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福建省泉州市晋江市养正中学2015-2016学年高一(上)期中数学试卷(解析版)



2015-2016 学年福建省泉州市晋江市养正中学高一(上)期中数 学试卷
一.选择题(5 分*12 题,共 60 分) 1.下列式子中,不正确的是( ) A.3∈{x|x≤4} B.{﹣3}∩R={﹣3} 2.函数 A. B.

C.{0}∪?=? D.{﹣1}?{x|x<0} ) D.[2,+∞) )

的定义域为( C.

r />
3.已知集合 A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( A.﹣3∈A B.3?B C.A∩B=B D.A∪B=B 4.下列各组函数中表示同一函数的是( ) A.f(x)=x 与 g(x)=( )2

B.f(x)=lg(x﹣1)与 g(x)=lg|x﹣1| 与 g(t)=t+1(t≠1)

C.f(x)=x0 与 g(x)=1 D.f(x)=

5.已知函数 f(x)=3x+2x 的零点所在的一个区间是( ) A. C. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) (0,1) D. (1,2) 6.函数 f(x)= 的图象( )

A.关于原点对称 B.关于 y 轴对称 C.关于 x 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 7.已知幂函数 f(x)=xa 在[1,2]上的最大值与最小值的和为 5,则 α 的值为( A.1 B.2 C. D.3
3 2



8.下列函数中不能用二分法求零点的是(

) A.f(x)=3x+1 B.f(x)=x C.f(x)=x D.f(x)=lnx 9.设 a= ,b= ,c= ,则 a,b,c 的大小关系是( )

A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>c>a 10.函数 y=ax﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

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11.上海 A 股市场的某股票,其股价在某一周内的周一、周二两天,每天下跌 10%,周三、 周四两天,每天上涨 10%,则将该股票在这周四的收盘价与这周一的开盘价比较(周一开 盘价恰为上周收盘价) ,变化的情况是( ) A.下跌 1.99% B.上涨 1.99% C.不涨也不跌 D.不确定 12.对于实数 a 和 b,定义运算“*”a*b= 设 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1) , )

=a 且关于 x 的方程 f (x) (a∈R) 恰有三个互不相等的实数根, 则实数 a 的取值范围是 ( A.[0, ] B.[0, ] C. (0, ]∪(1,+∞) D. (0, )

二.填空题(5 分*4 题,共 20 分) 13.已知函数 f(x)的定义域和值域都是{1,2,3,4,5},其对应关系如下表所示,则 f (f(4) )= . x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 2x﹣4 14. f x) =a +n 2) 已知函数 ( (a>0 且 a≠1) 的图象恒过定点 P (m, , 则 m+n= 15. f x) f x) =3x, f log 已知 ( 为 R 上的奇函数, 当 x>0 时, ( 那么 ( 4) 的值为

. .

16.已知函数 f(x)=loga(2x﹣1) (a>0,a≠1)在区间(0,1)内恒有 f(x)<0,则函 数 的单调递减区间是 .

三.解答题(6 题共 70 分) 17.已知 A={x| <3x<9},B={x|log2x>0}. (Ⅰ)求 A∩B 和 A∪B; (Ⅱ)定义 A﹣B={x|x∈A 且 x?B},求 A﹣B 和 B﹣A. 18.计算 (1)

(2)



19.已知函数 f(x)=lg(2+x)﹣lg(2﹣x) . (1)判定函数 f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)判定 f(x)的单调性(不用证明) ,并求不等式 f(1﹣x)+f(3﹣2x)<0 的解集. 20.设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. (1)求 f(3)的值; (2)求函数 f(x)的最大值与最小值及与之对应的 x 的值.

第 2 页(共 14 页)

21.某公司生产一种产品,每年需投入固定成本 25 万元,此外每生产 100 件这样的产品, 还需增加投入 50 万元,经市场调查知这种产品年需求量为 500 件,产品销售数量为 t 件时, 销售所得的收入为 万元.

