? tan2 ? ? 2 tan? tan? cos? , 2 2 cos ? cos ? cos? cos?

所以,
2 tan? tan? cos? ? tan2 ? ? tan2 ? ? 1 1 2 ? ? cos? 2 2 cos ? cos ? cos? cos?

= 分 故得到

2(cos? ? cos? cos? ) , cos? cos?

??15

cos? ?

cos? ? cos ? cos? . sin ? sin ?

?? 20



14、解(Ⅰ)不能. 分 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是

??5

2× 4× 6× 8× 12× 18× 24× 36× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 3 1?1? 2?1? 2?1 =219· 38 不是立方数,故不 能. (Ⅱ)可以. 如右表

36 8 6

2 12 72

24 18 4
??15 分

表中每行、每列及对角线的积都是 26·23.
第 23 页 共 6 页

??20 分

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00)
第 24 页 共 6 页

一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= . 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k= . 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= . 3x+1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x .
A

5. 如图, 在四面体 ABCD 中, P、 Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点, 且 BP=2PC, CQ=2QD. R 为棱 AD 的中点, 则点 A、 B 到平面 PQR 的距离的比值为 . 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 . 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积 为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、 高分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以 存水 cm3. → → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC ·AO = .

R D B Q P C

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,?),a2009= 2,则此数列 的前 2009 项的和为 . 10.设 a 是整数,0?b<1.若 a2=2b(a+b),则 b= . 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭圆的 9 4 左焦点.求以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7, AB=28,CE=12.求 BC. C

A

D

E

B

第 25 页 共 6 页

13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请 予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请 证明你的结论.

第 26 页 共 6 页

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= . 填 0. 解:由于|sinα|?1,|cosβ|?1,现 sinαcosβ=1,故 sinα=1,cosβ=1 或 sinα=-1,cosβ=- 1, π π π ∴ α=2kπ+ ,β=2lπ 或 α=2kπ- ,β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+ (k,l∈Z). 2 2 2 ∴ cos(α+β)=0. 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k= . 填 11. 解:设公差为 d,则得 1 55=-5×11+ ×11×10d?55d=110?d=2. 2 ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11. 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= 填 -1+ 5 . 2 -1+ 5 . 2 .

解:由(2b)2=2c×2a?a2-c2=ac?e2+e-1=0?e= 3x+1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x 填 1. .

1 3x 解:即 x = x ?32x-4×3x+3=0?3x=1(舍去),3x=3?x=1. 3 -1 3(3 -1) 5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ=2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 . 1 填 . 4 解: A、 B 到平面 PQR 的距离分别为三棱锥 APQR 与 BPQR 的以三角形 PQR 为底的高.故其比值等于这两个三棱锥的体积比. 1 1 1 1 1 1 1 VAPQR= VAPQD= × VAPCD= × × VABCD= VABCD; 2 2 3 2 3 3 18 1 2 1 4 又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1- - × )SBCD= SBCD, 3 3 3 9 4 1 4 4 VRBPQ= VRBCD= × VABCD= VABCD. 9 2 9 18 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4.
第 27 页 共 6 页
B A

R D Q P C

又,可以求出平面 PQR 与 AB 的交点来求此比值: 在面 BCD 内,延长 PQ、BD 交于点 M,则 M 为面 PQR 与棱 BD 的交点. BM DQ CP DQ 1 CP 1 BM 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 = , = ,故 =4. MD QC PB QC 2 PB 2 MD 在面 ABD 内,作射线 MR 交 AB 于点 N,则 N 为面 PQR 与 AB 的交点. BM DR AN BM DR AN 1 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 =4, =1,故 = . MD RA NB MD RA NB 4 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4.
B

A N R D M Q P C

6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 . 填[3,4]. 解:定义域(0,4].在定义域内 f(x)单调增,且 f(3)=0.故 f(x)?0 的 x 的取值范围为[3,4]. 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长 方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、60cm.若 不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 cm3. 填 78000. 解:设净水器的长、高分别为 x,ycm,则 xy=300, V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy) ?30(1200+2 60x×20y+300)=30(1500+1200) =30×2700. ∴ 至少可以存水 78000cm3. → → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC · AO = 25 填- . 2 → → → 解:设| AO |=| BO |=| OC |=R.则
R O


