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三角函数的图像与性质(教学设计)高一



课堂教学设计表 设计(执教)人: 课 题 三角函数的图像与性质 三角函数的图像与性质位于教材必修 4 第 1 章,是解决三角函数问题的基础。三角函数 问题是高考的必考内容,可能以选择、填空或者解答题的形式出现。而学生对三角函数的图 像与性质这些基础知识的认识的还很欠缺。 3 课时 实施教学班级 时间 年 月 日

教材与学 情分析 课时设计 教学目标 教学材料



通过对三角函数的图像与性质的复习及针对这些基础知识的解题训练,使学生掌握三角 函数的图像与性质中最基础的部分,给解决三角函数问题打下基础。 教学设计、配套教案及后面附题 教学过程

环节及时间 课程导入 3 分钟

教师活动 向学生介绍三角函数 的图像及其性质的基 础性,应用的广泛性 带领学生复习正弦、 余弦、正切函数的图 像、定义域、值域、 周期性、单调性、单 调区间、最值、奇偶 性、对称性、对称轴 及对称中心。 (详见配套教案) 带领学生再次感受从 函数 y=sinx 的图象到 函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象的变换过程 讲解例题,给学生出 示练习题,引导学生 答题并当场检查学生 做题情况,分析、讲 解题目 提供题目并检查

学生活动

使能目标

认真听讲并意识到学好这部分内容的重要性, 暗下 集 中 学 生 注 决心认真听讲、思考及练习 意力, 激发学 生求知欲 跟着教师回忆这些知识点、填好学案并理解记忆 使学生进一 步熟悉关于 三角函数的 图像及性质 的知识, 能在 掌握这些知 识的基础上 准确、 高效的 解决关于三 角函数的题

复习知识点 30 分钟

知识点的配 套例题、 练习 与讲解 70 分钟 知识检测 20 分钟 布置作业 2 分钟

认真读题、思考、做题、听讲,记笔记

加深学生对 知识点的理 解及应用, 增 强学生解题 能力 使师生双方 看到本堂课 的学习效果 加强学生解 题能力

认真、快速答题

口述并板书作业题号

记录并完成作业

测试情况 时间 知识点 姓名 1 20 分钟
图像的变化 函数的周期

满分
函数的性质

30 分
函数的性质

平均分
函数的性质 作业情况

2

3

4

5

教学反思

配套教案
解析式
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图像

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?

值域 周期性

[?1,1]

[?1,1]

R 最小正周期为 ?

最小正周期为 2?
在每一个闭区间

最小正周期为 2?
在每一个闭区间

? ? ? ? ?? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ?, (k ? Z ) ? ?
上都是增函数;

?(2k ? 1)? ,2k? ?, (k ? Z )
上都是增函数; 在每一个闭区间

单调性
在每一个闭区间

在每一个开区间 ? ? (? ? k? , ? k? ), (k ? Z )
2 2

3? ?? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ?, (k ? Z ) ? ?
上都是减函数。

?2k? , (2k ? 1)? ?, (k ? Z )
上都是减函数。

上都是增函数。

当 x ? 2k? ? 最值

?
2

时,y max ? 1 ;

当 x ? 2k? 时, y max ? 1 ; 无最值 当 x ? 2k? ? ? 时, y min ? ?1 偶函数 图像关于 y 轴对称
x ? k? , k ? z
?? ? ? ? k? ,0 ?, k ? z ?2 ?

? 当 x ? 2k? ? 时,y min ? ?1 2
奇函数 图像关于原点对称
x?

奇偶性 对称性 对称轴 对称中 心

奇函数 图像关于原点对称 不是轴对称图形,无对称轴
?? ? ? ? k? ,0 ?和?k? ,0?,k ? z ?2 ?

?
2

? k? , k ? z

?k? ,0?, k ? z

2、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 (其中A ? 0,? ? 0)

T?

2?

?

,频率是 f ?

? ,相位是 ?x ? ? ,初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 2?

?x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。

3、函数图像的变换:从函数 y=sinx 的图象到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程:
1 ○先伸缩后平移:

y=sinx 的图象

?纵坐标伸长( ?)??(??? ???A?1 或缩短 0? A?1)
为原来的 倍( 横坐标不变 A )

得 y=Asinx 的图象

?横坐标伸长 ( 0?? ?1)或缩短 (??? ? ? ? ? ? ? ? ?1)
到原来的 1

?

( 纵坐标不变 )

得 y=Asin(ωx)的图象

?向左?0 )或向右? 0 ) ? ? (? ? ? ? (? ? ?
平移 | |个单位

? ?

得 y=Asin(ωx+φ)的图象.

2 ○先平移后伸缩:

? ?向左?0)或向右(? ?? 得 y=sin(x+φ)的图象 ?(? ? ??? 0) y=sinx 的图象 平移|? |个单位长度
1

?横坐标伸长 ( 0?? ?1)或缩短 (??? 得 y=sin(ωx+φ)的图象 ? ? ? ? ? ? ? ?1)
到原来

?

( 纵坐标不变 )

?纵坐标伸长( ?)????? 得 y=Asin(ωx+φ)的图象 ???A?1 或缩短(0? A?1)
为原来的 倍(横坐标不变 A )

例题及练习
题型 1:根据三角函数的图像解题 例 1. 根据 y=cosx 的图像解不等式: ? 解析:如图,

3 1 ≤cosx≤ . 2 2

解集为{x|2kπ+

5? 7? 5? ? ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}或{x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}. 6 6 3 3
( C )

练习:1. 函数 y ? cos 2 x 在下列哪个区间上是减函数 A. [?

? ?

, ] 4 4

B. [

? 3?
4 , 4

]

C. [0,

?
2

]

D. [

?
2

,? ]
( C )

2. 函数 y = cos(2xA.x = -

? 2

? )的一条对称轴方程是 4 ? ? B.x = C.x = 4 8

D.x =

?

