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杭州市五校联盟高考数学一诊



2016 年浙江省杭州市五校联盟高考数学一诊试卷(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.下列命题中,真命题是( A.存在 x<0,使得 2x>1 B.对任意 x∈R,x2﹣x+l>0 C.“x>l”是“x>2”的充分不必要条件 )

D.“P 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的必要而不充分条件

2. f x) f x+1) =f 1) f x) = 定义在 R 上的奇函数 ( 满足 ( (﹣x) , 当 x∈ (0, 时, (



则 f(x)在区间(1, )内是( A.增函数且 f(x)>0 <0

) C.减函数且 f(x)>0 D. f x) 减函数且(

B.增函数且 f(x)<0

3.若函数 f(x)=x2+ex﹣ (x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( A.(﹣ ) ) B.( ) C.( ) D.( )

4.在同一个坐标系中画出函数 y=ax,y=sinax 的部分图象,其中 a>0 且 a≠1,则下列所给图象中可 能正确的是( )

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A.

B.

C.

D.

5.已知倾斜角为 θ 的直线,与直线 x﹣3y+l=0 垂直,则

=(



A.

B.一

C.

D.一

6.已知三个向量





共线,其中 a、b、c、 )

A、B、C 分别是△ ABC 的三条边及相对三个角,则△ ABC 的形状是( A.等腰三角形 C.直角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.

8.下列三图中的多边形均为正多边形,M,N 是所在边的中点,双曲线均以图中的 F1,F2 为焦点, 设图示①②③中的双曲线的离心率分别为 e1,e2,e3、则 e1,e2,e3 的大小关系为(
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A.e1>e2>e3

B.e1<e2<e3

C.e2=e3<e1 D.e1=e3>e2

二、填空题:(本大题共 7 小题,前 4 小题每题 6 分,后 3 小题每题 4 分,共 36 分). 9.设平面点集 A={(x,y)|(x﹣1)2+(y﹣1)2≤1},B={(x,y)|(x+1)2+(y+1)2≤1},C={(x, y)|y﹣ ≥0},则(A∪B)∩C 所表示的平面图形的面积是 .

10.已知函数 f(x)=

,则 f(6)=



11.已知等差数列{an}中,满足 S3=S10,且 a1>0,Sn 是其前 n 项和,若 Sn 取得最大值,则 n= .

12.下列四种说法 ①在△ ABC 中,若∠A>∠B,则 sinA>sinB; ②等差数列{an}中,a1,a3,a4 成等比数列,则公比为 ; ③已知 a>0,b>0,a+b=1,则 ④在△ ABC 中,已知 正确的序号有 . 的最小值为 5+2 ;

,则∠A=60°.

13.实数 x、y 满足

,则 z=x2+y2+2x﹣2y 的最小值为



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14.一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形,该四棱锥的体积 V=



15.已知椭圆 线 y2=

的半焦距为 C,(C>0),左焦点为 F,右顶点为 A,抛物

x 与椭圆交于 B, C 两点, (a+c) 若四边形 ABFC 是菱形, 则椭圆的离心率是



三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 bcosA=(2c+a)cos(π﹣B) (1)求角 B 的大小; (2)若 b=4,△ ABC 的面积为 ,求 a+c 的值.

17. 如图, 边长为

AB⊥BC, 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, 其中 AB∥CD,

DC=BC= AB=1,点 M 在线段 EC 上. (Ⅰ)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)判断点 M 的位置,使得三棱锥 B﹣CDM 的体积为 .

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18.已知值域为[﹣1,+∞)的二次函数满足 f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x),且方程 f(x)=0 的两个实根 x1,x2 满足|x1﹣x2|=2. (1)求 f(x)的表达式; (2)函数 g(x)=f(x)﹣kx 在区间[﹣1,2]内的最大值为 f(2),最小值为 f(﹣1),求实数 k 的取值范围.

19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn+an=1;递增的等差数列{bn}满足 b1=1,b3=b (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn 是 an,bn 的等比中项,求数列{c (3)若 c }的前 n 项和 Tn;

﹣4.

