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概率统计A期末模拟试卷(二)参考答案


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浙江大学城市学院

考出风格

2011 《

— 2012 学年第 一 学期期末考试试卷 概率统计 A 》参考答案

开课单位: 计算分院 ;考试形式:闭卷;考试时间:2012 年 1 月 6 日;所需时间: 120 分钟

t 参考数据: ?(0) ? 0.5, ?(0.99) ? 0.8399 , ?(2.325 ) ? 0.99,0.025 ?9? ? 2.2622 , t 0.05 ?9? ? 1.8331, t 0.025 ?10 ? ? 2.2281, t 0.05 ?10 ? ? 1.8125, 0.025 ? 1.96, u 0.05 ? 1.645 . u

一.选择题 (本大题 10 题,每题 2 分,共 20 分)
1.某人射击,每次射击相互独立,但每次中靶的概率均为 3/4。如果射击直到中靶 为止,则射击次数为 3 的概率为( C ) 。
( A) ?3? ? ? ?4?
3

( B)

?3? ?1? ? ? ? ? ?4? ?4?

2

(C )

?1? ?3? ? ? ? ? ?4? ?4?

2

( D)

?1? ? ? ?4?

3

2.设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布, X ~ N ( ? ,4 2 ), Y ~ N ( ? ,5 2 ), 而
p1 ? P? X ? ? ? 4? , p2 ? P?Y ? ? ? 5? ,则(

A

) 。

年级:_____________ 专业:_____________________

(A) 对任何实数 ? ,都有 p1 ? p 2 (C ) 对任何实数 ? ,都有 p1 ? p 2

(B) 对任何实数 ? ,都有 p1 ? p 2 (D) 只对 ? 的个别值,才有 p1 ? p 2

3.设随机变量 X 与 Y 满足 D( X ? Y ) ? D( X ? Y ), ,则必有(
(A)

B

) 。

X 与 Y 相互独立

(B) X 与 Y 不相关
(D) D( X ) D(Y ) ? 0

(C ) D( X ) ? 0

4.设总体 X ~ N (0 ,1) ,样本 X 1 , X 2 ,?, X n (n ? 1) 为来自该总体的简单随机样本, X 与 S 分别为样本均值和样本标准差,则有(
n

C


2 i

(A) X ~ N (0 ,1)

(B) nX ~ N (0 ,1)

(C )

?X
i ?1

~ ? 2 ( n)

(D)

X ~ t (n ? 1) S

第 1 页共 4 页

5.一种零件需两道工序加工完成,两道工序相互独立。第一道工序的废品率为 p, 第二道工序的废品率为 q,则该零件的成品率为(
(A) 1 ? p ? q (C ) 1 ? p ? q ? pq (B) 1 ? pq (D) (1 ? p) ? (1 ? q)

C

) 。

6.设随机变量 X 与 Y 相互独立且服从相同的分布,若 P( X ? 1) ? e ?1 ,则
P(min( X , Y ) ? 1) ? (

C

) 。

(A) (1 ? e ?1 ) 2

(B) 2(1 ? e ?1 )

(C ) 1 ? e ?2

(D) 1 ? e -4

7.已知 P( A ? B) ? 1, P( A) ? 0.7 ,则下列正确的是(

C

) 。
(D) P?A A ? B ? ? 1

(A) A ? B ? ?

(B) A ? B ? ?

(C ) P B A ? 0

? ?

8.袋中有 5 个球,其中 3 个新的,2 个旧的,每次取一个,无放回地取两次,则第 二次取到新球的概率为( A ) 。
(A)

3/5

(B) 3/4

(C ) 2/4

(D) 3/10

9. X 为一随机变量, ( X ) ? 1, D( X ) ? 0.1, 设 则由切比雪夫不等式一定有 ( E
(A) P( X ? 1 ? 1) ? 0.1 (C ) P( X ? 1 ? 1) ? 0.9 (B) P(0 ? X ? 2) ? 0.9 (D) P(0 ? X ? 2) ? 0.1

B

) 。

10.在下列函数中,能够作为随机变量 X 的分布函数的是(
?e x , x ? 0 (A) F ( x) ? ? ? 2, x ? 0
? 0, x ? 0 (C ) F ( x) ? ? ?x ?1 - e , x ? 0
?e ? x , x ? 0 (B) F ( x) ? ? ? 1, x ? 0

C

) 。

? 0, x ? 0 (D) F ( x) ? ? ?x ?1 ? e , x ? 0

第 2 页共 4 页

2

二.填空题 (本大题共 10 空格,每题 2 分,共 20 分。)
1.设 X ~ U (1,6) ,则方程 a 2 ? aX ? 1 ? 0 有实根的概率为 2.用随机变量 X 的分布函数 F (x) 表达下列概率:
P( X ? a) =
1-F(a) , P(a ? X ? b) ? F(b)-F(a) 。

4/5



? 1? 3.设随机变量 X ~ B ? 3, ? ,则 P( X ? 1) ? ? 3?

