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三角函数高考必备---完美版



三角函数高考必备---完美版
一、任意角的三角函数
在角 ? 的终边上任取 一点 P( x, y ) ,记: r ? .. 正弦: sin ? ?
y r
x2 ? y 2 ,

余弦: cos ? ?

x r

正切: tan ? ?

y x
<

br />注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向 线 .. 段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角 ? 的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式
平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 商数关系: tan ? ?
sin ? cos ?

三、诱导公式
公式

三角函数
sin ?

cos?
cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? cos( ?? ) ? cos ?

tan ?

诱导公式一 诱导公式二 诱导公式三 诱导公式四 诱导公式五 诱导公式六 注:

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ? ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? sin( ?? ) ? ? sin ?

tan(? ? k ? 2? ) ? tan ?

(3)特殊锐角(0°,30°,45°,60°,90°)的三角比的值

1

四、两角和与差的三角函数公式
(1)两角和与差公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ,

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? , cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? , tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
(2)二倍角公式: sin 2? ? 2sin ? cos ?
cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?升幂公式? tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? ? 2 ? ? ? ?1 ? cos 2? ? 2sin ? 2 (降幂公式) ?? ? 2 1 ? cos 2? ? ? ?1 ? cos 2? ? 2 cos ? cos 2 ? ? ? 2 ?

(3)半角公式(可由降幂公式推导出):

sin

a 1 ? cos a sin a 1 ? cos a a 1 ? cosa a 1 ? cosa , , tan ? ? ? ? ?? cos ? ? 2 2 2 1 ? cos a 1 ? cos a sin a 2 2

(4)辅助角公式

(5)三角函数的积化和差

,可得:

(6)三角函数的和差化积公式

2

五 .三角函数的图像和性质:(其中 k ? z )
三角函数 图象

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

定义域 值域 最小正周期 奇偶性
[ 2k? ?

R [-1,1]

R [-1,1]

x ? k? ?
R

?
2

T ? 2?

?
2 ,2k? ?

T ? 2?

[(2k ? 1)? ,2k? ]
?
2

T ??

?
2

?
2

]

单调性

单调递增
[2k? ?

?
2

,2k? ?

3? ] 2

单调递增 [(2k? , (2k ? 1)? ] 单调递减

( k? ?

, k? ?

)

单调递增

单调递减 对称性
x ? k? ?

?
2 (对称轴)

x ? k?
(对称轴)

(

(k? ,0)
(对称中心) 零值点

? (k? ? ,0) 2 (对称中心)
x ? k? ?

k? ,0 ) 2 (对称中心)

x ? k?
x ? k? ?

?
2

x ? k?

?
2

, ymax ? 1

x ? 2k? , ymax ? 1 ;
x ? (2k ? 1)? , ymin ? ?1

最值点

x ? k? ?

? , y ? ?1 min
2



六. 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像与性质:(本节知识考察一般能化成形如 y ? A sin(?x ? ? ) 图像及性质) (1) 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期都是 T ?

2?

?

?x ? ? ) 和 y ? A cot( ?x ? ? ) 的周期都是 T ? ? (2) 函数 y ? A tan( ?
(3) 五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、 的 y 值再描点作图。

? 3? 、? 、 、 2? 来求相应 x 的值以及对应 2 2

3

X
t

0
?

? ?

? 2
?
2 ??

?
? ?? ?
0
?

3? 2
3? ?? 2

2?
2? ? ?

?

?

0
A sin(? x ? ? )

A

A

0

(4)

的步骤: y ? sin x 经过变换变为 y ? A sin (? x ? ?)

方法 1:先平移后伸缩
? y ? sin x ??????? ? y ? sin ? x 纵坐标不变
向左或向右 ????? ? y ? sin (? x ? ?) ? 平移 1 横坐标变为原来的 倍

?

个单位

纵坐标变为原来的A倍 ??????? ? y ? A sin (? x ? ?) 横坐标不变

方法 2:先伸缩后平移
向左或向右 y ? sin x ????? ? y ? sin (x ? ?) 平移 ? 个单位

??????? ? y ? sin(? x ? ? ) 纵坐标不变
?
纵坐标变为原来的A倍 ??????? ? y ? A sin (? x ? ?) 横坐标不变

横坐标变为原来的

1



(5) 函数的平移变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a)(a ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位(左加右减) ② y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b(b ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 y 轴向上(下)平移 b 个单位(上加下减) 函数的伸缩变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( wx)(w ? 0) 将 y ? f ( x) 图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的

1 倍( w ? 1 缩短, w

0 ? w ? 1伸长)
② y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0) 将 y ? f ( x) 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 A 倍( A ? 1 伸长,

0 ? A ? 1缩短)
函数的对称变换: ① y ? f ( x) ? y ? f (? x) ) 将 y ? f ( x) 图像绕 y 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于

x 轴对称)
② y ? f ( x) ? y ? ? f ( x) 将 y ? f ( x) 图像绕 x 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 y 轴对称)

4

③ y ? f ( x) ? y ? f ( x ) 将 y ? f ( x) 图像在 y 轴右侧保留,并把右侧图像绕 y 轴翻折到左侧(偶函数局 部翻折) ④ y ? f ( x) ? y ? f ( x) 保留 y ? f ( x) 在 x 轴上方图像, x 轴下方图像绕 x 轴翻折上去(局部翻动)

七 .正、余弦定理: ①正弦定理:在 ?ABC 中有:
a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

? a ? 2 R sin A ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

?

a ? ?sin A ? 2 R ? b 1 1 1 ? ,面积公式: S?ABC ? abs sin C ? ac sin B ? bc sin A ?sin B ? 2R 2 2 2 ? c ? ?sin C ? 2 R ?