≤ t2+2t﹣2 对一切正整数 n 恒成立,求实数 t 的取值范围.

20.已知两点 F1(﹣1,0)及 F2(1,0),点 P 在以 F1、F2 为焦点的椭圆 C 上,且|PF1|、|F1F2|、 |PF2|构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程; y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, N 是直线 l 上的两点, (2) 如图, 动直线 l: 点 M, 且 F1M⊥l, F2N⊥l.求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

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2016 年浙江省杭州市五校联盟高考数学一诊试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.下列命题中,真命题是( A.存在 x<0,使得 2x>1 B.对任意 x∈R,x2﹣x+l>0 C.“x>l”是“x>2”的充分不必要条件 D.“P 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的必要而不充分条件 【考点】全称命题;特称命题. 【专题】对应思想;综合法;简易逻辑. 【分析】分别对各个选项进行判断即可. 【解答】解:对于 A:x<0 时,2x<0,故 A 错误; 对于 B:x2﹣x+l= + >0,故 B 正确; )

对于 C:“x>l”是“x>2”的必要不充分条件,故 C 错误; 对于 D:P 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的充分不必要条件,故 D 错误; 故选:B. 【点评】本题考查了命题的真假,考查充分必要条件,是一道基础题.

2. f x) f x+1) =f 1) f x) = 定义在 R 上的奇函数 ( 满足 ( (﹣x) , 当 x∈ (0, 时, (



则 f(x)在区间(1, )内是( A.增函数且 f(x)>0 <0 【考点】函数奇偶性的性质.

) C.减函数且 f(x)>0 D. f x) 减函数且(

B.增函数且 f(x)<0

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【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据条件可以判断出 f(x)是周期为 2 的周期函数,并且 x 时,

,从而可以得到 f(x)=f(x﹣2)=﹣f(2﹣x)=

,而

,可换元,令 2﹣x=t,从而求出 f(t)即得出 x 以判断此时的 f(x)的单调性及其符号.

的解析式,从而可

【解答】解:由 f(x)为奇函数,f(x+1)=f(﹣x)得,f(x)=﹣f(x+1)=f(x+2); ∴f(x)=f(x+2); ∴f(x)是周期为 2 的周期函数; 根据条件,x 时, ;



,﹣(x﹣2)







设 2﹣x=t,t

,x=2﹣t;















可以看出 x 增大时,

减小,

增大,f(x)减小;

∴在区间(1, )内,f(x)是减函数; 而由 得0 ;

∴ ∴f(x)<0.



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故选:D. 【点评】考查奇函数的定义,周期函数的定义,以及换元法求函数解析式,减函数的定义,以及对 数函数的单调性,不等式的性质.

3.若函数 f(x)=x2+ex﹣ (x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( A.(﹣ ) ) B.( ) C.( ) D.( )

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由题意可得 ex0﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根,函数 h(x)=ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)为增函数, 由此能求出 a 的取值范围. 【解答】解:由题意可得: 存在 x0∈(﹣∞,0),满足 x02+ex0﹣ =(﹣x0)2+ln(﹣x0+a), 即 ex0﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根, ∵当 x 趋近于负无穷大时,ex0﹣ ﹣ln(﹣x0+a)也趋近于负无穷大, 且函数 h(x)=ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)为增函数, ∴h(0)=e0﹣ ﹣lna>0, ∴lna<ln ∴a< , ), ,

∴a 的取值范围是(﹣∞, 故选:A

【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质,函数的零点,函数单调性的性质,函数的极限, 是函数图象和性质较为综合的应用.

4.在同一个坐标系中画出函数 y=ax,y=sinax 的部分图象,其中 a>0 且 a≠1,则下列所给图象中可 能正确的是( )

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A.

B.

C.

D.

