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上海市普陀区2017届高三一模数学试卷(word版)



上海市普陀区 2017 届高三一模数学试卷
2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 若集合 A ? {x | y 2 ? x, y ? R} , B ? { y | y ? sin x, x ? R} ,则 A ? B ? 2. 若 ?

?
2

?? ?

?
2

, sin ? ?

3 ,则 cot 2? ? 5

3. 函数 f ( x) ? 1 ? log 2 x ( x ? 1 )的反函数 f ?1 ( x) ? 4. 若 (1 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x ???? ? a5 x5 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a5 ?

y2 x2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则半焦距的取值范围是 5. 设 k ? R , k k ?2
6. 设 m ? R ,若 f ( x) ? (m ? 1) x 3 ? mx ? 1是偶函数,则 f ( x) 的单调递增区间是 7. 方程 log2 (9x ? 5) ? 2 ? log2 (3x ? 2) 的解 x ? 8. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2kx ? 2 y ? k 2 ? 0 ( k ? R )和定点 P(1, ?1) ,若过 P 可以作两条直 线与圆 C 相切,则 k 的取值范围是 9. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC ? 90? ,
2

AB ? BC ? 1 ,若 AC 1 与平面 B 1BCC1 所成的角为
则三棱锥 A 1 ? ABC 的体积为

? , 6

10. 掷两颗骰子得两个数,若两数的差为 d ,则 d ?{?2, ?1, 0,1, 2} 出现的概率的最大值 为 (结果用最简分数表示)

11. 设地球半径为 R ,若 A 、 B 两地均位于北纬 45°,且两地所在纬度圈上的弧长为

2 ? R ,则 A 、 B 之间的球面距离是 4

(结果用含有 R 的代数式表示)

12. 已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 ?1 ? x ? 1 时,

?lg | x |, x ? 0 ,若 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 x ?[?5,10] ,函 f ( x) ? 1 ? x 2 ,函数 g ( x) ? ? ?1, x ? 0 数 F ( x) 零点的个数是
二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中,不能成立的是( A. ) D. a ? b
2 2

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a ?b a

C. a 3 ? b 3

1

1

14. 设无穷等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,则“ a1 ? q ? 1”是 “ lim S n ? 1 ”成立的(
n ??

)条件 C. 充要 D. 既非充分也非必要

A. 充分非必要

B. 必要非充分

15. 设 ? ? l ? ? 是直二面角,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 a 、 b 与 l 均不垂 直,则( ) B. a 与 b 可能垂直,也可能平行

A. a 与 b 可能垂直,但不可能平行 C. a 与 b 不可能垂直,但可能平行

D. a 与 b 不可能垂直,也不可能平行 ? ? ? ? 16. 设 ? 是两个非零向量 a 、 b 的夹角,若对任意实数 t , | a ? tb | 的最小值为 1,则下列判 断正确的是( ) B. 若 | b | 确定,则 ? 唯一确定 D. 若 ? 确定,则 | a | 唯一确定

A. 若 | a | 确定,则 ? 唯一确定 C. 若 ? 确定,则 | b | 唯一确定

?

?

?

?

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分)

1 ; | x| (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 2 x ;
17. 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? a ? (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 2 x ? 0 在区间 [?2, ?1] 上有解,求实数 a 的取值范围;

x2 y 2 P 是椭圆上 18. 已知椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右两个焦点分别为 F 1 、 F2 , a b 5 3 位于第一象限内的点, PQ ? x 轴,垂足为 Q ,且 | F , 1 F2 ? arccos 1F 2 |? 6 , ?PF 9 ?PF1F2 的面积为 3 2 ;
(1)求椭圆 ? 的方程; (2)若 M 是椭圆上的动点,求 | MQ | 的最大值, 并求出 | MQ | 取得最大值时 M 的坐标;

19. 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯,经测定其密度为 7.8 g / cm3 ,总重量为 5.8 kg ,其中一个螺帽的三视图如下图所示(单位:毫米); (1)这堆螺帽至少有多少个; (2)对上述螺帽作防腐处理,每平方米需要 耗材 0.11 千克,共需要多少千克防腐材料? (结果精确到 0.01)

20. 已知数列 {an } 的各项均为正数,且 a1 ? 1 ,对任意的 n ? N ,均有
*

2 an ?1 ? 1 ? 4an ? (an ? 1) , bn ? 2log 2 (1 ? an ) ? 1 ;

(1)求证: {1 ? an } 是等比数列,并求出 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 中去掉 {an } 的项后,余下的项组成数列 {cn } ,求 c1 ? c2 ? ??? ? c100 ; (3)设 d n ?

1 ,数列 {dn } 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ( 1 ? m ? n ),使 bn ? bn ?1

得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列,若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由;

21. 已知函数 y ? f ( x) ,若存在实数 m 、 k ( m ? 0 ),使得对于定义域内的任意实数 x , 均有 m ? f ( x) ? f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) 成立, 则称函数 f ( x) 为 “可平衡” 函数, 有序数对 (m, k ) 称为函数 f ( x) 的“平衡”数对; (1)若 m ? 1 ,判断 f ( x) ? sin x 是否为“可平衡”函数,并说明理由; (2)若 a ? R , a ? 0 ,当 a 变化,求证: f ( x) ? x2 与 g ( x) ? a ? 2x 的“平衡”数对相同; (3)若 m1 、 m2 ? R ,且 (m1, ) 、 (m2 ,

?

?
4

2

) 均为函数 f ( x) ? cos2 x ( 0 ? x ?

?
4

)的“平

2 2 衡”数对,求 m1 的取值范围; ? m2

参考答案
一. 填空题 1. [0,1] 6. [0, ??) 11. 2.

7 24
7. x ? 1

3. 2

x ?1

( x ? 1)

4. 31 9.

5. ( 2, ??)

8. k ? ?2 或 k ? 0

2 6

10.

2 3

?
3

R

12. 13

二. 选择题 13. B 三. 解答题 17.(1) [1, ??) ;(2) [ ? 18.(1) 14. B 15. C 16. D

9 , ?3] ; 2

x2 y 2 ? ? 1 ;(2) M (?2 3,0) , | MQ |max ? 2 ? 2 3 ; 12 3

19.(1) 252 个;(2) 0.05 千克; 20.(1) an ? 2n ? 1;(2) 11202 ;(3) m ? 2 , n ? 12 ; 21.(1)是;(2)平衡数对 (2, 0) ;(3) (1,8]



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