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2017版高考(理科)一轮复习:考点强化课1 (34)



复习导读

正、余弦定理是解三角形的主要工具,高考中

主要考查用其求三角形中的边和角及实现边、角之间的转
化;解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用,高考 中可单独考查,也可以与三角函数、不等式综合考查.

考点一 解三角形与三角恒等变换的综合
【例 1】 (满分 12 分)(2015· 浙江卷

)在△ABC 中,内角 A,B, π 2 1 2 2 C 所对的边分别是 a,b,c,已知 A= 4 ,b -a =2c . (1)求 tan C 的值; (2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值.

[满分解答]
2

1 2 (1)由 b -a =2c 及正弦定理,
2 2

1 1 2 得 sin B- = sin C.(2 分) 2 2 所以-cos 2B=sin2C.(4 分) π 3 又由 A= 4 ,即 B+C=4π,得 -cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C=sin2C, 解得 tan C=2.(6 分)

2 5 5 (2)由 tan C=2,C∈(0,π)得 sin C= ,cos C= ,(8 分) 5 5 又因为 sin
?π ? B=sin(A+C)=sin?4+C?,(9 ? ?

分)

3 10 所以 sin B= 10 ,(10 分) π 1 2 2 由正弦定理得 c= 3 b,又因为 A= 4 ,2bcsin A=3, 所以 bc=6 2,故 b=3.(12 分)

?利用正弦定理进行边化角得2分; ?由cos 2B为桥梁解得tan C得4分; ?由tan C求得sin C,cos C得2分;

?正弦定理得b与c的关系及△ABC的面积可求b得2分.

第一步:利用正(余)弦定理进行边角转化; 第二步:利用三角恒等变换求边与角; 第三步:代入数据求值; 第四步:查看关键点,易错点.

探究提高

三角恒等变换和解三角形的结合,一般有

两种类型:一是先利用三角函数的平方关系、和角公
式等求符合正、余弦定理中的边与角,再利用正、余 弦定理求值;一是先利用正、余弦定理确定三角形的 边角,再代入到三角恒等变换中求值.

【训练 1】 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知
?π ? ? tan? +A? ?=2. 4 ? ?

sin 2A (1)求 2 的值; sin 2A+cos A π (2)若 B=4,a=3,求△ABC 的面积. ?π ? 1 ? ? 解 (1)由 tan? +A?=2,得 tan A=3. ?4 ?
sin 2A 2tan A 2 所以 = = . sin 2A+cos2A 2tan A+1 5

1 (2)由 tan A=3,A∈(0,π), 10 3 10 得 sin A= 10 ,cos A= 10 . π a b 又由 a=3,B= 及正弦定理 = ,得 b=3 5. 4 sin A sin B 由 sin
? π? ? C=sin(A+B)=sin?A+ ? ,得 4? ? ?

2 5 sin C= 5 ,

1 设△ABC 的面积为 S,则 S=2absin C=9.

考点二 解三角形与三角函数的综合

【例 2】 (2015· 山东卷)设 f(x)=sin xcos x-cos (1)求 f(x)的单调区间;

2?

? π? ? . x + ? ? 4? ?

(2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若
?A? f? 2 ?=0,a=1,求△ABC ? ?

面积的最大值.
? π? ? 1+cos?2x+ ? 2? ? ?



sin 2x (1)由题意知 f(x)= 2 -

2

sin 2x 1-sin 2x 1 = 2 - =sin 2x-2. 2

π π 由- 2 +2kπ≤2x≤ 2 +2kπ,k∈Z, π π 可得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z; 4 4 π 3π 由 2 +2kπ≤2x≤ 2 +2kπ,k∈Z, π 3π 可得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 4 4 所以
? π ? π ? f(x)的单调递增区间是?- +kπ, +kπ? ?(k∈Z);单调 4 4 ? ?

?π ? 3π ? ? 递减区间是? +kπ, + k π ?(k∈Z). 4 4 ? ?

(2)由

?A? f? 2 ?=sin ? ?

1 1 A-2=0,得 sin A=2,

3 由题意知 A 为锐角,所以 cos A= 2 . 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 可得 1+ 3bc=b2+c2≥2bc, 即 bc≤2+ 3,且当 b=c 时等号成立. 2+ 3 1 因此2bcsin A≤ 4 . 2+ 3 所以△ABC 面积的最大值为 4 .