【考点】指数函数的图像与性质;正弦函数的图象. 【专题】压轴题;数形结合. 【分析】本题是选择题,采用逐一排除法进行判定,再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进 行判定. 【解答】解:正弦函数的周期公式 T= ,∴y=sinax 的最小正周期 T= ;

对于 A:T>2π,故 a<1,因为 y=ax 的图象是减函数,故错; 对于 B:T<2π,故 a>1,而函数 y=ax 是增函数,故错; 对于 C:T=2π,故 a=1,∴y=ax=1,故错; 对于 D:T>2π,故 a<1,∴y=ax 是减函数,故对; 故选 D 【点评】本题主要考查了指数函数的图象,以及对三角函数的图象,属于基础题.

5.已知倾斜角为 θ 的直线,与直线 x﹣3y+l=0 垂直,则

=(



A.

B.一

C.

D.一

【考点】三角函数的化简求值;直线的倾斜角. 【专题】转化思想;转化法;三角函数的求值. 【分析】直线 x﹣3y+l=0 的斜率= ,因此与此直线垂直的直线的斜率 k=﹣3.可得 tanθ=﹣3.再利 用同角三角函数基本关系式即可得出. 【解答】解:直线 x﹣3y+l=0 的斜率= ,因此与此直线垂直的直线的斜率 k=﹣3.
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∴tanθ=﹣3. ∴ 故选:C. 【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、同角三角函数基本关系式、“弦化切”,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. = = = = .

6.已知三个向量





共线,其中 a、b、c、 )

A、B、C 分别是△ ABC 的三条边及相对三个角,则△ ABC 的形状是( A.等腰三角形 C.直角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形

【考点】向量在几何中的应用. 【专题】计算题;解三角形;平面向量及应用. 【分析】 根据向量 、 共线得 acos =bcos , 结合正弦定理与二倍角的正弦公式化简, 可得 sin =sin , 从而得到 A=B.同理由 、 共线算出 B=C,从而得到 A=B=C,所以△ ABC 是等边三角形. 【解答】解:∵ 与 共线,∴acos =bcos ,

由正弦定理得 sinAcos =sinBcos , ∵sinA=2sin cos ,sinB=2sin cos , ∴2sin cos cos =2sin cos cos , 化简得 sin =sin . 又∵0< < 同理,由 ,0< < ,∴ 与 = ,可得 A=B. 共线得到 B=C,

∴△ABC 中,A=B=C,可得△ ABC 是等边三角形. 故选:B 【点评】本题给出三个向量两两共线,由此判定三角形的形状.着重考查了二倍角的三角函数公式、 正弦定理和三角形形状的判定等知识,属于中档题.

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7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;作图题;空间位置关系与距离. 【分析】三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图, 该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体. 【解答】解:该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体,如右图, 三棱柱的底面是等腰直角三角形, 其面积 S= ×1×2=1,高为 1; 故其体积 V1=1×1=1; 三棱锥的底面是等腰直角三角形, 其面积 S= ×1×2=1,高为 1; 故其体积 V2= ×1×1= ; 故该几何体的体积 V=V1+V2= ; 故选:A.

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【点评】三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图, 本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力.

8.下列三图中的多边形均为正多边形,M,N 是所在边的中点,双曲线均以图中的 F1,F2 为焦点, 设图示①②③中的双曲线的离心率分别为 e1,e2,e3、则 e1,e2,e3 的大小关系为( )

A.e1>e2>e3

B.e1<e2<e3

C.e2=e3<e1 D.e1=e3>e2

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】压轴题;分类讨论. 【分析】根据题设条件,分别建立恰当的平面直角坐标系,求出图示①②③中的双曲线的离心率 e1,e2,e3,然后再判断 e1,e2,e3 的大小关系. 【解答】解:①设等边三角形的边长为 2,以底边为 x 轴,以底边的垂直平分线为 y 轴,建立平面 直角坐标系, 则双曲线的焦点为(±1,0),且过点( , ∵( , ), 和 ,

)到两个焦点(﹣1,0),(1,0)的距离分别是



,c=1,∴



②正方形的边长为

,分别以两条对角线为 x 轴和 y 轴,建立平面直角坐标系,
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则双曲线的焦点坐标为(﹣1,0)和(1,0),且过点( ∵点( )到两个焦点(﹣1,0),(1,0)的距离分别是

). 和 ,



,c=1,∴



③设正六边形的边长为 2,以 F1F1 所在直线为 x 轴,以 F1F1 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角 坐标系, 则双曲线的焦点为(﹣2,0)和(2,0),且过点(1, ∵点(1, ∴a= ), 和 2,

)到两个焦点(﹣2,0)和(2,0)的距离分别为 2 .