②余弦定理:在三角形 ?ABC 中有:

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ?

?

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? cos B ? ? 2ac ? 2 ? a ? b2 ? c2 ?cos C ? 2ab ?

cos A ?
由此可得:

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos B ? , cos C ? . 2ab 2ac 2ab .(做题出现余弦,角换边)
S? ABC ? 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B. 2 2 2 (此为常用公式) abc , 4R

C、三角形面积公式:(1)

(2)

S? ABC ? s ? s ? a ?? s ? b ?? s ? c ? ? sr ?

s?
其中,

a?b?c 2 , r 为内切圆半径, R 为外接圆半径.

D、在三角形中大边对大角,反之亦然.(用来判定三角形是否成立,去根) 1)在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=180° 2)大边对大角,即 a>b ∠A>∠B

E、有关三角形内角的几个常用公式

sin ? A ? B ? ? sin C;cos ? A ? B ? ? ? cos C; tan ? A ? B ? ? ? tan C sin A? B C A? B C ? cos ,cos ? sin . 2 2 2 2
(当常用 A+B+C=π)

F、解三角形常见的四种类型 应用余弦定理:1、已知两边 b, c 与其夹角 A ,由 a ? b ? c ? 2bc cos A ,求出 a ,再由余弦定理,
2 2 2

求出角 B, C 。

5

2、已知三边 a、b、c ,由余弦定理可求出 ?A、?B、?C 。

a b c ? ? 应用正弦定理: 3、已知两角 A, B 与一边 a :由 A ? B ? C ? 180? 及正弦定理 sin A sin B sin B ,
可求出 ? C ,再求 b, c 。

a b ? 4、已知两边 a , b 及其中一边的对角 A ,由正弦定理 sin A sin B ,求出另一边 b 的
对角 B ,由

C ? 180? ? ? A ? B?

a c ? ,求出 C ,再由 sin A sin C 求出 c ,而通过

a b ? sin A sin B 求 B 时,可能出一解,两解或无解的情况,其判断方法,如下表:

A ? 90°

A ? 90°
一解 无解

A ? 90°
一解 一解

a?b

一解 无解

a?b

a ? b sin A
a?b
无解 无解

两解 一解 无解

a ? b sin A a ? b sin A

G.对于三角形的分类或三角形形状判断,主要从边或角两方面入手。 1、大题第一问,求边,或者边之间的关系,求角或者角或之间的关系。利用正余弦定理,正弦定理和余弦定理是 相通的,用正弦定理可解的题,用余弦定理也可解,主要是看怎样解题更简单.如果求边,首先余弦定理。如果求 关于角,首选正弦定理。 2、第二问求函数的最值,单调区间,或者三角形的面积等问题。 1.注意利用第一步得到的结合。 2、求最值注意定义域。

八 .三角变换:
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 提高三角变换能力, 要学会创设条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、 化简的方法技能。 (1) 角的变换:角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,还可作添加、删除角的恒等变形 (2) 函数名称变换:三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式:

a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b2 sin(? ? ? ) 其中 cos? ?

a a ?b
2 2

, sin ? ?

b a ? b2
2

(3) 常数代换:在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数,特别是常数“1”。 (4) 幂的变换:对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理,有时需要升幂例如: 1 ? cosa 常用升幂化 为有理式。 (5) 公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。 (6) 结构变化:在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或 求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。 (7) 消元法:如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法

6

(8) 思路变换:如果一种思路无法再走下去,试着改变自己的思路,通过分析比较去选择更合适、简捷的 方法去解题目。 (9) 利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子: sin a ? cos a , sin a cos a , sin a ? cos a ,已知其 中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元。

九.函数的最值(几种常见的函数及其最值的求法):
① y ? a sin x ? b (或 a cos x ? b) 型:利用三角函数的值域,须注意对字母的讨论 ② y ? a sin x ? b cos x 型:引进辅助角化成 y ?

a 2 ? b2 sin(x ? ? ) 再利用有界性

③ y ? a sin 2 x ? b sin x ? c 型:配方后求二次函数的最值,应注意 sin x ? 1的约束 ④y?

