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等比数列的求和公式(好)



1

知识回顾:
a n ?1 1.等比数列的定义: an

?q (常数) ( q ? 0, n ? N ? )
n ?1

2.通项公式:

an ? a1 ? q

,

a ? a gq
m n

m?

n

已知三个量,可以求出第四个量。 (说“三”道“四”)

3.等比数列的主要性质: 2 ① a, G, b 成等比数列 ? G ? ab (G,a,b ≠ 0)
②在等比数列{ an }中,若 则

am ? an ? a p ? aq

m?n ? p?q ( m, n, p, q ? N ? )
2

例3、在等比数列{an}中,已知 a7 ? 3 , 求下列各式的值:(1) a6 a8 (2) a3 a11 解:(1)a6a8=a72=9 (2)a3a11=a72=9

例4、已知正项数列a1 , a2 , a3 , … a10 , a11 成等比数 列,且 a1a11 = 9, 求:log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ??? log3 a11 的值。 解: log a ? log a ? log a ??? log a

? log3 (a1a2 a3 ?a11 )

3

1

3

2

3

3

3

11

? 11

? log a ? log 3

11 3 6 11 3

∵a1a11 = a62=9且an>0

∴a6=3

1 (4)在 和n间插入n个正数,使得这n ? 2个数成等比数列, n 求插入的这n个数的积.

1 Tn ? ? a1 ? a2 ? n



? an ?1 ? an ? n



Tn ? n ? an ? an ?1 ?

1 ? a2 ? a1 ? n




创设情境
明总:在一个
月中,我第一 天给你一万, 以后每天比前 一天多给你一 万元。

林总:我第
一天还你一 分钱,以后 每天还的钱 是前一天的 两倍

5

创设情境

林总:哈哈!这

么多钱!我可 赚大了,我要 是订了两个月, 三个月那该多 好啊!

果真如此吗?

6

创设情境

想一想:
请你们帮林总分析一下这份 合同是否能签?

7

明总借款:
T30 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 30

1 ? 30 ? ? 30 ? ? ? 465 2

? 万元? .

8

林总还款:
由于每天的钱数都是前一天的2倍,共30天,每天 所给的钱数依次为:

1 ,2,2 ,2 , ?,2

2

3

29

.

所以它是一个以1为首项,2为公比的等比数列.

S30 ?1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 229. 分
9

请同学们考虑如何求出这个和?

S30 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 .
2 3 29

(1)
30

2S30 ?
两式相减得:

2 ? 2 ? 2 ? ?? 错位相减法 2 ?2 . (2)
2 3 29

? ( 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) S ? 2 S ? 30 30
2 3 29

? ?S

? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 229 ? 230 )
30

? S30 ? 1 ? 2
30

30

? 2 ?1 ? 1073741823 分≈1073.74万元
10

明总:这
是我做的 最成功的 一笔生意!

11

等比数列的前n项和公式的推导1

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ① qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ②
① —②得: Sn (1—q)=a1—a1qn

a1 (1 ? q ) 当q≠1时, Sn ? . 1? q
n

等比数列{an}前n项和

Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

当q=1时,等 比数列的前n na1 q ?1 ? 项和是什么? ?
q ?1
12

2 n-1 s = a + a q + a q + ? ? ? + a q 思路1: n 1 1 1 1 = a1 + q( a1 + a2 ? ? ? ? + an-1 )

a 2 a 3 a4 an = = = ??? = =q 思路2: a1 a2 a3 an-1

13

等比数列的前n项和公式的推导2

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an ? a1 ? qa 1 ? qa 2 ? qa 3 ? ? ? qa n ?1 ? a1 ? q(a1 ? a2 ? ? ? an?1 ) ? a1 ? q(Sn ? an )

(1 ? q)Sn ? a1 ? an q ?
当q≠1时,

a1 ? qan Sn ? ? 1? q
14

等比数列的前n项和公式的推导3
由等比数列 a1 , a 2 , a3 ,

… an , … 的定义知:

? S ?a ?S ? a
n n

a2 a3 a4 ? ? ? a1 a2 a3

an ? ?q an?1

a2 ? a3 ? a4 a1 ? a2 ? a3 ?
1 n

?q

(1 ? q)S ? a ? a q ?
n 1 n

? an ?q ? an?1

当q≠1时,

a1 ? qan ?Sn ? 1 ? q

15

等比数列前n项和 公式你了解多少 ?
(1) 等比数列前n项和公式:

Sn=

{

n a1

(q=1)

a1 (1 ? q n ) (q=1) 1-q

利用“错位相 减法”推导

(2) 等比数列前n项和公式的应用:
1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提 ; 2 .在使用公式时,要根据题意,适当选择公式。
(3)

两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二







等 差 数 列

等 比 数 列



n

项 和 公 式

n?a1 ? a n ? Sn ? 2 n?n ? 1? ? na1 ? d 2
倒序相加

a1 1 ? q n Sn ? 1? q a1 ? a n q ? 1? q
错位相减

?

?
?q ? 1?

推导方法

【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑 公比是否为1
17

1 1 1 , , , ? 的前8项的和. 例1 求等比数列 2 4 8

1 1 解: ? a1 ? , q ? , n ? 8 2 2

1 ? ?1? ?1 ? ? ? 2? 2 ? ? ? ? S8 ? 1 1? 2

8

? ? ? ?

a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q

255 ? . 256

18

练习

根据下列条件,求相应的等比数列 ?an ? 的

Sn

(1)a1 ? 3, q ? 2, n ? 6;

3 ? (1 ? 26 ) S6 ? ? 189. 1? 2
5 ? ?1? ? 8 ? ?1 ? ? ? ? ?2? ? 31 ? ? ? S5 ? ? . 2 ?1? 1? ? ? ?2?

1 (2)a1 ? 8, q ? , n ? 5; 2

(3)a1 ? 81, a5 ? 16, an ? 0.
q4

2 81? 16 ? 2 a5 16 3 ? 211 s5 ? ? ? ?q ? 2 a1 81 3 1? 3 19

例2. 求等比数列 1,2,4,…从第5项到第10项的和.

解: ? a1 ? 1, q ? 2,
1? (1 ? 2 4 ) ? S4 ? ? 15. 1 ? 2 10 1? (1 ? 2 ) S10 ? ? 1023 . 1? 2
从第5项到第10项的和:

S10 ? S4 ? 1023?15 ? 1008 .

s10
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ?a10 .

s4



20

练习
求等比数列
3 3 3 , , , ? 从第3项到第7项的和. 2 4 8

3 1 解: ? a1 ? , q ? , 2 2 7 ? 3 ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ?2? ? 381 ? ? ? S7 ? ? . 1 128 1? 2
所以从第3项到第7项的和为:

? 3 3 ? 381 9 153 S7 ? ? ? ? ? ? ? . ? 2 4 ? 128 4 128

21

例3. 求和 1 ? a ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ?
技 能 提 升

证明:当 a ? 0时,原式=1 当 a ? 1时,原式= n ? 1 1 ? a n ?1 当 a ? 0且a ? 1时,原式= 1 ? a

注意:字母题目的分类讨论, 在对应条件进行求解 。

小结
a1 (1 ? q ) a1 ? an q 两个公式: S n ? ? (q ? 1) 1? q 1? q
n

一种方法:错位相减法
?由

Sn ,an ,q , a1 , n 知三而可求二 .

?注意公式适用的条件

(1)是否为等比数列 (2)q≠1
23



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