﹣1,c=2,∴

所以 e1=e3>e2.故选 D. 【点评】恰当地建立坐标系是正确解题的关键.

二、填空题:(本大题共 7 小题,前 4 小题每题 6 分,后 3 小题每题 4 分,共 36 分). 9.设平面点集 A={(x,y)|(x﹣1)2+(y﹣1)2≤1},B={(x,y)|(x+1)2+(y+1)2≤1},C={(x, y)|y﹣ ≥0},则(A∪B)∩C 所表示的平面图形的面积是 π . 【考点】交、并、补集的混合运算;集合的表示法. 【专题】作图题;数形结合;分割补形法;集合. 【分析】分别确定集合 A,B,C 所表示的平面区域,再画出应用的图形,根据图形的对称性并运用 割补法,求阴影部分的面积. 【解答】解:对于集合 A:{(x,y)|(x﹣1)2+(y﹣1)2≤1}, 表示的是:以(1,1)为圆心,以 1 为半径的圆及其内部, 如右图,第一象限的圆; 对于集合 B:{(x,y)|(x+1)2+(y+1)2≤1}, 表示的是:以(﹣1,﹣1)为圆心,以 1 为半径的圆及其内部, 如右图,第三象限的圆; 而集合 C:{(x,y)|y﹣ ≥0}, 表示的就是:双曲线 y= 上方的部分, 右图阴影就是(A∪B)∩C 所表示的平面图形,
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根据图形的对称性可知: 其中,两块绿色的都为四分之一圆,两块红色的可以拼成四分之一圆,两块蓝色的也可以拼四分之 一圆, 所以,全部阴影部分的面积为一个整圆的面积,其值为:π, 故答案为:π.

【点评】本题主要考查了集合的表示,交集与并集的运算,以及圆与双曲线的几何性质的运用,属 于中档题.

10.已知函数 f(x)= 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】函数的性质及应用.

,则 f(6)= 1 .

【分析】直接利用分段函数以及抽象函数求解即可. 【解答】解:函数 f(x)= ,

则 f(6)=f(5)=f(4)= 故答案为:1.

=1.

【点评】本题考查函数的值的求法,抽象函数的应用,考查计算能力.

11.已知等差数列{an}中,满足 S3=S10,且 a1>0,Sn 是其前 n 项和,若 Sn 取得最大值,则 n= 6 或7 .
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【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 由题意易得 a7=0,进而可得数列{an}中, 前 6 项为正数,第 7 项为 0, 从第 8 项开始为负数, 易得结论. 【解答】解:∵等差数列{an}中,满足 S3=S10,且 a1>0, ∴S10﹣S3=7a7=0,∴a7=0, ∴递减的等差数列{an}中,前 6 项为正数,第 7 项为 0,从第 8 项开始为负数, ∴Sn 取得最大值,n=6 或 7 故答案为:6 或 7 【点评】本题考查等差数列前 n 项和的最值,从数列项的正负入手是解决问题的关键,属基础题.

