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数学辅导:求函数解析式的几种常用方法



当前,我们已进入高三一轮复习,函数是高中数学的核心内容,也是学习高等数学的基础, 是数学中最重要的概念之一,它贯穿中学数学的始终。求函数解析式是函数部分的基础,在 高考试题中多以选择、填空形式出现,属中低档题目,同学们务必要拿分。下面就向同学们 介绍几种求函数解析式的常用方法: [题型一]配凑法 例 1.已知 f(■+1)=x+2■,求 f(x)。 分析: 函数的解析式 y=f(x)是自变量 x 确定 y 值的关系式, 其实质是对应法则 f: x→y, 因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言,“y”是怎样的规律。 解:∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1 (■+11) ∴f(x)=x2-1(x1) 小结:此种解法为配凑法,通过观察、分析,将右端“x+2■”变为接受对象“■+1” 的表达式,即变为含(■+1)的表达式,这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求。 [题型二]换元法 例 2.已知 f(1-cosx)=sin2x,求 f(x)。 分析:视 1-cosx 为一整体,应用数学的整体化思想,换元即得。 解:设 t=1-cosx ∵-1cosx1 ∴cosx=1-t ∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t ∴f(t)=-t2+2t(0t2) 即 f(x)=-x2+2x(0x2) 小结:①已知 f[g(x)]是关于 x 的函数,即 f[g(x)]=F(x),求 f(x)的解析式,通常令 g(x)=t,由此能解出 x=(t),将 x=(t)代入 f[g(x)]=F(x)中,求得 f(t)的解析式,再用 x 替换 t,便得 f(x)的解析式。 注意:换元后要确定新元 t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法, 它的基 本功能是: 化难为易、 化繁为简, 以快速实现未知向已知的转换, 从而达到顺利解题的目的。 ∴01-cosx2 即 0t2

常见的换元法是多种多样的,如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等,它的应用极 为广泛。 [题型三]待定系数法 例 3.设二次函数 f(x)满足 f(x+2)=f(2-x),且 f(x)=0 的两实根平方和为 10,图象过 点(0,3),求 f(x)的解析式。 分析:由于 f(x)是二次函数,其解析式的基本结构已定,可用待定系数法处理。 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 由 f(x+2)=f(2-x)可知,该函数图象关于直线 x=2 对称 ∴-■=2,即 b=-4a……① 又图象过点(0,3) ∴c=3……②

由方程 f(x)=0 的两实根平方和为 10,得(-■)2-■=0 即 b2-2ac=10a2……③ 由①②③解得 a=1,b=-4,c=3 ∴f(x)=x2-4x+3 小结:我们只要明确所求函数解析式的类型,便可设出其函数解析式,设法求出其系数 即可得到结果。类似的已知 f(x)为一次函数时,可设 f(x)=ax+b(a≠0);f(x)为反比例函数 时,可设 f(x)=■(k≠0);f(x)为二次函数时,根据条件可设 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) [题型四]消元法 例 4.已知函数 y=f(x)满足 af(x)+bf(■)=cx,其中 a、b、c 都是非零常数,a≠±b, 求函数 y=f(x)的解析式。 分析:求函数 y=f(x)的解析式,由已知条件知必须消去 f(■),不难想到再寻找一个方 程,构成方程组,消去 f(■)得 f(x)。如何构成呢?充分利用 x 和■的倒数关系,用■去替 换已知中的 x 便可得到另一个方程。 解:在已知等式中,将 x 换成■,得 af(■)+bf(x)=■,把它与原条件式联立,得 af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②

①×a-②×b 得(a2-b2)f(x)=c(ax-■) ∵a≠±b ∴f(x)=■(ax-■)(x≠0) (周六继续刊登) 有同学通过 QQ 询问下面的数学题,我们请天津四中的孟黎辉老师来回答。 问 1.已知:方程:x2+ax+a+1=0 的两根满足一个条件:一根大于 k,一根小于 k(k 是实 数),求 a 的取值范围。(此题一种方法是图象法,还有一种方法,能告诉这两种方法吗?) 答:方法一:∵f(x)=x2+ax+a+1 图象为开口向上的抛物线,因此只需 f(k)<0 即可。 ∴k2+ak+a+1<0,即 a(k+1)<-k2-1 ∴当 k>-1 时,a<■;当 k<-1 时,a>■;当 k=-1 时,a 无解。 方法二:(x1-k)(x2-k)<0△>0 只需(x1-k)(x2-k)<0 即可,x1x2-k(x1+x2)+k2<0 即 a+1+ka+k2<0,以下同方法一。 问 2.为什么求解时只需求(x1-k)(x2-k)<0,而不需再求根的判别式是否大于 0? 答:法二不需要验判别式,原因可以举个简单例子说明,如:若研究 x2+ax+b=0 两根满 足:一个根大于 0,一个根小于 0,只需 x1x2<0,即:b<0,此时就可以保证△=a2-4b>0 恒成立。



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