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2012高考数学精英解


考场精彩(4)

三角函数” (4)数学精英解 “三角函数”题 )

答案为 D.

1. 北京卷第 1 题)已知 cos θ ? tan θ . ( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 解答

< 0 ,那么角θ是
5. 福建卷第 5 题)已知函数 (

B. 第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

π? ? f ( x) = sin ? ω x + ? (ω > 0) 的最小正周期为 π ,则该函数的图象( 3? ?
B.关于直线 x



cos θ ? tan θ < 0 ? cos θ ?

sin θ = sin θ < 0 ? θ是第三或第四象限角. cos θ

A.关于点 ?

答案为 C.

?π ? ,? 对称 0 ?3 ?

=

π 对称 4 π 对称 3

2. 山东卷第 5 题)函数 (

π? π? ? ? y = sin ? 2 x + ? ? cos ? 2 x + ? 的最小正周期和最大值分别为( 6? 3? ? ?

C.关于点 ? )

?π ? ,? 对称 0 ?4 ?

D.关于直线 x

=

解答: 解答: 由题意知 ω =2,所以解析式为 f ( x) = sin ? 2 x + A. π , 1 B. π ,

? ?

π? ?, 3?

2

C. 2π , 1

D. 2π ,

2
答案为 A.

经验证可知它的一个对称中心为 ? 解答: 解答:

?π ? , 0 ?. ?3 ?

y = sin 2 x ?

3 1 1 3 + cos 2 x ? + cos 2 x ? ? sin 2 x ? = cos 2 x 2 2 2 2

∴T=π,ymax=1 答案为 A.

6. 江苏卷第 5 题)函数 (

f ( x) = sin x ? 3 cos x( x ∈ [ ? π,]) 的单调递增区间是( 0
B.



π 3. 江苏卷第 1 题)下列函数中,周期为 的是( ) ( 2 x x A. y = sin B. y = sin 2 x C. y = cos 2 4 2π π 解答: = ? ω = 4 ,只有 D. 解答: 逐一验证, T = ω 2
答案为 D.

A.

5π ? ? ? ? ? π, 6 ? ? ?

? 5π π ? ? ?? 6 , 6 ? ? ?

C.

? π ? 0 ? ? 3 ,? ? ?

D.

? π ? 0 ? ? 6 ,? ? ?

D.

y = cos 4 x

解答: 解答:

π? ? f ( x) = 2 sin ? x ? ? 3? ?

4. 浙江卷第 2 题)若函数 ( 且

f ( x) = 2 sin(ω x + ? ) , x ∈ R (其中 ω > 0 , ? <

π )的最小正周期是 π , 2

f (0) = 3 ,则(



A. ω

1 π 1 π = ,? = B. ω = ,? = 2 6 2 3 π π C. ω = 2,? = D. ω = 2,? = 6 3 π 2π 解答: = π, ? = 2, f (0) = 2 sin ? = 3 , ? = . 解答: 3 ?
-1-

π π π ≤ x ? ≤ 2kπ + (k ∈ Z), 2 3 2 π 5π 得 2kπ ? ≤ x ≤ 2kπ + (k ∈ Z), 6 6 π 5π 令k = 0, 得 ? ≤ x ≤ 6 6 ? π ? 由此可得 ?? ,0? 符合题意. ? 6 ? 令 2kπ ?
答案为 D.

7. 湖北卷第 2 题)将 (

? x π? ? π ? y = 2 cos? + ? 的图象按向量 a= ? ? ,?2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为 ?3 6? ? 4 ?

? x π? A. y = 2 cos? + ? ? 2 ?3 4?
C.

B.

? x π? y = 2 cos? ? ? + 2 ?3 4? ?x π ? y = 2 cos? + ? + 2 ? 3 12 ?

解法三: 解法三:将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式,A、B 两个选择支的端点值相等,而选择支 D 的左 端点值大于右端点值,所以根据单调递增的概念判断,可排除 A、B、D,故选 C.

?x π ? y = 2 cos? ? ? ? 2 ? 3 12 ?

D.

9.(全国卷Ⅰ第 12 题)函数 (全国卷Ⅰ

f ( x) = cos 2 x ? 2 cos 2
C. ? 0,

x 的一个单调增区间是( 2
D. ? ?



解答: 解答: 看向量 a= ? ? 定 B、C、D. 答案为 A.

? π ? ,指令图象左移和下移,按“同旁相减,异旁相加”的口诀,立可否 ,?2 ? 的数据“符号” ? 4 ?

A. ?

? π 2π ? , ? ?3 3 ?

B. ?

?π π? ,? ?6 2?

? ?

π? ? 3?

? π π? ,? ? 6 6?

解法一: 解法一

f ( x ) = cos 2 x ? (1 + cos x )
1? 5 ? = ? cos x ? ? ? 2? 4 ?
2

8. 全国卷Ⅱ第 2 题)函数 (全国卷Ⅱ

y = sin x

的一个单调增区间是(



以下将各选项中的两个数据依次代入估算,只有 A 项是递增的,故选 A.

A. ? ?

? π π? ? π 3π ? , ? B. ? , ? ? 4 4? ?4 4 ?

C. ? π,

? ?

3π ? ? 2 ?

D. ?

? 3π ? ,π ? 2 ? 2 ?

解法二: 解法二:由 f'(x)= -2cosx·sinx+4cos

解法一: 解法一:∵函数 y=|sinx|的一个单调递增区间为

? π? ?0, 2 ? ,又函数 y=|sinx|是以π为周期的函数, ? ?

x? x? 1 ? sin ? ? = sin x(1 ? 2 cos x) > 0 ,得 2? 2? 2

∴函数 y=|sinx|的单调递增区间为

π? ? ?kπ, kπ + 2 ? (k∈Z). ? ? ? 3π ? ?π, 2 ? .故选 C. ? ? ? 3π ? ?π, 2 ? .故选 C. ? ?

?sin x > 0 ?sin x < 0, 或? ? ?1 ? 2 cos x > 0 ?1 ? 2 cos x < 0.
当-π<x<π时,上面不等式组的解集为 ? ?

? π ? ?π ? ,0 ? ∪ ? , π ? .故选 A. ? 3 ? ?3 ?

当 k=1 时,函数 y=|sinx|的一个单调增区间为

解法三:令 cosx=t,则 f(t)=cos2x-cosx-1=t2-t+1. 解法三: ∴f(t)在 ?

解法二: 解法二:作出函数 y=|sinx|的图象,由图易知 y=|sinx|的一个单调增区间为

1 1? ?1 ? ? ? π 2π ? ,+∞ ? 上递增,在 ? ? ∞, ? 上递减,而当 x∈ ? , ? 时,cosx< 且 t=cosx 递减. 2 2? ?2 ? ? ?3 3 ? ? π 2π ? , ? .故选 A. ?3 3 ?

∴由复合函数的单调性可知,f(x)一个单调递增区间为 ?

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