A R R C

→ → → → → → → → → BC · AO =( BO + OC )· AO = BO · AO + OC · AO =R2cos(π-2C)+R2cos2B 1 1 1 25 =R2(2sin2C-2sin2B)= (2RsinB)2- (2RsinC)2= (122-132)=- . 2 2 2 2 为

B

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,?),a2009= 2,则此数列的前 2009 项的和 . 填 2008+ 2. 2 2 解:若 an+1≠0,则 an=2- ,故 a2008=2- 2,a2007=2- =- 2,a2006=2+ 2, an+1 2- 2

a2005= 2. an+1-2 2 2 一般的,若 an≠0,1,2,则 an=2- ,则 an-1= ,a - = ,a - =a + ,故 an+1 an+1-1 n 2 2-an+1 n 3 n 1 an-4=an.

第 28 页 共 6 页

于是,

2009 k=1

Σ a =502(a +a +a +a )+a
n 1 2 3 4

2009=502(a2005+a2006+a2007+a2008)+a2009=2008+

2.

10.设 a 是整数,0?b<1.若 a2=2b(a+b),则 b= 填 0, 3-1 , 3-1. 2



解:若 a 为负整数,则 a2>0,2b(a+b)<0,不可能,故 a?0. 于是 a2=2b(a+b)<2(a+1)?a2-2a-2<0?0?a<1+ 3?a=0,1,2. a=0 时,b=0; a=1 时,2b2+2b-1=0?b= 3-1 ; 2

a=2 时,b2+2b-2=0?b= 3-1. 说明:本题也可以这样说:求实数 x,使[x]2=2{x}x.

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭圆的 9 4 左焦点.求以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.
?4x2+9y2=36, 解:取方程组? 代入得,25y2-64y+28=0. ?x=2y-4.
y B A C F O x

14 此方程的解为 y=2,y= . 25 72 14 即得 B(0,2),A(- , ),又左焦点 F1(- 5,0). 25 25 连 OA 把四边形 AFOB 分成两个三角形. 1 72 1 14 1 得,S= ×2× + × 5× = (72+7 5). 2 25 2 25 25 也可以这样计算面积:

1 1 14 1 直线与 x 轴交于点 C(-4,0).所求面积= ×4×2- ×(4- 5)× = (72+7 5). 2 2 25 25 也可以这样计算面积: 1 14 72 72 14 所求面积= (0×2-0×0+0× -(- )×2+(- )×0-(- 5)× +(- 5)×0-0×0) 2 25 25 25 25 1 144 14 1 = ( + 5)= (72+7 5). 2 25 25 25

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7, AB=28,CE=12.求 BC. AD AC 解: = ?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE. AC AB
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A D C

E

B

∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16. AC2+AE2-CE2 142+162-122 142+28· 4 11 ∴ cosA= = = = . 2AC· AE 2· 14· 16 2· 14· 16 16 11 ∴ BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA=142+282-2· 14· 28· =72· 9?BC=21. 16 13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围. 解法一:显然 k>0.( x+ y)2?k2(2x+y)?(2k2-1)x-2 xy+(k2-1)y?0 对于 x,y>0 恒 成立. 令 t= x >0,则得 f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)?0 对一切 t>0 恒成立. y

当 2k2-1?0 时,不等式不能恒成立,故 2k2-1>0. 2k4-3k2 k2(2k2-3) 1 1 2 2 此时当 t= 2 时,f(t)取得最小值 2 - 2 +k -1= 2 = . 2k -1 2k -1 2k -1 2k -1 2k2-1 当 2k2-1>0 且 2k2-3?0,即 k? ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2 t2+2t+1 1 x >0,则 k2? 2 = (1 y 2 2t +1 6 时,不等式恒成立,且当 x=4y>0 时等号成立. 2

( x+ y)2 x+2 xy+y 解法二:显然 k>0,故 k2? = .令 t= 2x+y 2x+y + 4t+1 ). 2t2+1

u-1 8u 令 u=4t+1>1,则 t= .只要求 s(u)= 2 的最大值. 4 u -2u+9 8 s(u)= ? 9 u+ -2 2 u 8 9 u·-2 u 4t+1 1 1 3 =2,于是, (1+ 2 )? (1+2)= . 2 2 2t +1 2