(1)该公司这种产品的年生产量为 x 件,生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量 x 的函数为 f(x) ,求 f(x) ; (2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大? 22.已知二次函数 g(x)=x2﹣2mx+1(m>0)在区间[0,3]上有最大值 4. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)设 f(x)= 围. .若 f(2x)﹣k?2x≤0 在 x∈[﹣3,3]时恒成立,求 k 的取值范

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2015-2016 学年福建省泉州市晋江市养正中学高一(上) 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(5 分*12 题,共 60 分) 1.下列式子中,不正确的是( ) A.3∈{x|x≤4} B.{﹣3}∩R={﹣3} C.{0}∪?=? D.{﹣1}?{x|x<0} 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】本题的关键是正确认识元素与集合的关系,集合与集合的关系. 【解答】解:对于 A,3≤4,故 A 正确 对于 B,{﹣3}∩R={﹣3},故 B 正确 对于 C,{0}∪?={0},故 C 错误 对于 D,﹣1<0,故 D 正确 故答案为:C

2.函数 A. B.

的定义域为( C.

) D.[2,+∞)

【考点】对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 【分析】根据函数成立的条件建立条件关系即可求函数的定义域. 【解答】解:要使函数有意义,则 ,





∴0<x



即函数的定义域为(0, ], 故选:A. 3.已知集合 A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( A.﹣3∈A B.3?B C.A∩B=B D.A∪B=B 【考点】元素与集合关系的判断. 【分析】先求出集合 A,从而找出正确选项. 【解答】解:∵|x|≥0,∴|x|﹣1≥﹣1; ∴A={y|y≥﹣1},又 B={x|x≥2} ∴A∩B={x|x≥2}=B. 故选 C.
第 4 页(共 14 页)



4.下列各组函数中表示同一函数的是( ) 2 A.f(x)=x 与 g(x)=( ) B.f(x)=lg(x﹣1)与 g(x)=lg|x﹣1| C.f(x)=x0 与 g(x)=1 D.f(x)= 与 g(t)=t+1(t≠1)

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,即可判断它们是同一函数. 【解答】解:对于 A,f(x)=x(x∈R)与 g(x)= =x(x≥0)的定义域不同,故

不是同一函数; 对于 B,f(x)=lg(x﹣1) (x>1)与 g(x)=lg|x﹣1|(x≠1)的定义域不同,对应关系也 不同,故不是同一函数; 对于 C,f(x)=x0=1(x≠0)与 g(x)=1(x∈R)的定义域不同,故不是同一函数; 对于 D,f(x)= 故是同一函数. 故选:D. 5.已知函数 f(x)=3x+2x 的零点所在的一个区间是( ) A. C. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) (0,1) D. (1,2) 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】依次代入区间的端点值,求其函数值,由零点判定定理判断. 【解答】解:∵f(﹣2)=3﹣2+2×(﹣2)= ﹣4<0, f(﹣1)=3﹣1+2×(﹣1)= ﹣2<0, f(0)=1>0,f(1)=3+2>0,f(2)=9+4>0, ∴f(﹣1)f(0)<0, 故选 B. =x+1(x≠1)与 g(t)=t+1(t≠1)的定义域相同,对应关系也相同,

6.函数 f(x)=

的图象(



A.关于原点对称 B.关于 y 轴对称 C.关于 x 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 【考点】奇偶函数图象的对称性;函数的图象与图象变化. 【分析】要判断函数的图象的对称性,只要先判断函数的奇偶性即可 【解答】解:函数的定义域{x|x≠0} ∵f(x)=

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∴f(﹣x)=

=

=f(x)

则函数 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称 故选 B 7.已知幂函数 f(x)=xa 在[1,2]上的最大值与最小值的和为 5,则 α 的值为( A.1 B.2 C. D.3 )

【考点】幂函数的性质. 【分析】根据幂函数在[1,2]上是单调函数,进而可得其最大最小值,相加可得答案. 【解答】解:函数幂函数 f(x)=xα 在[1,2]上是单调函数, ∴最大值和最小值在区间端点处取得, 它们的和为 5,即 1α+2α=5, 解得 α=2. 故选:B. 8.下列函数中不能用二分法求零点的是( ) 3 2 A.f(x)=3x+1 B.f(x)=x C.f(x)=x D.f(x)=lnx 【考点】二分法的定义. 【分析】凡是能用二分法求零点的函数,必须满足函数在零点的两侧函数值异号,检验各个 选项中的函数,从而得出结论. 【解答】解:由于函数 f(x)=x2 的零点为 x=0,而函数在此零点两侧的函数值都是正值, 不是异号的, 故不能用二分法求函数的零点. 而选项 A、B、D 中的函数,在它们各自的零点两侧的函数值符号相反,故可以用二分法求 函数的零点, 故选:C.