19/27



?ax ? b, 0 ? x ? 1 1 4.设随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) ? ? ,且 E ( X ) ? ,则 其他 2 ? 0,

a?

0

,b ?

1



5.设 D( X ) ? 4,

D(Y ) ? 9,

? XY ? 0.5, 则 COV ( X , Y ) ?

3



6.设随机变量 ( X , Y ) 为某二维区域上的均匀分布,
?2, 0 ? x ? y ? 1 ? 其联合概率密度函数为 f ( x, y ) ? ? , 0, 其他 ? ?

则 P( X ? Y ? 1) ?

1/2 0



7.设总体 X 具有分布律 : X

1
2? (1 ? ? )

2
(1 ? ? ) 2

p

?2

其中 ? (0 ? ? ? 1) 为未知参数, X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的样本,则 ? 的矩估计量 为
2? X 2



8.设二维随机变量 ? X , Y ? 的联合概率分布律为
Y 1 X 1 2 则 P( XY ? 2) ? 3/8 2

1 2 1 8


1 4 1 8

3

三、综合题(60 分)
1、 (本题 16 分)设随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度函数为
?1 ? , f ( x, y ) ? ? 2 ? 0, ? 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 其他

(1)求关于 X 与 Y 的边缘概率密度函数; (2)判断 X 与 Y 是否相互独立; (3)计算 E( X ), E(Y ), E( XY ) (4)判断 X 与 Y 是否相关;
? 1, 0 ? x ? 1 (1) f X ( x) ? ? ; 其他 ?0, ?1 / 2, 0 ? y ? 2 f Y ( y) ? ? ; 其他 ? 0,

(2) 相互独立;(3) E( X ) ? 1/2, E(Y ) ? 1, E( XY ) ? 1/2; (4) 不相关。 2. (本题 12 分)设总体 X 的概率密度为
?(? ? 1) x? , f ( x) ? ? ? 0, 0 ? x ?1 其它



X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的样本, x1 , x 2 ,?, xn 为其观测值,

求 ? 的极大似然估计值。 似然函数为 L(? ) ? ?? ? 1? ?x1 x 2 ? x n ?
n

?

取对数 ln L(? ) ? n ln ?? ? 1? ? ? ln ?x1 x2 ? xn ? 令
n d ln L(? ) n ? ?1 ? ? ln ?x1 x2 ? xn ? ? 0 得 ? ? ln( x1 ? x n ) d? ? ?1

3. (本题 10 分)某学校有 20000 名住校生,每人以 80%的概率去本校某食堂就餐, 每个学生是否去就餐相互独立。问:食堂应至少设多少个座位,才能以 99%的概率 保证去就餐的同学都有座位? 设 X 为 20000 万名学生中去食堂就餐的人数,食堂至少设 n 个座位, 则 X ~ B(20000 ,0.8) ,由中心极限定理得 X ~ N (16000 ,32000 )
? n ? 16000 ? ? ? 0.99 而 ?(2.325 ) ? 0.99 要使 P( X ? n) ? ?? ? ? ? 3200 ?



n ? 16000 3200

? 2.325 从而 n ? 16131
4

4. (本题 10 分)某百货商场的日销售额 X 服从正态分布,去年的日均销售额为 53.6 ( 万 元 ) 今 年 随 机 抽 查 了 10 个 日 销 售 额 , 其 样 本 均 值 和 样 本 方 差 分 别 为 。
x ? 57.2, s 2 ? 36 。问今年的日均销售额与去年相比有无显著变化?( ? ? 0.05 )

(提示: H 0 : ? ? 53.6 , H1 : ? ? 53.6 )

检验统计量为: T ?

X ? 53 .6 S/ n

~ t (9)

H 0 的拒绝域为 T ? t 0.025 ?9?

T 的观测值为

57.2 - 53.6 6/ 10

? 1.8972 ? 2.2622

未落入拒绝域,故认为今年的日均销售额与去年相比无显著变化。 5. (本题 12 分)设 X 1 , X 2 , X 3 是来自总体均值为 ? 的总体 个估计量:
? (1) ?1 ? 1 1 1 X1 ? X 2 ? X 3 6 3 2 ? (2) ? 2 ? 2 1 2 X1 ? X 2 ? X 3 5 5 5

X 的样本.试验证下面两

都是总体均值 ? 的无偏估计,并指出哪一个估计量最有效.
1 1 1 ? (1)由 E ( ?1 ) ? E ( X 1 ? X 2 ? X 3 ) ? ? 6 3 2 2 1 2 ? E ( ? 2 ) ? E ( X 1 ? X 2 ? X 3 ) ? ? 得均为无偏估计 5 5 5 1 1 1 7 ? (2)由 D( ?1 ) ? D( X 1 ? X 2 ? X 3 ) ? D( X ) 6 3 2 18 2 1 2 9 ? D( ? 2 ) ? D( X 1 ? X 2 ? X 3 ) ? D( X ) 5 5 5 25
? ? 得 ? 2 比 ? 1 更有效。

5


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