3 6 ∴k2? ,即 k? 时,不等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). 2 2 4t+1 8t2+4-4t(4t+1) -8t2-4t+4 1 又:令 s(t)= 2 ,则 s?(t)= = ,t>0 时有驻点 t= .且在 0 2 2t +1 (2t2+1)2 (2t2+1)2 1 1 1 1 1 3 <t< 时,s?(t)>0,在 t> 时,s?(t)<0,即 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k2? (1+s( ))= . 2 2 2 2 2 2 1 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y)2?( +1)(2x+y). 2 即( x+ y)? 当 k< 能恒成立. 而当 k? 6 6 时,由于对一切正实数 x,y,都有 x+ y? 2x+y?k 2x+y,故不等式恒 2 2
第 30 页 共 6 页

6 2x+y对一切正实数 x,y 成立. 2

6 1 3 6 6 6 3 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < × = .即不等式不 2 4 2 2 2 2 2

成立. ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请 予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请 证明你的结论. 解:对于任意 n∈N*,n2≡0,1(mod 4). 设 a,b 是两个不同的自然数,①若 a≡0(mod 4)或 b≡0(mod 4),或 a≡b≡2(mod 4),均有 ab≡0(mod 4),此时,ab+10≡2(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数;② 若 a≡b≡1(mod 4),或 a≡b≡3(mod 4),则 ab≡1(mod 4),此时 ab+10≡3(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数. 由此知,ab+10 是完全平方数的必要不充分条件是 a≡ / b(mod 4)且 a 与 b 均不能被 4 整除. ⑴ 由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取 a=2,b=3,c=13,则 2×3 +10=42,2×13+10=62,3×13+10=72. 即 2,3,13 是满足题意的一组自然数. ⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数. 这是因为,任取 4 个不同自然数,若其中有 4 的倍数,则它与其余任一个数的积加 10 后不 是完全平方数,如果这 4 个数都不是 4 的倍数,则它们必有两个数 mod 4 同余,这两个数的积加 10 后不是完全平方数. 故证.

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2010 年全国高中数学联赛江苏赛区
主讲:吴建明 一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分)
x x 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为

班级 .

姓名

2.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是 3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2? 上的最大值是
2

. . ,最小值是 .

5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4,0? 、 B ? ? 6,8? 、 C ? ? 2, 4? ,则 R 的取值范围为 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是关于 x 的奇函数,则函数 .

y ? f ? x ? 在区间 ?0,100? 上至少有

个零点.

7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 .

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中
(第 7 题)

镀 2 金 2 银的概率是



9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC

? ? ,且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



10.设复数列 ?xn ? 满足 xn ? a ?1 , 0 ,且 xn ?1 ? 则 a 的值是

a xn .若对任意 n ?N* 都有 xn?3 ? xn , xn ? 1



二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分)

第 32 页 共 6 页

x2 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C : ? y 2 ? 1 上的三点.若 4
3 4 x2 OM ? OA ? OB ,证明:线段 AB 的中点在椭圆 ? 2 y 2 ? 1 上. 5 5 2

12.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 .

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H .
第 33 页 共 6 页

过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形.

E

A

H F B G C

D

14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3x 都是完全平方数.
2 2

第 34 页 共 6 页

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分)
第 35 页 共 6 页

x x 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为



提示与答案:x<0 无解; 当 x ? 0 时,原方程变形为 32x+3x-6=0,解得 3x=2,x=log32. 2.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是 提示与答案:与 f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同, [ .

k? ? k? ? ? , ? ], k ? Z. 2 4 2 2
.

3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 提示与答案: AB ? AC ? AB ? BC ? AB ? 16 ,得 AB ? 4 . 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2? 上的最大值是
2

2

,最小值是



提示与答案:极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0. 5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4,0? 、 B ? ? 6,8? 、 C ? ? 2, 4? ,则 R 的取值范围为 .

8 5 提示与答案:画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ ,10]. 5 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是关于 x 的奇函数,则函数

y ? f ? x ? 在区间 ?0,100? 上至少有

个零点.

提示与答案:f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数 f ? x ? 满足问题中的条件,且 f ? x ? 的 一个零点恰为 x ? 2k ? 1 ,k∈Z. 所以至少有 50 个零点. 7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 提示与答案:不能有公共端点,最多 4 条,图上知 4 条可以.
(第 7 题)



8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中 镀 2 金 2 银的概率是 . 1 . 3

提示与答案:穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为
第 36 页 共 6 页

9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC

? ? ,且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



提示与答案:4 面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 . 10.设复数列 ?xn ? 满足 xn ? a ?1 , 0 ,且 xn ?1 ? 则 a 的值是

a xn .若对任意 n ?N* 都有 xn?3 ? xn , xn ? 1



a 3 xn a xn a xn ? 2 a 2 xn?1 ? xn 提示与答案:由 xn ?1 ? , xn ?3 ? ? ? xn ? 1 xn ? 2 ? 1 ? a ? 1? xn?1 ? 1 ? a 2 ? a ? 1? xn ? 1
2 2 恒成立,即 a ? a ? 1 xn ? xn ? 1 ? a ? ? 0 . 因为 xn ? a ?1 或 0 ,故 a ? a ? 1 ? 0 ,所以

?

