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高二数学选修2-3



1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

引入
2010年夏季在南非举行的第19届世界杯 足球赛共有32个队参赛.它们先分成8个小组 进行循环赛,决出16强,这16个队按确定的程 序进行淘汰赛后,最后决出冠亚军,此外还决 出了第三、第四名.问一共安排了多少场比赛?
要回答这个问题,就要用到排列、组合的知 识.排列、组合是完成某项工作的方法种数的知 识.

问题1: 从甲地到乙地,可以乘火 车,也可以乘汽车,一天中, 火车有 3 班,汽车有2 班,那 么一天中,乘这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的 火车3 走法?

火车2 火车1 汽车1 汽车2



问题2: 从甲地到乙地,要从甲地先 乘火车到丙地,再于次日从丙地 乘汽车到乙地,一天中,火车有 3班,汽车有2班,那么两天中, 从甲地到乙地共有多少种不同的 走法? 火车3 丙 汽车1 火车2 甲 乙
火车1 汽车2

从甲地到乙地,有2类办 法,第1类办法乘火车,有3 种不同的走法,第2类办法乘 汽车,有2种不同的走法,那 么从甲地到乙地共有 3+2 = 5 种不同的走法。

从甲地到乙地,需要分成2 个步骤,第1步从甲地到丙地有 3种不同的走法,第2步从丙地 到乙地有2种不同的走法,那么 从甲地到乙地共有 3×2 = 6 种不同的走法。

分类加法计数原理

m 有

完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中

n

种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法. 那么完成这件事共有

N ? m?n

m 种不同的 完成一件事需要两个步骤,做第1步有 方法,做第2步有 n 种不同的方法, 那么完成这件事 共有

种不同的方法. 分步乘法计数原理

N ? m? n

种不同的方法.

例1:在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到, A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体 情况如下: A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 那么,这名同学可能的专业选择共有多少种?
变式:若还有C大学,其中强项专业为:新闻学、金融 学、人力资源学.那么,这名同学可能的专业选择共有 多少种?

探究:如果完成一件事有三类不同方案,在 第1类方案中有 m1种不同的方法,在第2类方案 m 中有 2种不同的方法,在第3类方案中有 3 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不 同的方法? 如果完成一件事情有 类不同方案,在每一 类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数 呢?

m

n

分类加法计数原理
一般归纳: m1 完成一件事情,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m2 种不同的方法 种不同的方法,在第2类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这 ……在第n类办法中有 件事共有

N ? m1 ? m2 ? ??? ? mn

种不同的方法.

例2:设某班有男生30名,女生24名. 现要从中 选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共 有多少种不同的选法?
解:第1步:从30名男生中选出1人,有30种不同选择

第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择
根据分步乘法计数原理,共有30×24=720种不同的 选法

探究:如果完成一件事需要三个步骤,做第1步 有 m1种不同的方法,做第2步有 m2 种不同的方法, 做第3步有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有 多少种不同的方法? 如果完成一件事情需要 n 个步骤,做每一步中 都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?

分步乘法计数原理
完成一件事情,需要分成 n 个步骤,做第 m1 种不同的方法,做第2步有 m2 种不同的方 1步有 法……做第n步有 mn种不同的方法.那么完成这件事 共有

N ? m1 ? m2 ????? mn
种不同的方法.

分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 : ①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点: 1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一 件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的 各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法 都可以单独完成这件事,是独立完成; 2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成 一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任 何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤 都完成后,才算完成这件事,是合作完成.

例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书, 第2层放有3本不同的文艺书,第3层放2本不 同的体育书. ①从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? ②从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种 不同的取法?

解:(1)从书架上任取1本书,有3类方法: 第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法

第2类方法是从第2层取1本文艺书,有3种方法
第3类方法是从第3层取1本体育书,有2种方法

根据分类加法计数原理,不同取法的种数是
N=4+3+2=9

书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本 不同的文艺书,第3层放2本不同的体育书. ②从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的 取法? (2)从书架的第1,2,3层各取1本书,可以分成3 各步骤完成: 第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法 第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法 第3步从第3层取1本体育书,有2种方法 根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是 N=4×3×2=24

例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共 有多少种不同的挂法?
解:第1步:从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3种 选法 第2步:从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2 种选法

根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是
N=3×2=6

例5、给程序模块命名,需要用3个字符,其中首 字符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字 1~9,问最多可以给多少个程序命名? 解:第1步:选首字符,共有7+6=13种选法 第2步:选中间字符,共有9种选法

第3步,选最后一个字符,共有9种选法
根据分步计数原理,最多可以有13×9×9= 1053个不同的名称

巩固练习
1.填空: ①一件工作可以用2种方法完成,有5人会用第1种方 法完成,另有4人会用第2种方法完成,从中选出1 人来完成这件工作,不同选法的种数是 . ②从A村去B村的道路有3条,从B村去C村的道路有2 条,从A村经B村去C村,不同的路线有 条. 2. 现有高中一年级的学生3名,高中二年级的学生5名, 高中三年级的学生4名. ①从中任选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同 的选法? ②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动, 有多少种不同的选法?

3. 从甲地到乙地有 2 种走法,从乙地到丙地有 4 种走法,从甲地不经过乙地到丙地有 3种走法, 则从甲地到丙地的不同的走法共有 种.
4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名, 现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加 校三好学生代表大会,共有 种不同的推选方法.

小结:

完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方 法,在第 2 类办法中有m2 种不同的方法??在第n类办法中有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+ ??+mn 种不同的方法。 注:每一类办法都能直接完成任务,每一种方法相互独立。

分类计数原理(加法原理)

分步计数原理(乘法原理)
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方 法,做第 2 步有m2 种不同的方法??,做第n步有mn种不同的 方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×??×mn 种不同的方法。 注:各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成才算 做完这件事。

小结
分类计数原理与分步计数原理体 现了解决问题时将其分解的两种常用 方法,即分步解决或分类解决,它不 仅是推导排列数与组合数计算公式的 依据,而且其基本思想贯穿于解决本 章应用问题的始终.要注意“类”间 互相独立,“步”间互相联系.
作业:P5 A组 1, 2, 3



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