9.设 a=

,b=

,c=

,则 a,b,c 的大小关系是(



A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>c>a 【考点】指数函数的图象与性质. 【分析】根据指数函数,对数函数的性质分别判断 a,b,c 的大小即可得到结论. 【解答】解:a= ∴c>b>a, 故选:A. 10.函数 y=ax﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是( <log =0,b= ∈(0,1) ,c= >1,



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A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】讨论 a 与 1 的大小,根据函数的单调性,以及函数恒过的定点进行判定即可. 【解答】解:函数 y=ax﹣ (a>0,a≠1)的图象可以看成把函数 y=ax 的图象向下平移 个 单位得到的. 当 a>1 时,函数 y=ax﹣ 在 R 上是增函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 A,B. 当 1>a>0 时,函数 y=ax﹣ 在 R 上是减函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 C, 故选 D. 11.上海 A 股市场的某股票,其股价在某一周内的周一、周二两天,每天下跌 10%,周三、 周四两天,每天上涨 10%,则将该股票在这周四的收盘价与这周一的开盘价比较(周一开 盘价恰为上周收盘价) ,变化的情况是( ) A.下跌 1.99% B.上涨 1.99% C.不涨也不跌 D.不确定 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】设股票的初始市场价为 a 元,根据题意可得,周一的价格为 0.9a,周二的价格为 0.92a,周三的价格为 1.1×0.92a,周四的价格为 1.12×0.92a,从而可判断变化情况 【解答】解:设股票的初始市场价为 a 元 根据题意可得,周一的价格为 0.9a,周二的价格为 0.92a 周三的价格为 1.1×0.92a,周四的价格为 1.12×0.92a=0.992a ∴变化的情况是下跌,且变化率为: 故选 A =1.99%

12.对于实数 a 和 b,定义运算“*”a*b=

设 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1) , )

=a 且关于 x 的方程 f (x) (a∈R) 恰有三个互不相等的实数根, 则实数 a 的取值范围是 ( A.[0, ] B.[0, ] C. (0, ]∪(1,+∞) D. (0, )

【考点】函数零点的判定定理. 【分析】由新定义写出分段函数 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1)= ,然后作

出分段函数的图象,关于 x 的方程 f(x)=a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根,是指函数 y=f(x)的图象与 y=a 的图象有 3 个不同的交点,数形结合可求实数 a 的取值范围. 【解答】解:由 2x﹣1<x﹣1 得,x<0.
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由定义运算 a*b=



则 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1)=

= 函数 f(x)=﹣x2+x (x>0)的最大值是 函数 f(x)的图象如图,

= .

由图象看出,关于 x 的方程 f(x)=a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根的实数 a 的取值范 围是(0, ) . 故选 D. 二.填空题(5 分*4 题,共 20 分) 13.已知函数 f(x)的定义域和值域都是{1,2,3,4,5},其对应关系如下表所示,则 f (f(4) )= 5 . x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 【考点】函数的值. 【分析】利用函数对应关系表得到 f(4)=1,f(1)=5,由此能求出 f(f(4) ) . 【解答】解:∵函数 f(x)的定义域和值域都是{1,2,3,4,5}, 由其对应关系表得到 f(4)=1,f(1)=5, ∴f(f(4) )=f(1)=5, 故答案为:5. 14.已知函数 f(x)=a2x﹣4+n(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 P(m,2) ,则 m+n= 3 . 【考点】函数的图象与图象变化;指数函数的图象与性质. 【分析】令解析式中的指数 2x﹣4=0 求出 x 的值,再代入解析式求出 y 的值,即得到定点 的坐标,结合条件列出关于 m,n 的方程,解之即得. 【解答】解:令 2x﹣4=0 解得,x=2,代入 f(x)=a2x﹣4+n 得,y=n+1, ∴函数图象过定点(2,n+1) , 2x﹣4 +n(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 P(m,2) 又函数 f(x)=a ,
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∴m=2,n+1+2,∴n=1, 则 m+n=3 故答案为:3. 15.已知 f(x)为 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=3x,那么 f(log 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】要求 f(log 4)的值,即求 f(﹣2)的值,可通过奇函数的定义转换为求 f(2) ,