?

1 3 a?? ? i. 2 2
二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 上的三点.若 4

3 4 x2 OM ? OA ? OB ,证明:线段 AB 的中点在椭圆 ? 2 y 2 ? 1 上. 5 5 2
解:设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 由 OM ? x12 x22 +y12=1, +y22=1. 4 4

3 4 3 4 3 4 OA ? OB ,得 M(5x1+5x2,5y1+5y2). 5 5

因为 M 是椭圆 C 上一点,所以 3 4 ( x1+ x2)2 5 5 3 4 +( y1+ y2)2=1, 4 5 5 x12 3 x22 4 3 4 x1x2 即 ( +y12)( )2+( +y22)( )2+2( )( )( +y1y2)=1, 4 5 4 5 5 5 4 3 4 3 4 x1x2 得 ( )2+( )2+2( )( )( +y1y2)=1,故 5 5 5 5 4

???????6 分

第 37 页 共 6 页

x1x2 +y1y2=0. 4 x1+x2 y1+y2 又线段 AB 的中点的坐标为 ( , ), 2 2

???????14 分

所以

x1+x2 2 ( ) 2 y1+y2 2 1 x12 1 x22 x1x2 +2( ) = ( +y12)+ ( +y22)+ +y1y2=1, 2 2 2 4 2 4 4 ??????20 分

x1+x2 y1+y2 x2 从而线段 AB 的中点( , )在椭圆 +2y2=1 上. 2 2 2

12.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 . 解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. 当 n?6 时,an =n-4, 由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n?5 时,an =2n-5.
?n-4,n?4, ? 故 an =? n-5 ?2 , n?5. ?

???????6 分

???????10 分

(2) 由(1)知,数列 ?an ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,? 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

???????15 分

当 m?5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或 m=3. ???????20 分

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H .
第 38 页 共 6 页

过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形. 证明:(1) 由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ ∠BAF=∠BHF, ∴ 点 A、B、F、H 共圆; ???????8 分 (2) 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA, B G ???????14 分 C A H F D E

∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, 又 AD 是圆的直径,∴ CG⊥AC, 由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆, ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ 所以四边形 BFCG 是矩形. ∴ B、G、C、F 共圆. ∴ BG⊥GC, ???????20 分

14.求所有正整数 x , y ,使得 x2 ? 3 y 与 y 2 ? 3x 都是完全平方数. 解:若 x=y,则 x2+3x 是完全平方数. ∵ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2, ∴ x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. 若 x>y,则 x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ∵ x2+3y 是完全平方数, ∴ x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2, ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2, 得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16.
第 39 页 共 6 页

??????5 分

???????15 分

综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11).

???????20 分

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? .

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

m?

.

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 (结果用最简分数表示) . 4. 已知 cos4? ?

1 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5



5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3 .

6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 . 7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? . 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 .



第 40 页 共 6 页

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.

12.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值.

13.如图,P 是 ABC 内一点.

1 (1)若 P 是 ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90 ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90 ? ?BAC 且 ?APC ? 90 ? ?ABC ,证明:P 是 ABC 的内心. 2 2

A

P

B

C

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14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? 答案:-8 2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 .

m?
答案: ?

.

3 2 3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 (结果用最简分数表示) .
答案:

19 145 1 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5


4. 已知 cos4? ? 答案:

4 5 π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3 .

5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为 答案: 10 3

6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 .