探究提高

三角函数和解三角形的结合,一般可

以利用三角变换化简所给函数关系式,再结合正、 余弦定理解三角形.

【训练 2 】 (2016· 成都诊断 ) 设函数
2

? π? ? f(x) = sin ?ωx+ ? + ? 6? ?

2sin 2 (ω>0),已知函数 f(x)的图象的相邻两对称轴间的 距离为π. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c(其中 3 b<c),且 f(A)=2,△ABC 的面积为 S=6 3,a=2 7,求 b,c 的值.

ωx



3 1 (1)f(x)= 2 sin ωx+2cos ωx+1-cos ωx

? π? 3 1 ? = 2 sin ωx-2cos ωx+1=sin?ωx- ? ?+1. 6 ? ?

∵函数 f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π, ∴函数 f(x)的周期为 2π.∴ω=1. ∴函数 f(x)的解析式为
? π? ? f(x)=sin?x- ? ?+1. 6 ? ?

? π? 3 ? ? 1 (2)由 f(A)=2,得 sin?A- ?=2. 6? ?

π 又∵A∈(0,π),∴A= . 3 π 1 1 ∵S=2bcsin A=6 3,∴2bcsin 3 =6 3,bc=24, π 由余弦定理,得 a =(2 7) =b +c -2bccos =b2+c2-24. 3
2 2 2 2

∴b2+c2=52,又∵b<c,解得 b=4,c=6.

考点三 解三角形中的最值问题
【例 3】 (2016· 临川一中模拟)已知 f(x)= 3cos 2x
?3π ? +2sin? 2 +x?sin(π-x),x∈R. ? ?

(1)求 f(x)的最小正周期及单调增区间; (2)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,且 f(A)=- 3,a=3,求 BC 边 上的高的最大值.



(1)f(x)= 3cos 2x-sin

? π? 2x=-2sin?2x-3?, ? ?

∴f(x)的最小正周期为 π, π π 3 令 2kπ+2≤2x-3≤2kπ+2π(k∈Z), 5 11 得 kπ+12π≤x≤kπ+12π(k∈Z),
? 5 11 ? ∴单调递增区间为?kπ+12π,kπ+12π?(k∈Z). ? ?

(2)由 f(A)=- 3得 又

? π? sin?2A-3?= ? ?

3 2,

? π? π ? ? A∈ 0,2 ,∴A=3. ? ?

由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,得 9=b2+ c2-bc≥bc,即 bc≤9(当且仅当 b=c 时取等号), 设 BC 边上的高为 h, 1 1 由三角形等面积法知 ah= bcsin A, 2 2 3 9 3 3 3 得 3h= 2 bc≤ 2 ,∴h≤ 2 , 3 3 即 h 的最大值为 2 .

探究提高

解三角形的最值问题常需结合基本不等式

求解,关键是由余弦定理得到两边关系,再结合不等 式求解最值问题,或者将所求转化为某个角的三角函 数,借助三角函数的值域求范围.

【训练 3】 (2015· 湖南卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,a=btan A,且 B 为钝角. π (1)证明:B-A= 2 ; (2)求 sin A+sin C 的取值范围.
sin A a sin A (1)证明 由 a=btan A 及正弦定理,得cos A=b=sin B, 所以 sin B=cos A,即 sin
?π ? ? B=sin? +A? . ? ?2 ?

?π ? π π ? ? 又 B 为钝角,因此 2 +A∈? ,π?,故 B= 2 +A, ?2 ?

π 即 B-A= 2 .

(2)解 所以

? π? ? ? π 由(1)知,C=π-(A+B)=π-?2A+ ?= -2A>0, 2? 2 ? ? π? ? A∈?0, ? .于是 ? 4? ?

sin A+sin C=sin
2

?π ? ? A+sin? -2A? ? ?2 ?

=sin A+cos 2A=-2sin A+sin

? A+1=-2?sin ?

1?2 9 A-4? + . 8 ?

π 2 因为 0<A< 4 ,所以 0<sin A< 2 ,
? 1?2 9 9 2 因此 2 <-2?sin A-4? +8≤8. ? ?

由此可知 sin A+sin C

? 的取值范围是? ?

2 9? ?. , 2 8?



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