4)的值为

﹣9



而条件中给出了 x>0 的表达式,代入即可,问题解决. 【解答】解:因为 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x) , 又因为 log 4=﹣log24=﹣2<0,所以 f(log 4)=f(﹣2)=﹣f(2)

又当 x>0 时,f(x)=3x,所以 f(2)=9,f(﹣2)=﹣9. 故答案为:﹣9. 16.已知函数 f(x)=loga(2x﹣1) (a>0,a≠1)在区间(0,1)内恒有 f(x)<0,则函 数 的单调递减区间是 ) .

【考点】函数恒成立问题. 【分析】根据条件,可判断 2x﹣1∈(0,1) ,要使 f(x)<0,可得知 a>1;根据复合函数 的单调性判断即可. 【解答】解:∵函数 f(x)=loga(2x﹣1) (a>0,a≠1)在区间(0,1)内恒有 f(x)<0, x ∴2 ﹣1∈(0,1) ,a>1, ∴函数 ∴减区间为(﹣∞, ) . 的定义域为 R,故单调递减区间是 x2﹣x+1 的减区间,

三.解答题(6 题共 70 分) 17.已知 A={x| <3x<9},B={x|log2x>0}. (Ⅰ)求 A∩B 和 A∪B; (Ⅱ)定义 A﹣B={x|x∈A 且 x?B},求 A﹣B 和 B﹣A. 【考点】交集及其运算. 【分析】 (Ⅰ)求出 A 与 B 中其他不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的交集,并集即 可; (Ⅱ)根据 A﹣B 的定义,求出 A﹣B 与 B﹣A 即可. 【解答】解: (Ⅰ)由 A 中的不等式变形得:3﹣1<3x<32, 解得:﹣1<x<2,即 A=(﹣1,2) , 由 B 中的不等式变形得:log2x>0=log21,得到 x>1, ∴B=(1,+∞) , 则 A∩B=(1,2) ;A∪B=(﹣1,+∞) ; (Ⅱ)∵A=(﹣1,2) ,B=(1,+∞) ,A﹣B={x|x∈A 且 x?B},
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∴A﹣B=(﹣1,1];B﹣A=[2,+∞) . 18.计算 (1)

(2)



【考点】对数的运算性质;正整数指数函数. 【分析】分别根据对数的运算法则和指数幂的运算法则进行计算即可. 【解答】解: (1)原式=log33 (2)原式= +lg(25×4)+2+1= = .

=

=



19.已知函数 f(x)=lg(2+x)﹣lg(2﹣x) . (1)判定函数 f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)判定 f(x)的单调性(不用证明) ,并求不等式 f(1﹣x)+f(3﹣2x)<0 的解集. 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【分析】 (1)先求出 f(x)的定义域判断是否对称,再判断 f(﹣x)与 f(x)的关系,得 出结论; (2)利用复合函数的单调性进行判断,根据奇偶性得出 f(1﹣x)<﹣f(3﹣2x)=f(2x ﹣3) ,再利用单调性列出不等式组求出 x 的范围. 【解答】解: (1)由函数有意义得: ,解得﹣2<x<2,

所以函数 f(x)的定义域为(﹣2,2) . 任取 x∈(﹣2,2) ,则 f(﹣x)=lg(2﹣x)﹣lg(2+x)=﹣f(x) , ∴函数 f(x)是奇函数 (2)f(x)=lg 令 u(x)= ∴f(x)=lg = , ,则 u(x)在(﹣2,2)上单调递增,

在(﹣2,2)上单调递增.

