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一道课本习题的教学设计及思考



中国   2 0 1 3年 第 1 1 期  Z HONGGUO   S HUXUE   J I A0YU   摘 要 : 以一 道 课 本 习题 提 出 问题 ,通 过 问 题 诱 思 , 变 式 设  变式 1 :求 半 径为  ,并 与直 线 3  一4 y一7:0切 于点  计 ,从 多种角度挖掘课 本 习题 的潜在 功能 ,并通过 分析 、思考、   探 究交流 ,最终 达到学 习数 学、初步研 究数 学的 目的 ,有效地  避 免题 海战术 ,增强探 究意识 ,激发 学习兴趣 ,培 养 了学生的  科 学探 究精神.   关键词 :切线方程 ;课本 习题 ;教 学设计  设 计 变 式 问 题 ,引导 学生 探 究  肘 (   7 3 ,   ) 的 圆 的 方 程 .   分析 :设 圆心 坐标为 ( o ,b ) ,圆方程 中的参 量增 至两个 ,   据 已知 条件 ,切点在 圆上 ,圆心到切线 的距 离等 于圆的半径 r ,   用待 定 系数 法 求 解 即 可.   一 【 点评 】此题变式的作用在 于增加 参量,锤 炼学生灵活思考  的 能力 .   、 问题 1 :求 以 c ( 1 ,3 ) 为圆心 ,并 且与直线 3  一4 ' , 一7=0   相切 的圆的方程.( 详见 《 普通 高中课程标 准实验教科书 ? 数学 2   ( 必修) 》( 人 教 A版 ) 第 1 3 2页第 3 题. )   思考 2 :已知圆的方程和切线 方程 ,能否求 出过切点垂直 于  切线 的半径所在直线 ?   分 析 : 由切 线 方 程 得 知 其 斜 率 ,并 由此 求 出半 径 所 在 直 线  的斜 率为 一   4 ,再 用 点斜 式 方 程 可 求 .   j   分析 : 已知 圆心 坐标 ,只 需再求 出 圆方 程 中的一个 参量 r   即 可 ,根 据 已知 ,半 径 r 等 于 圆心 C到 这 条 直 线 的距 离.   解 :如 图 1 ,   因 为 圆 C和 直 线 3  一4 v一7:0   相切 ,   思考 3 :圆被 y轴所截的弦长怎样求?   所 以半径 r 等 于圆心 C到这 条直  线的距离.   根 据 点 到直 线 的距 离 公 式 ,得 r =   ( = _   O   /   分 析 :在 圆方 程 中令  :0 ,得 ( y一3 ) 。 =   V' 2 31 + 3 — jy . .   =   ±—   , 于是弦长 =l y l — Y 2   I =— 2  ̄ — / r 2 3 1 .   ;   变式 2 :圆心在直线  +3 y 一1 3 = 0上且到直线 3   一 4 ' , 一7 = 0   的距离恰 等 于圆 的半 径 ,在 Y轴上所 截得 的 弦长为  ,   L   ×l 二 4 ×   7   1 l :l 6   、 /   +(   5   /  P  图 1   .  因此 ,所求 的圆的方程是 (  —1 )   +( y一3 ) 一 2 5     6 求此 圆 的方 程 .   分 析 :设 圆心 坐标 为 ( 0 ,b ) , 圆的半 径 为 r ,这样 圆方程 中的  思考 1 : 已知 圆 的方 程 和 切 线 方 程 ,能 否 求 出 切 点 的 坐 标 ,   怎样求?   解 :( 方法 1 )联 立 圆 的方 程 (  一1 )   +(  一3 )   =


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