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双曲线第一课定义



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平面内与两定点F1、F2的距离的 差 和 等于常数2a 的点的轨迹是什么?
M

2a ?|?F

F | 2a |1 F F 2 1 2 | 2a ?| F1F2 | 2a ?| F1F2 | 2a ?| F1F2 | 2a ?| F1F2 |

没有轨迹 椭圆
F1 F2

线段 一条射线
没有轨迹

画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?

2.双曲线的定义 回忆椭圆的定义
平面内与两个定点 F1, F 平面内与两个定点 F F2的距离的和为一个定 2的距离的差的绝对值 1, 等于常数 (小于︱ F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线. 值(大于 ︱F1F2︱ )的点的轨迹叫做椭圆 ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意

M

(1)距离之差的绝对值

F

| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|大于0

1

o

F2

0<2a<2c

3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 如何求这优美的曲线的方程? 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式. |MF1|
F1

y
M

o

F2

x

- |MF2|= ? 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +



(x+c)2 + y2 -

4.化简.

(x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? ?2a
( (x ? c)2 ? y2 )2 ? ( (x ? c)2 ? y2 ? 2a)2

y
M F1

o

cx ? a2 ? ?a (x ? c)2 ? y2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

令c2-a2=b2

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

双曲线的标准方程
y
M

y
M F2 x

F

1

O

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

思考:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上?
x2 y2 y2 x2 ? ? 1与 判断: ? ? 1 的焦点位置? 16 9 9 16

结论: 看

x , y 前的系数,哪一个为正,则

2

2

焦点在哪一个轴上。

双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,c2=a2+b2 但a不一定大于b

a>b>0,a2=b2+c2

课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上 一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______ 3 5 4

(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________

小结 ----双曲线定义及标准方程
定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象

F1

o

F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关 系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

c ?a ?b
2

例1: 已知F1(-5,0),F2(5,0),动点P到
F1、F2的距离之差的绝对值为6,求点P的轨迹 2 2 方程. x y

9

?

16

?1

1、若|PF1|-|PF2|=6呢? 2、若||PF1|-|PF2||=10呢? 3、若||PF1|-|PF2||=12呢? 注意

x y ? ? 1( x ? 0) 9 16
两条射线 轨迹不存在

2

2

没有“绝对值”这个条件时, 仅表示双曲线的一支

练3:已知双曲线

上一点

P到

双曲线的一个焦点的距离为9,则它到另 一个焦点的距离为 3或15 思考: 若把距离9改为3, 则现在有几解? .

例2:求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1)a ? 4, c ? 5焦点在

y 轴上

思考:

要求双曲线的标准 方程需要几个条件 (2)a ? 4 经过点 A(1, 17)

x y (3)已知椭圆的方程为 9 ? 16 ? 1 , 求以
此椭 圆的顶点为焦点、焦点为顶点的双 曲线的标准方程.

2

2

例3:如果方程

表示焦点在y轴

的双曲线,求m的取值范围. 变式一: 方程 表示双曲线时,则m的

取值范围
变式二: 表示焦点在y轴的双曲线时, 求m的范围。

思考探究
过双曲线 的左焦点F1的

弦AB的长为6,则△ABF2(F2是右焦点)的

周长是

小结:
1、双曲线及其焦点,焦距的定义,双曲线的标 准方程以及方程中的a,b,c之间的关系

2、怎样的双曲线其方程是标准方程; 标准方程表示的双曲线的特征
3、焦点位置的确定方法 4、求双曲线标准方程关键(定位,定量)

练习:

根据下列条件,求双曲线的标准方程:
15 16 1、过点 P ( 3 , )、Q ( ? , 5 ) 且焦点在坐标 4 3

轴上; 2、 c = 6 ,经过点 (-5 , 2 ),焦点在 x 轴上;
x y 3、与双曲线 ? ? 1 有相同焦点,且经过 16 4 点 ( 3 2, 2 )
y x (1) ? ?1 9 16
2 2

2

2

2 2 x2 x y ( 2) ? y 2 ? 1 ( 3) ? ?1 5 12 8

双曲线与椭圆之间的区别与联系:
椭 圆 y2 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

定义
方程

|MF1|+|MF2|=2a

x2 a2

+

b2

=1

x2

y2 x2 + 2 =1 2 a b
焦点
F(±c,0) F(0,±c)

a2 b2 y2 x2 = 1 2 2 a b
F(±c,0) F(0,±c) a>0,b>0,a,b大小 不确定,c2=a2+b2

-

y2

=1

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2

这节课,我们一起认识到了双曲线的 图形及方程之美,但我们并没有完全认识 她的特征。她像极了我们的人生,有优美, 也有悲伤,接下来让我们通过一首歌一起 去遐想和感受她的悲伤,希望大家能在聆 听之后,下课之余,去真正的认识双曲线 的另外一面,为今后我们研究双曲线的性 质提供帮助,同时也让我们得出对人生的 一些思考。

如果我是双曲线,你就是那渐近线 如果我是反比例函数,你就是那坐标轴 虽然我们有缘,能够生在同一个平面 然而我们又无缘,漫漫长路无交点 为何看不见,等式成立要条件 难到正如书上说的,无限接近不能达到 为何看不见,明月也有阴晴圆缺 此事古难全,但愿千里共婵娟



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