∵f(1﹣x)+f(3﹣2x)<0, ∴f(1﹣x)<﹣f(3﹣2x)=f(2x﹣3) , ∵f(x)在(﹣2,2)单调递增,



,解得



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∴不等式的解集为(

) .

20.设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. (1)求 f(3)的值; (2)求函数 f(x)的最大值与最小值及与之对应的 x 的值. 【考点】指数函数的图象与性质. 【分析】 (1)根据函数 f(x)的解析式,利用对数的运算性质,直接计算 f(3)的值; 2 ( )设 t=log3x,把函数 f(x)化为 t 的二次函数 g(t) ,求 g(t)在闭区间上的最值,再 求出对应的 x 值即可. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9; ∴f(3)=log3(27)?log39=3×2=6; (2)令 t=log3x, 函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) =(log3x+2)?(log3x+1) = =t2+3t+2, 又∵ ≤x≤9, ∴﹣2≤log3x≤2, ∴﹣2≤t≤2; 令 g(t)=t2+3t+2= 当 t=﹣ 时,g(t)min=﹣ , 即 log3x=﹣ ,∴x= = , ; ﹣ ,t∈[﹣2,2]; +3log3x+2

∴f(x)min=﹣ ,此时 x=﹣

当 t=2 时,g(t)max=g(2)=12, 即 log3x=2,x=9, ∴f(x)max=12,此时 x=9. 21.某公司生产一种产品,每年需投入固定成本 25 万元,此外每生产 100 件这样的产品, 还需增加投入 50 万元,经市场调查知这种产品年需求量为 500 件,产品销售数量为 t 件时, 销售所得的收入为 万元.

(1)该公司这种产品的年生产量为 x 件,生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量 x 的函数为 f(x) ,求 f(x) ; (2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大? 【考点】函数模型的选择与应用.
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【分析】 (1)根据销售这种产品所得的年利润=销售所得的收入﹣销售成本,建立函数关系 即可; (2)利用配方法,求得 0<x≤500 时, 得最大值,x>500 时, 【解答】解: (1)当 0<x≤500 时, 当 x>500 时, , 在 x=450 时取 ,即获得的利润最大. .





(2)当 0<x≤500 时, 故当 x=450 时, 当 x>500 时, ; ,

故当该公司的年产量为 450 件时,当年获得的利润最大. 22.已知二次函数 g(x)=x2﹣2mx+1(m>0)在区间[0,3]上有最大值 4. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)设 f(x)= .若 f(2x)﹣k?2x≤0 在 x∈[﹣3,3]时恒成立,求 k 的取值范

围. 【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质. 【分析】 (1)利用函数是二次函数,求出对称轴方程,利用二次函数的性质求解函数的最大 值,推出 m 的值即可. (2)通过不等式恒成立,转化为求解函数的最值问题,构造函数是二次函数,利用二次函 数的对称性求解函数在闭区间上的最值即可. 【解答】解: (1)g(x)=(x﹣m)2+1﹣m2 函数的对称轴为:x=m, ①m≤ ②m> ∴g(x)=x2﹣2x+1. (2)∵f(x)= ,∴f(x)= ﹣4. 在 x∈[﹣3,3]时恒 =g(3)=10﹣6m=4,解得 m=1 =g(0)=1(不符题意)

∵f(2x)﹣k?2x≤0 在 x∈[﹣3,3]时恒成立,即 成立,
第 12 页(共 14 页)

∴k≥ 令 t=

﹣4(

)+1 在 x∈[﹣3,3]时恒成立,只需 k≥[

﹣4(

)+1]max.

,由 x∈[﹣3,3]得 t∈[ ,8].

设 h(t)=t2﹣4t+1=(t﹣2)2﹣3, ∴函数 h(t)的图象的对称轴方程为 t=2. 当 t=8 时,取得最大值 33. ∴k≥h(x)max,∴k 的取值范围为[33,+∞) .

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2016 年 5 月 28 日

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