a sin x ? b 型:反解出 sin x ,化归为 sin x ? 1解决 c sin x ? d

⑥ y ? a(sin x ? cos x) ? b sin x ? cos x ? c 型:常用到换元法: t ? sin x ? cos x ,但须注意 t 的取值范围:

t ? 2。
(3)三角形中常用的关系:

sin A ? sin(B ? C ) , sin 2 A ? ? sin 2( B ? C ) ,

cos A ? ? cos(B ? C ) , cos2 A ? cos2( B ? C )

sin

A B?C ? cos , 2 2

十 .三角函数值域总结: 注意:定义域的取值
1、应用提斜公式,形如 y ? a sin ? ? b cos ? ? c 可直接用公式。 形如 y ? a sin x ? b sin x cos x ? c cos x ? d ,逆用倍角公 式化成提斜的形式。
2 2

形如 y ? a sin x ? b cos( x ? ? ) 或 y ? a sin x cos( x ? ? ) 的的函数 (式中也可以是同名函数) , 先 、 用和差化积公式展开,化归为例 1、例 2 的形式求最值. 形如 y ?

a sin x ? b 的函数可将 y 看作参数,利用提斜公式。 c cos x ? d

2、利用倍角公式、半角公式、化同名三角函数,然后配方 3、“1”的妙用,形如 sinx ? cosx sinx ? cosx 在关系式中时,可以应用换元处理,令 t=sinx ? cosx,则

t 2 -1 sinx ? cosx = 把三角问题化为代数为题来处理。 2
4.形如 y ?

a sin x ? b 的函数用分离变量法分离常数,利用 sinx 的有界性求解. c sin x ? d
a sin x ? b c cos x ? d 的函数可将 y 看作参数,化归为例 1 的形式求解

5、形如

y?

6、 求同时含有 sin x cos x 与 sin x ? cos x(或 sin x ? cos x ) 的函数的值域, 一般令 sin x ? cos x ? t (或 sin x ? cos x ? t ) 练习: 1、求 y ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x 的最小值,并求使 y 取最小值时 x 的集合.
2 2

7

2、求 y ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的值域。3、求 y ? sin 2x ? cos(2x ? ) ? 1 的值域. 4、若函数 y ? 2 sin x ? a cos x ? 4 的最大值为 1,则 a = 5、函数的 y ? (a cos x ? b sin x) cos x 有最大值 2,最小值-1,求实数 a , b 的值。 6、若函数 y ? 2a sin 2 x ? a cos 2x ? a ? b 的定义域为 ?0, ? ,值域为 ?? 5,1? ,求常数 a , b 的值。 2

? 3

2 ? sin? 的最大值和最小值 8、求函数 y ? 2 cos 2 x ? 5 sin x ? 4 的值域; 2 ? cos? ? ? ?? 2? ? 9、求函数 y ? sin 2 x ? 2 cos x, x ? ? , ? 的值域。10、函数 y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1)(? ? x ? ) 的最小值是 6 2 ?3 3 ? 11、求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最大值。
7、求函数 y ?

? ?? ? ?

? ?? 12、函数 y ? 2a sin2 x ? 2 2a sin x ? a ? b 的定义域为 ?0, ? ,值域为 ?? 5,1?,求常数 a , b 的值。 ? 2?

十一.三角函数的单调性的基本方法:
函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的单调区间的确定 导 公式化为正 2、然后将 ωx+φ 看作一个整体,化为最简式,再结合 A 的正负,在 2k? ?
2 k? ?

1、首先要看 A、ω 是否为正,若ω 为负,则先应用诱

?
2

? x ? 2 k? ?

?
2

,k ? z 和

?
2

? x ? 2 k? ?

3 ?,k ? z 2

两个区间内分别确定函数的单调增减区间。

例题:

? 1 1、求函数 y ? sin( 3 ? 2 x) 在区间[-2π,2π]的单调增区间。
解:⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数( y ?

A sin(? x ? ? ), A ? 0, ? ? 0 )的形式:

y ? sin(

?
3

?

1 1 ? x) ? ? sin( x ? ) 2 2 3

1 ? z ? x? y ? A s i n x ⑵把标准函数转化为最简函数( )的形式:令 2 3 ,原函数变为

1 ? y ? ? sin( x ? ) ? ? sin z 2 3
⑶讨论最简函数 间 为
[ k2 ? ?

y ? ? sin z
3 k? , ?2 ? 2

的单调性:从函数 ,

y ? ? sin z

的图像可以看出,

y ? ? sin z


的单调增区 , 即

?
2

? 3 K ?] ? 。 所 以 2K? ? ? z ? 2K? ? ? 2 2
5 ? x ? 4 K? ? 11 ? , 3

K ??

2 K? ?

?
2

?

1 ? 3 x ? ? 2 K? ? ? , 2 3 2

K ? ? ∴ 4 K? ? 3 ?

K ??

5 11 ? ? x ? ? ,当 k=1 时, 22 ? ? x ? 23 ? ,当 k=-1 ⑷计算 k=0,k=±1 时的单调增区间:当 k=0 时, 3 3 3 3
7 1 时, ? 3 ? ? x ? ? 3 ?

8



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