1 答案: (8n ? 48) 7
7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 答案:(0,2)
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8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? . 答案:6 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 答案:4 3 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 . 答案:3,14,30 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 解:设公共点(cosθ,sinθ) ,代入抛物线方程,

1 5 得 h ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? (sin ? ? )2 ? 2 4 ? 5 ? 因为 sin ? ? ? ?1,1? ,所以 h ? ? ? ,1? ? 4 ?
12.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值只能在闭端点取得, 故有 f (2) ? f (3) ? 1 ,从而 b ? ?5 且 c ? ?3b ? 8 . 若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,
4 ? ? b?? , ? ? f ( ?2) ? 0, ? 4 ? 2b ? c ? 0, 5 ? ? ? 在区间 ? ?2,2? 有 ? f (2) ? 0, 即 ? 4 ? 2b ? c ? 0, 消去 c,解出 ?b ? ?4, ? ? ?4 ? b ? 4, ? ?4 ? b ? 4, b ? ?2 ? ? 2, ? ? ? 2 ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ? b ? ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c2 )min ? 32,(b2 ? c2 )max ? 74 . 13.如图,P 是 ABC 内一点.
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1 (1)若 P 是 ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90 ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90 ? ?BAC 且 ?APC ? 90 ? ?ABC ,证明:P 是 ABC 的内心. 2 2

1 1 1 证明: (1) ?BPC ? 180 ? (?ABC ? ?ACB) ? 180 ? (180 ? ?BAC) ? 90 ? ?BAC 2 2 2
A

P

B

C

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数. 证明:设 n0 ? ? ?
q q2 ,其中 p,q 为互质的正整数,则 n0 ? ? ? 2 . p p

设 k 为任意的正整数,构造 n ? p2 k 2 ? 2qk ? n0 , 则 n ?? ?

p 2 k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ?

p 2 k 2 ? 2qk ?

q2 q ? pk ? ? Q . 2 p p

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全国高中数学联赛江苏赛区 2012 年初赛试题答案
班级 __________ 姓名 __________

一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分) 1.当 x ? [ ?3,3] 时,函数 f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为 ________ 2.在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12 , AC ? BA ? ?4 ,则 AC ? ________ 3.从集合 {3, 4,5, 6, 7,8} 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为 ________ 4.已知 a 是实数,方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位) ,则 | a ? bi | 的值 为 ________ 5.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜角为锐角 12 4

的直线 l 与双曲线 C 交于 A 、B 两点;若 ?FAB 的面积为 8 3 ,则直线的斜率为 ________ 6.已知 a 是正实数, k ? a lg a 的取值范围是 ________ 7.在四面体 ABCD 中, AB ? AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 ; 该四面体的体积为 ________ 8.已知等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 满足: a1 ? b1 ? 3 , a2 ? b2 ? 7 , a3 ? b3 ? 15 , a4 ? b4 ? 35 , 则 an ? bn ? ________ 9.将 27,37,47,48,55,71,75 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这 样的排列有 ________ 种. 10.三角形的周长为 31,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的个数 为 ________ 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分) 11.在 ?ABC 中,角 A, B , C 对应的边分别为 a, b, c ,
cos A ? cos B ? 证明: (1) b cos C ? c cos B ? a ; (2) a?b 2sin 2 c C 2 .

12.已知 a, b 为实数, a ? 2 ,函数 f ( x) ?| ln x ?

e a | ?b ( x ? 0) ;若 f (1) ? e ? 1 , f (2) ? ? ln 2 ? 1 ; 2 x

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(1)求实数 a, b ; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若实数 c, d 满足 c ? d , cd ? 1 ,求证: f (c) ? f (d ) . 13.如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线 OM 上有一动点 B , AB ? 1 ,

OB ? 1 ,线段 AB 交圆 O 于另一点 C , D 为线段的 OB 中点,求线段 CD 长的取值范围.

14.设是 a, b, c, d 正整数, a, b 是方程 x2 ? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根;证明:存在边长是整数且面 积为 ab 的直角三角形.

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答案: 01、解:设 g ( x) ? x3 ? 3x, x ? [?3,3] , g ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) ; 因为 g (?1) ? 2 , g (1) ? ?2 , g (3) ? 18 , g (?3) ? ?18 , 根据 g ( x) 的单调性结合绝对值的性质知: f ( x) ? x3 ? 3x 的最大值为 18. 02、解: AC ? BC ? AC ? BA ? 16 , AC ? AC ? 16 ,所以 AC ? 4 . 03、解:考虑取出三数从小到大成数列: 当 d ? 1 时,有 3,4,5;4,5,6;5,6,7;6,7,8 四组; 当 d ? 2 时,有 3,5,7;4,6,8 两组;所以,一共有 6 种情形;
3 ? 20 种情形;故概率为: P ? 从 6 个元素中随机选取 3 个不同的元素共有: C6

6 3 ? . 20 10

04、解:由 b2 ? (4 ? i)b ? 4 ? ai ? 0 ,即 (b2 ? 4b ? 4) ? (b ? a)i ? 0 ;

?b 2 ? 4b ? 4 ? 0 ?a ? 2 ?? 得? ? a ? bi ? 2 2 . ?b ? ?2 ?a ? b ? 0

05、解:由题可设斜率为 k (k ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ;
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y

O

A x

将 y ? kx 代入 C : x 2 ? 3 y 2 ? 12 ? 0 ; 得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12 , x 2 ?