12.下列四种说法 ①在△ ABC 中,若∠A>∠B,则 sinA>sinB; ②等差数列{an}中,a1,a3,a4 成等比数列,则公比为 ; ③已知 a>0,b>0,a+b=1,则 ④在△ ABC 中,已知 正确的序号有 ①③④ . 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】计算题;等差数列与等比数列;解三角形;不等式的解法及应用. 【分析】运用三角形的边角关系和正弦定理,即可判断①; 运用等差数列的通项公式和等比数列的性质,即可求得公比,进而判断②; 运用 1 的代换,化简整理运用基本不等式即可求得最小值,即可判断③; 运用正弦定理和同角的商数关系,结合内角的范围,即可判断④. 【解答】解:对于①在△ ABC 中,若∠A>∠B,则 a>b,即有 2RsinA>2RsinB,即 sinA>sinB, 则①正确; 对于②等差数列{an}中,a1,a3,a4 成等比数列,则有 a32=a1a4,即有(a1+2d)2=a1(a1+3d), 解得 a1=﹣4d 或 d=0,则公比为 =1 或 ,则②错误; 的最小值为 5+2 ;

,则∠A=60°.

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对于③,由于 a>0,b>0,a+b=1,则 当且仅当 b= a,取得最小值,且为 5+2

=(a+b)( + )=5+ ,则③正确; 即为 = =

+

≥5+2

=5



对于④,在△ ABC 中,

,即 tanA=tanB=tanC,

由于 A,B,C 为三角形的内角,则有 A=B=C=60°,则④正确. 综上可得,正确的命题有①③④. 故答案为:①③④. 【点评】本题考查正弦定理的运用,考查等差数列和等比数列的通项和性质,考查基本不等式的运 用:求最值,考查运算能力,属于基础题和易错题.

13.实数 x、y 满足

,则 z=x2+y2+2x﹣2y 的最小值为

0 .

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域, 则 z=x2+y2+2x﹣2y=z=(x+1)2+(y﹣1)2﹣2, 设 m=(x+1)2+(y﹣1)2,则 m 的几何意义为区域内的点倒是定点 D(﹣1,1)的距离的平方, 由图象知 D 到直线 y=x 的距离最小, 此时 d= 故 z 的最小值为 z=2﹣2=0, 故答案为:0. ,则 m=d2=2,

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【点评】本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离的求解,利用数形结合是解决本题的关 键.

14.一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形,该四棱锥的体积 V=



【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由已知中的三视图可知:该几何体是以俯视图为底面的四棱锥,计算出几何体的底面面积 和高,代入棱锥体积公式,可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可知:该几何体是以俯视图为底面的四棱锥, 其底面面积 S= ×(1+2)×2=3, 又∵左视图是等边三角形, ∴高 h= , = ,

故棱锥的体积 V= 故答案为:

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【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中分析出几何体的形状是解答的关键.

15.已知椭圆 线 y2=

的半焦距为 C,(C>0),左焦点为 F,右顶点为 A,抛物

(a+c)x 与椭圆交于 B,C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据四边形 ABFC 是菱形得到 B 的横坐标为 (a﹣c),代入抛物线方程求出 B 的纵坐标 为 b,因此将点 B 的坐标代入椭圆方程,化简整理得到关于椭圆离心率 e 的方程,即可得到该椭

圆的离心率. 【解答】解:∵椭圆 ∴A(a,0),F(﹣c,0) ∵抛物线 y2= (a+c)x 与椭圆交于 B,C 两点, 的左焦点为 F,右顶点为 A,

∴B、C 两点关于 x 轴对称,可设 B(m,n),C(m,﹣n) ∵四边形 ABFC 是菱形,∴m= (a﹣c) 将 B(m,n)代入抛物线方程,得 n2= (a+c)(a﹣c)= b2

∴B( (a﹣c),

b),再代入椭圆方程,得

化简整理,得 4e2﹣8e+3=0,解之得 e= (e= >1 不符合题意,舍去) 故答案为: .

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【点评】本题给出椭圆与抛物线相交得到菱形 ABFC,求椭圆的离心率 e,着重考查了椭圆、抛物线 的标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 bcosA=(2c+a)cos(π﹣B) (1)求角 B 的大小; (2)若 b=4,△ ABC 的面积为 ,求 a+c 的值.

