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数学思想



数学本身,也有无穷的美妙。认为数学枯燥无味,没有艺术性,这看法是不正确的。就象 站在花园外面,说花园里枯燥乏味一样。只要你们踏进了大门,你们随时随地都会发现数学 上也有许许多多趣味的东西。 ——华罗庚 解题是一种实践性技能,就象游泳、滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实践来学到 它。 (美) 善于发现知识点之间的联系;学会联想、学会类比 事物之间是普遍联系的, 学会用联系的观点看待

每一件事情。 高中知识点的联系也很多, 其中最主要的有: ①数列与函数的联系②解析几何与函数的联系③数列与解析几何的联系④ 向量与立几、解几的联系等。 掌握数学 思想 方法及解题策略 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操 作性的特征, 可以选用作为解题的具体手段。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法 进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消元法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、 数形结合思想、 分类讨论思想、 类比与转化 (化归) 思想等。 下面着重介绍根据数学思想方法,在遇到具体数学问题时的解题策略。 如 2005 年春考第 22(2)是考查直线与圆锥曲线相交问题的基本方法: (1)方程组法: 方程组→(一元二次)方程→根的判别式>0→韦达定理→转化为利用韦达定理(2)点差法: 设点作差 条件:①>0;②斜率存在;③牵涉到中点问题。三者缺一不可。本题若利用点差法, 则比较方便。 又如恒成立问题的基本方法: (1)利用函数的值域(一定要先分离变量) (2)直线型看端点开口向上,恒为负;开口向下,恒为正,看端点否则,分类讨论(3)数形结合(斜 率、截距、两点间距离公式、圆锥曲线) 数列求和常用的一般方法: (1)利用等差数列、等比数列公式直接求和; (2)转化为等 差数列、等比数列的和; (3)利用等差数列、等比数列求和的方法类比求和; (4)裂项求和; (5)利用二项式定理求和; (6)利用组合数性质求和。 数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形 式,实际上两者的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想 方法”。 数学四大思想:函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合; ——波利亚

1.函数与方程 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。 方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 (方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使 问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥 着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求 值问题是通过解方程来实现的??等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。列方程、 解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一 次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于 挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对 所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出 函数原型。 另外, 方程问题、 不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题, 即用函数思想解答非函数问题。 2.等价转化 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方 法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单 的问题。 历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利 于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价 转化。 等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的, 才保证转化后的结果仍为原问题的 结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方 程要求验根),它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要 注意转化的等价性与非等价性的不同要求, 实施等价转化时确保其等价性, 保证逻辑上的正 确。 著名的数学家, 莫斯科大学教授 C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表 《什 么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程, 就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决 数学问题时, 没有一个统一的模式去进行。 它可以在数与数、 形与形、 数与形之间进行转换; 它可以在宏观上进行等价转化, 如在分析和解决实际问题的过程中, 普通语言向数学语言的 翻译; 它可以在符号系统内部实施转换, 即所说的恒等变形。 消去法、换元法、数形结合法、 求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想,我们更是经常在函数、方程、不等式之间进 行等价转化。 可以说, 等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不

变。由于其多样性和灵活性,我们要合理地设计好转化的途径和方法,避免死搬硬套题型。 3.分类讨论 在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求 解, 然后综合得解, 这就是分类讨论法。 分类讨论是一种逻辑方法, 是一种重要的数学思想, 同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有 关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和 概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分 a>0、a=0、a<0 三种 情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分 类给出的。如等比数列的前 n 项和的公式,分 q=1 和 q≠1 两种情况。这种分类讨论题型可 以称为性质型。 ③ 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式 ax>2 时分 a>0、a=0 和 a<0 三种情况讨论。这称为含参型。 另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通 过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。 进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗 漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对 象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互 斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小 结,综合得出结论。 4.数形结合 中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程(组)、 不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于 数形结合的知识,主要体现是解析几何。 数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用 大致可以分为两种情形: 或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系, 即以形作为手 段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和 规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确 地阐明曲线的几何性质。 恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就 是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使 数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻

找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇 宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。 华罗庚先生说过:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万 事休。数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问 题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。 在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点: 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条 件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义; 第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化; 第三是正确确定参数的取值范围。 数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。 5.一般到特殊 波利亚(美)说过:”要成为一个好的数学家,?,你必须是一个好的猜想家。“一般 到特殊” 的数学思想在贯穿于整个高中阶段, 这种数学思想在猜证方面显示出了强大的生命 力,是教师强调,学生重视的方法。在选择题、填空题中,这种方法常常就是我们所说的特 例法,在大题中,这种方法有助于我们切入题目,作到先入为主。如数列中,有的题目在第 一问中让写出第一项第二项第三项,第二问写通项公式,这一是降低了解决问题的难度,更 重要的是渗透了“一般到特殊”的数学思想.特例的威力在解决选择题填空题这儿就显得特 别强大,快了,不到一分钟就会大功告成。所以,在我们的平时教学,解决题目的数学思想 要比多讲几个题目重要的多,一个数学思想能让学生会一类题目。平时教学中渗透,让学生 不但容易的接受新知识,也学会了新的解决问题的方法.



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