12 12k 2 , k 2 x2 ? ; 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

1 由 S ? ? 4 ? y1 ? y2 ? 4 y1 ? 8 3 ,得: y12 ? 12 ; 2
所以

1 1 12k 2 ? 12 , k 2 ? 1 ? 3k 2 ;所以 k 2 ? ,而 k ? 0 ,所以 k ? . 2 4 2 1 ? 3k

06、解:两边取对数得: lg k ? (lg a )2 ? 0 ,所以 k ? 1 ,即 k 的取值范围是 [1, ? ? ) .

A

07、解:由平面几何知识知底面三角形为直角三角形, 且 A 点在底面上的射影为三角形的外心;
1 1 5 3 ?5 3. 所以即为 BD 中点,故 V ? ? ? 3 ? 4 ? 3 2 2
B C D

(1) ? a1 ? b1 ? 3 ?a ? d ? b q ? 7 (2) 1 ? 1 08、解:设公差为 d ,公比为 q ,则 ? ; 2 ? a1 ? 2d ? b1q ? 15 (3) ? a ? 3d ? b q 3 ? 35 (4) ? 1 1

(4)减(3)得: d ? b1q3 ? b1q 2 ? 20 ; 上述两式相减: b1q3 ? 2b1q 2 ? b1q ? 12

(3)减(2)得: d ? b1q 2 ? b1q ? 8 ;
(5) ;

(1)+(4)得: 2a1 ? 3d ? b1q3 ? b1 ? 38 , (2)+(3)得: 2a1 ? 3d ? b1q 2 ? b1q ? 22 ; 两式相减得, b1q3 ? b1 ? b1q 2 ? b1q ? 16 (6) ; 从而
q 3 (5) ? ;所以 q ? 3 , a1 ? 2, d ? 2, b1 ? 1 ; ,可得: q ?1 4 (6)

所以 an ? 2n, bn ? 3n ?1 , an ? bn ? 2n ? 3n ?1 .

09、解:将 7 个数分成 3 类: (1) 3k 的数为:27,48,75,有 3 个;
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(2) 3k ? 1 的数为 47,71,有 2 个; (3) 3k ? 1 的数为 37,55,有 2 个; 要使排列的一列数中任意的四个数之和为 3 的倍数,则 7 个位置上第 1 位和第 5 位应排同一类数, 第 2 和第 6 位排同一类数,第 3 和第 7 位排同一类数,且第 4 位必排第(1)类共有 3 种排法,
2 3 3 3 2 三类数排到三类位置共有 A3 种,每一类位置各有 A2 种排法,故共有 3 (A2 )A3 ? 144 种排法.

10、解:因为 a ? b ? c ? 31, a、b、c ? Z ? ,所以 c ? 11 ; 又因为 a ? b ? c ,所以 c ? 15 ; 所以 c 的所有可能取值为:11,12,13,14,15; 当 c ? 11 时, ( a, b) 的取值为(9,11) (10,10) ,有 2 组; 当 c ? 12 时, ( a, b) 的取值为(7,12) (8,11) (9,10) ,有 3 组; 当 c ? 13 时, ( a, b) 的取值为(5,13) (6,12) (7,11) (8,10) (9,9) ,有 5 组; 当 c ? 14 时, ( a, b) 的取值为(3,14) (4,13) (5,12) (6,11) (7,10) (8,9) ,有 6 组; 当 c ? 15 时, ( a, b) 的取值为(1,15) (2,14) (3,13)┅(8,8)有 8 组 故满足要求的三元 (a, b, c) 的个数为 24.