【考点】余弦定理的应用;正弦定理. 【专题】解三角形. cos 【分析】 (1) 利用正弦定理化简 bcosA= (2c+a) (π﹣B) , 通过两角和与差的三角函数求出 cosB, 即可得到结果. (2)利用三角形的面积求出 ac=4,通过由余弦定理求解即可. 【解答】解:(1)因为 bcosA=(2c+a)cos(π﹣B),… 所以 sinBcosA=(﹣2sinC﹣sinA)cosB… 所以 sin(A+B)=﹣2sinCcosB ∴cosB=﹣ … ∴B= (2)由 … = 得 ac=4….

由余弦定理得 b2=a2+c2+ac=(a+c)2﹣ac=16… ∴a+c=2 …

【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力.

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17. 如图, 边长为

AB⊥BC, 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, 其中 AB∥CD,

DC=BC= AB=1,点 M 在线段 EC 上. (Ⅰ)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)判断点 M 的位置,使得三棱锥 B﹣CDM 的体积为 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】(Ⅰ)证明:ED⊥平面 ABCD,BD⊥平面 ADEF,即可证明平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)在平面 DMC 内,过 M 作 MN⊥DC,垂足为 N,则 MN∥ED,利用三棱锥的体积计算公式求 出 MN,可得结论. 【解答】(Ⅰ)证明:∵DC=BC=1,DC⊥BC, ∴BD= ∵AD= , ,AB=2,

∴AD2+BD2=AB2, ∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BD, ∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,ED⊥AD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, ∴ED⊥平面 ABCD, ∴BD⊥ED, ∵AD∩DE=D, ∴BD⊥平面 ADEF, ∵BD?平面 BDM, ∴平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)解:如图,在平面 DMC 内,过 M 作 MN⊥DC,垂足为 N,则 MN∥ED, ∵ED⊥平面 ABCD,
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∴MN⊥平面 ABCD, ∵VB﹣CDM=VM﹣CDB= ∴ ∴MN= , = , = ,



=

= ,

∴CM= CE, ∴点 M 在线段 CE 的三等分点且靠近 C 处.

【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定与性质,考查三棱锥体积的计算,熟练掌握空 间直线与平面不同位置关系(平行和垂直)的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的 关键.

18.已知值域为[﹣1,+∞)的二次函数满足 f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x),且方程 f(x)=0 的两个实根 x1,x2 满足|x1﹣x2|=2. (1)求 f(x)的表达式; (2)函数 g(x)=f(x)﹣kx 在区间[﹣1,2]内的最大值为 f(2),最小值为 f(﹣1),求实数 k 的取值范围. 【考点】二次函数的性质;函数的最值及其几何意义. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】(1)先求出函数的对称轴,根据根与系数的关系可得二次项系数,从而求出 f(x)的表达 式; (2)根据 g(x)的单调性判断出函数的对称轴,从而求出 k 的范围即可. 【解答】解:(1)∵f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x),可得 f(x)的图象关于 x=﹣1 对称,
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∴设 f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h, ∵函数 f(x)的值域为[﹣1,+∞),可得 h=﹣1, 根据根与系数的关系可得 x1+x2=﹣2,x1 x2=1+ , ∴x1﹣x2= ∴f(x)=x2+2x; (2)由题意得函数 g(x)在区间[﹣1,2]递增, 又 g(x)=f(x)﹣kx=x2﹣(k﹣2)x= ﹣ , = =2,解得:a=﹣h=1,



≤﹣1,即 k≤0,

综上:k≤0. 【点评】本题考察了二次函数的性质,考察函数的单调性问题,是一道中档题.

19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn+an=1;递增的等差数列{bn}满足 b1=1,b3=b (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn 是 an,bn 的等比中项,求数列{c (3)若 c }的前 n 项和 Tn;

﹣4.

≤ t2+2t﹣2 对一切正整数 n 恒成立,求实数 t 的取值范围.