题型 2:根据三角函数的性质解题 例 2. 求函数 y=tan(

? ? x+ )的定义域、周期和单调区间. 2 3
? ? x+ 作为一个整体 2 3

解析:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,可以直接将 解:函数的自变量 x 应满足 即 x≠2k+

? ? ? x+ ≠kπ+ ,k∈Z, 2 3 2

1 ,k∈Z. 3

1 ,k∈Z}. 3 ? ? ? ? ? ? 由于 f(x)=tan( x+ )=tan( x+ +π)=tan[ (x+2)+ ]=f(x+2), 2 3 2 3 2 3
所以函数的定义域是{x|x≠2k+ 因此,函数的周期为 2.

5 1 ? ? ? ? +kπ< x+ < +kπ,k∈Z,解得 ? +2k<x< +2k,k∈Z. 3 3 2 2 3 2 5 1 因此,函数的单调递增区间是( ? +2k, +2k),k∈Z. 3 3
由-

练习:1.求函数 y=tan(x+

? )的定义域,值域,单调区间,周期性。 4 ? ? ? 解:由 x+ ≠kπ+ ,k∈Z 可知, 定义域为{x|x∈R 且 x≠kπ+ ,k∈Z}. 值域为 R. 4 2 4 3? ? ? ? ? 由 x+ ∈(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 可得,在 x∈(kπ,kπ+ )上是增函数. 4 4 2 2 4 ? 周期是 π ,也可看作由 y=tanx 的图象向左平移 个单位得到,其周期仍然是 π . 4 ? 2.函数 y=sin( -2x)的单调减区间是 ( D ) 3 ? 5? 5? 11? A.[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z) B.[4kπ,4kπ+ ](k∈Z) 12 12 3 3 5? 11? 5? ? C.[kπ,kπ+ ](k∈Z) D.[kπ ? ,kπ+ ](k∈Z) 12 12 12 12
解析:注意这里要把负号提出来再做。

题型 3:函数图像的变化问题 例 3:写出函数 y=2sin(

1 ? x- )的图像可以由函数 y=sinx 的图像怎么变化得到? 3 6 ? ? 分析:只需把 y=sinx 的曲线上所有点向右平行移动 个单位长度,得到 y=sin(x- )的图象;再把后者所 6 6 1 ? 有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变),得到 y=sin( x- )的图象;再把所得图象上所有点的纵坐 3 6 1 ? 标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)而得到函数 y=2sin( x- )的图象,如图 4 所示. 3 6

解析:方法一:画出函数 y=2sin(
右移 个单位 6

1 ? x- )简图的方法为 3 6

y=sinx

?纵坐标不变 ? ? ?? ???? ? y=sin(x- ? ) 横坐标伸长到原来的 3倍 y=sin( 1 x- ? ) ?
6 3 6

?

1 ? 纵坐标伸长到原来的 2 倍 y=2sin( 3 x- 6 ).
方法二:画出函数 y=2sin(
纵坐标不变

?横坐标不变 ? ? ??

1 ? x- )简图的又一方法为 3 6

1 横坐标不变 1 ?? ??? ?? ??? y=sinx 横坐标伸长到原来的 3倍 y=sin x 纵坐标伸长到原来的 2 倍 y=2sin 3 x 3

???? ? ?

右移 个单位 2

?

1 ? ? )=2sin (x- ). 3 6 2 ? 练习:1. 要得到函数 y=sin(2x+ )的图象,只需将函数 y=sinx 的图象 ( C ) 3 ? A.向左平移 个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? B.向右平移 个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 1 ? C.向左平移 个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3 1 ? D.向右平移 个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3

y=2sin( x-

1 3

2.为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( A ) 3?

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移 题型 4:求函数的解析式

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移

例 4、若函数 y=Asin(ωx+φ)+B(其中 A>0,ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点( (

7? ,-5),求这个函数的解析式. 12
解析:由已知条件,知 ymax=3,ymin=-5, 则 A=

? ,3)和一个最低点 12

1 1 T 7? ? ? (ymax-ymin)=4,B= (ymax+ymin)=-1, = = . 2 2 2 12 12 2

∴T=π,得 ω=2. 故有 y=4sin(2x+φ)-1.

? ? ,3)在函数的图象上,故有 3=4sin(2× +φ)-1, 12 12 ? ? ? ? ? 即 sin( +φ)=1.一般要求|φ|< ,故取 +φ= .∴φ= . 6 2 6 2 3 ? 故所求函数的解析式为 y ? 4 sin(2 x ? ) ? 1. 3
由于点( 练习 1、已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的最大值是 4,最小值是 0,最小正周期为 称轴,若 A>0,ω>0,0<φ<

? ,则函数解析式为 2

y=2sin(4x+

? )+2 6

? ? ,直线 x= 是其图象的一条对 2 3

课堂检测
1.要得到函数 y=2sin(3x ?

?
5

)的图象,只需将函数 y=2sin3x 的图象

( D )

? 个单位 5 ? C.向左平移 个单位 15
A.向左平移

B.向右平移

? 个单位 5 ? D.向右平移 个单位 15

2.已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的图像如下:

那么ω =( B ) A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 ( D )

3.已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R) ,下面结论错误的是 ..

A.函数 f ( x) 的最小正周期为 2? C.函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 0 对称

B.函数 f ( x) 在区间 ?0, D.函数 f ( x) 是奇函数 ( B ) D. 4?

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

?? ? 4.函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的最小正周期是 6? ?
A.

? 2

B. ?

C. 2?

5. 函数 y=sinx+sin|x|的值域是 A.[-1,1] B.[-2,2] C.[0,2]


D [0,1]

B





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