11、证法一: (余弦定理法) (1) b cos C ? c cos B ? b

a 2 ? b2 ? c 2 a2 ? c2 ? b2 2a2 ?c ? ?a; 2ab 2ac 2a

a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a 2 ? cos A ? cos B 2ac 2bc ( 2) ? a?b a?b

?

ab 2 ? ac 2 ? a 3 ? a 2 b ? bc 2 ? b3 2ab ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2abc(a ? b) 2abc

2sin 2



a 2 ? c2 ? b2 C 1? 2ab ? a 2 ? b 2 ? c 2 2ac 2 ? 1 ? cos C ? ? , c c c 2abc

所以等式成立. 证法二: (正弦定理法) (1)在 ?ABC 中,由正弦定理得: b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ,
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所以 b cos C ? c cos B ? 2R sin B cos C ? 2R sin C cos B ? 2R sin( B ? C ) ? 2R sin A ? a (2)由(1)可知: b cos C ? c cos B ? a ,同理有: a cos C ? c cos A ? b ; 所以 b cos C ? c cos B ? a cos C ? c cos A ? a ? b ; 即 c(cos B ? cos A) ? (a ? b)(1 ? cos C) ? (a ? b) ? 2sin 2
2sin 2 c C 2 .

C ; 2

cos A ? cos B ? 所以, a?b

? f (1) ? a ? b ? e ? 1 ? 12、解: (1)由题意可得: ? ; a e ? f (2) ? ln 2 ? ? b ? ? ln 2 ? 1 2 2 ?

a ? 1 , ? ln 2 ?
(2) f ( x) ? ln x ?

a e a a ? ? ln 2 ,? ? b ? ? 1 , ? a ? e, b ? 1 . 2 2 2 2

a ? 1; x
a 1 e ( x ? 0) ; g ?( x) ? ? 2 ? 0 , g ( x) 在 (0, ??) 上递增; x x x

设 g ( x) ? ln x ?

g (e) ? 0 , ?0 ? x ? e 时, g ( x) ? 0 ;

e ∴ f ( x) ? ln x ? ? 1 , f ( x) 在 (0, e) 上递减; x e 当 x ? e , g ( x) ? 0 , f ( x) ? ln x ? ? 1 在 (e, ??) 上递增, x
即 f ( x) 的减区间为 (0, e) ,增区间为 (e, ??) .

e 1 (3) d ? , c ? 1 , f (c) ? ln c ? ? 1 ; c c 1 1 c c f (d ) ? f ( ) ? ln ? ce ? 1 ? ln c ? ce ? 1 ? ln c ? ? 1 ? ln c ? ? 1 c c e e ? ln c ?
所以命题成立.

c ? 1 ? f (c) ; e

13、证明:

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A

O

D

M B

如图,设 ?AOB ? ? ,
?BAO ? ? ? 2? ,

OA ? AB, ??OBA ? ? ; OA ? OC , ??OCA ? ? ? 2? ,于是 ?BOC ? ? ? 3? ,

∵ D 为 OB 的中点, ?OD ? OAcos? ? cos? ;
? CD 2 ? OC 2 ? OD 2 ? 2OCOD cos ?COD ? 1 ? cos 2 ? ? 2cos ? cos(? ? 3? )
? 1 ? cos 2 ? ? 2 cos ? cos 3? ? 1 ? cos ? ? 2cos ? (4cos ? ? 3cos ? )
2 3

? 8cos4 ? ? 5cos2 ? ? 1 ? 8(cos2 ? ?

5 2 7 ) ? 16 32

又 ?BOC ? ? ? 3? ? ?AOB ? ? , ?OCA ? ? ? 2? ? ?OBA ? ? ; 得 ? ? 3? ? ? , ? ? 2? ? ? ; ? 于是 CD2 ? [

?
4

?? ?

?
3

1 1 , ? cos2 ? ? ( , ) , 4 2

14 2 7 1 , ). , ) ; ? CD ? [ 8 2 32 2

?a ? b ? d ? c 14、证明:由题设可知, ? ,由于 a, b, c, d 是正整数, ?ab ? cd

则 a ? b, a ? c, b ? c 中任两个数之和大于第三个数,且为正整数,
(c ? a ) 2 ? (b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(a ? b) ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(d ? c) ? a 2 ? b 2 ? 2cd ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ( a ? b) 2

1 1 1 又 S ? (a ? c)(b ? c) ? (ab ? c(a ? b ? c)) ? (ab ? cd ) ? ab ; 2 2 2
故存在边长为 a ? c, b ? c,a ? b (均为正整数)的直角三角形( a ? b 为斜边)符合题设要求.

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