【考点】数列的求和;函数恒成立问题. 【专题】综合题;转化思想;作差法;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】(1)讨论 n=1 时,a1=S1,当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1,可得数列{an}的通项公式;再由等差 数列的通项公式,解方程可得 d,即可得到所求{bn}的通项公式; (2)运用等比数列的性质,求得 c 化简整理即可得到所求; (3)由题意可得(2n﹣1)?( )n≤ t2+2t﹣2 恒成立.判断{(2n﹣1)?( )n}的单调性,可得最 大值,解不等式即可得到 t 的范围. 【解答】解:(1)当 n=1 时,a1=S1,2S1+a1=1,解得 a1= ; 当 n>1 时,2Sn+an=1,可得 2Sn﹣1+an﹣1=1,
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=anbn=(2n﹣1)?( )n;再由数列的求和方法:错位相减法,

相减即有 2an+an﹣an﹣1=0,即为 an= an﹣1, 则 an=( )n; 设递增的等差数列{bn}的公差为 d,即有 1+2d=(1+d)2﹣4, 解得 d=2,则 bn=2n﹣1; (2)cn 是 an,bn 的等比中项,可得 c =anbn=(2n﹣1)?( )n;

前 n 项和 Tn=1? +3?( )2+5?( )3+…+(2n﹣1)?( )n; Tn=1?( )2+3?( )3+5?( )4+…+(2n﹣1)?( )n+1; 相减可得 Tn= +2[( )2+( )3+…+( )n]﹣(2n﹣1)?( )n+1

= +2?

﹣(2n﹣1)?( )n+1;

化简可得前 n 项和 Tn=1﹣(n+1)?( )n; (3)c ≤ t2+2t﹣2 对一切正整数 n 恒成立,即为

(2n﹣1)?( )n≤ t2+2t﹣2 恒成立. 由 ﹣c =(2n+1)?( )n+1﹣(2n﹣1)?( )n=( )n? (1﹣n)≤0, }单调递减,即有最大值为 c12= ,

可得数列{c

则 ≤ t2+2t﹣2,解得 t≥1 或 t≤﹣7. 即实数 t 的取值范围为(﹣∞,﹣7]∪[1,+∞). 【点评】本题考查数列的通项的求法,注意运用数列的通项和前 n 项和的关系,考查等差数列和等 比数列的通项公式和求和公式的运用,同时考查数列的求和方法:错位相减法,考查数列的单调性 的运用:解恒成立问题,属于中档题.

20.已知两点 F1(﹣1,0)及 F2(1,0),点 P 在以 F1、F2 为焦点的椭圆 C 上,且|PF1|、|F1F2|、 |PF2|构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程;

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y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, N 是直线 l 上的两点, (2) 如图, 动直线 l: 点 M, 且 F1M⊥l, F2N⊥l.求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;数列与解析几何的综合;椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】(1)依题意,设椭圆 C 的方程为 ,c=1.再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数

列,即可得到 a,利用 b2=a2﹣c2 得到 a 即可得到椭圆的方程; (2)将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x2+4y2=12 中,得到关于 x 的一元二次方程,由 直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知,△ =0,即可得到 m,k 的关系式,利用点到直线的距离公式即 可得到 d1=|F1M|,d2=|F2N|. 法一:当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为 θ,则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|,即可得到四边形 F1MNF2 面积 S 的表达式,利用基本不等式的性质即可得出 S 的最大值; 法二:利用 d1 及 d2 表示出 及 d1d2,进而得到 ,再利用二次函数的单调性即可得出其最大值.

【解答】解:(1)依题意,设椭圆 C 的方程为



∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列,∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,a=2. 又∵c=1,∴b2=3.∴椭圆 C 的方程为 .

(2)将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x2+4y2=12 中,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0. 由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知,△ =64k2m2﹣4(4k2+3)(4m2﹣12)=0, 化简得:m2=4k2+3.
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法一:当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为 θ, 则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|, ∴ ,

=



∵m2=4k2+3,∴当 k≠0 时, 当 k=0 时,四边形 F1MNF2 是矩形,

, . .





所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 法二:∵







=



四边形 F1MNF2 的面积

=



=



当且仅当 k=0 时,

,故 .



所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为

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【点评】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列、二次函 数的单调性、基本不等式的性质等基础知识,考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的 能力,考查数形结合、化归与转化思想.

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